Главная страница

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. 1. Матрицы и определители

Единственный в мире Музей Смайликов

Самая яркая достопримечательность Крыма

Скачать 61.74 Kb.
Название1. Матрицы и определители
Дата18.11.2021
Размер61.74 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаАЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ.docx
ТипДокументы
#276026

Подборка по базе: Сафронова Д.В., Тарасова Н.Е. Применение матрицы БКГ в портфельн, Самостоятельная работа. определители матрицы.docx, БЖБ ТЖБ талдау алгебра 10- класс.doc, БЖБ ТЖБ талдау алгебра 9 ғ.doc, Олқылық алгебра геометрия.docx, Индивидуальные задания по разделу Алгебраические системы.docx, 10 класс алгебра Входной срез.docx, эл курс 10-11 алгебра.docx, БЖБ ТЖБ талдау алгебра 7- класс.doc, 7 сынып алгебра.ppt

Титульный лист

Вариант 18

Оглавление









































































1. Матрицы и определители
B*A*B^T

Умножим матрицы: C = B x A

=

Транспонируем матрицу: D = BT.
Умножим матрицы: C = C x D
Ответ: B*A*B^T =
Главный определитель

∆=5*((-2)*(-3) - 7*6) - (-3)*(6*(-3) - 7*(-5)) + 5*(6*6 - (-2)*(-5)) = 1

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1.

Обратная матрица будет иметь следующий вид:

=

где Aij - алгебраические дополнения.

Транспонированная матрица.
Найдем алгебраические дополнения матрицы AT.


1,1 = ((-2)*(-3) - 6*7) = -36
1,2 = -(6*(-3) - (-5)*7) = -17
1,3 = (6*6 - (-5)*(-2)) = 26
2,1 = -((-3)*(-3) - 6*5) = 21
2,2 = (5*(-3) - (-5)*5) = 10
2,3 = -(5*6 - (-5)*(-3)) = -15
3,1 = ((-3)*7 - (-2)*5) = -11
3,2 = -(5*7 - 6*5) = -5
3,3 = (5*(-2) - 6*(-3)) = 8



Обратная матрица.

Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E.

=

E=A*A-1=

5*(-36)+6*21+(-5)*(-11)

5*(-17)+6*10+(-5)*(-5)

5*26+6*(-15)+(-5)*8

(-3)*(-36)+(-2)*21+6*(-11)

(-3)*(-17)+(-2)*10+6*(-5)

(-3)*26+(-2)*(-15)+6*8

5*(-36)+7*21+(-3)*(-11)

5*(-17)+7*10+(-3)*(-5)

5*26+7*(-15)+(-3)*8


Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B

=

Ответ:
2. Невырожденные системы линейных алгебраических уравнений
Запишем систему в виде:
BT = (27,28,7)

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Определитель:

∆ = 8*(2*6-3*9)-8*((-1)*6-3*5)+2*((-1)*9-2*5) = 10

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.

27

-1

5

28

2

9

7

3

6


Найдем определитель полученной матрицы.

1 = (-1)1+1a1111 + (-1)2+1a2121 + (-1)3+1a3131 = 27*(2*6-3*9)-28*((-1)*6-3*5)+7*((-1)*9-2*5) = 50
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.

8

27

5

8

28

9

2

7

6


Найдем определитель полученной матрицы.

2 = (-1)1+1a1111 + (-1)2+1a2121 + (-1)3+1a3131 = 8*(28*6-7*9)-8*(27*6-7*5)+2*(27*9-28*5) = 30
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.

8

-1

27

8

2

28

2

3

7


Найдем определитель полученной матрицы.

3 = (-1)1+1a1111 + (-1)2+1a2121 + (-1)3+1a3131 = 8*(2*7-3*28)-8*((-1)*7-3*27)+2*((-1)*28-2*27) = -20
Выпишем отдельно найденные переменные Х


Проверка.

8*5-1*3+5*(-2) = 27

8*5+2*3+9*(-2) = 28

2*5+3*3+6*(-2) = 7
Решение СЛАУ методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:
Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й:
Умножим 3-ю строку на (-4). Добавим 3-ю строку к 2-й:
Умножим 1-ю строку на (10). Умножим 2-ю строку на (-3). Добавим 2-ю строку к 1-й:
Теперь исходную систему можно записать так:

x3 = -10/5

x2 = [0 - ( - 15x3)]/(-10)

x1 = [7 - (3x2 + 6x3)]/2

Из 1-й строки выражаем x3
Из 2-й строки выражаем x2
Из 3-й строки выражаем x1
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B:

BT=(27,28,7)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=8•(2•6-3•9)-8•(-1•6-3•5)+2•(-1•9-2•5)=10

Итак, определитель 10 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

=

Тогда:

=

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:
Вычисляем алгебраические дополнения.


1,1=(2•6-9•3)=-15
1,2=-(-1•6-5•3)=21
1,3=(-1•9-5•2)=-19
2,1=-(8•6-9•2)=-30
2,2=(8•6-5•2)=38
2,3=-(8•9-5•8)=-32
3,1=(8•3-2•2)=20
3,2=-(8•3-(-1•2))=-26
3,3=(8•2-(-1•8))=24

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X

X=A-1 • B


XT=(5,3,-2)

x1=50 / 10=5

x2=30 / 10=3

x3=-20 / 10=-2

Проверка.

8•5-1•3+5•(-2)=27

8•5+2•3+9•(-2)=28

2•5+3•3+6•(-2)=7

3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Выпишем основную матрицу системы:

1

3

6

10

52

2

7

5

14

67

4

1

8

13

57

x1

x2

x3

x4

x5


Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Умножим 1-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0

1

-7

-6

-37

2

7

5

14

67

4

1

8

13

57


Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

1

-7

-6

-37

0

-13

-2

-15

-77

4

1

8

13

57


Умножим 1-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0

0

-93

-93

-558

0

-13

-2

-15

-77

4

1

8

13

57


Найдем ранг матрицы.

0

0

-93

-93

-558

0

-13

-2

-15

-77

4

1

8

13

57


Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0

0

-93

93

558

0

-13

-2

15

77

4

1

8

-13

-57

x1

x2

x3

x4

x5


Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

- 93x3 = 93x4 + 558x5

- 13x2 - 2x3 = 15x4 + 77x5

4x1 + x2 + 8x3 = - 13x4 - 57x5

Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение:

x3 = - x4 - 6x5

x2 = - x4 - 5x5

x1 = - x4 - x5

Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений.

В нашем случае n=5, r=3, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 2-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми.

Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2.

Достаточно придать свободным неизвестным x4,x5 значения из строк определителя 2-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x1,x2,x3.

Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица.
4. Операции над векторами в произвольном базисе
Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

= =

=

Задание. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a=(4;7;1) и b(7;1;7).

Решение. По формуле находим:
=
Так как:
то искомая площадь:
5. Операции над векторами в ортонормированном базисе

Даны координаты пирамиды: A1(3,4,-1), A2(1,6,2), A3(5,5,5), A4(1,5,1)

1) Координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;

Например, для вектора A1A2

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = 1-3; Y = 6-4; Z = 2-(-1)

A1A2(-2;2;3)

A1A3(2;1;6)

A1A4(-2;1;2)

A2A3(4;-1;3)

A2A4(0;-1;-1)

A3A4(-4;0;-4)

2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:


3) Угол между ребрами.

Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

Найдем угол между ребрами A1A2(-2;2;3) и A1A4(-2;1;2):
γ = arccos(0.97) = 14.0370

4) Площадь грани.

Площадь грани можно найти по формуле:
где
Найдем площадь грани A1A2A3

Найдем угол между ребрами A1A2(-2;2;3) и A1A3(2;1;6):

Площадь грани A1A2A3

=

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
=i(2·6-1·3) - j((-2)·6-2·3) + k((-2)·1-2·2) = 9i + 18j - 6k

=

5) Объем пирамиды.

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

=
где определитель матрицы равен:

∆ = (-2)*(1*2-1*6)-2*(2*2-1*3)+(-2)*(2*6-1*3) = -12

7) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

=

Параметрическое уравнение прямой:

x=x0+lt

y=y0+mt

z=z0+nt

Уравнение прямой A1A2(-2,2,3)
Параметрическое уравнение прямой:

x=3-2t

y=4+2t

z=-1+3t

8) Уравнение плоскости.

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

=

Уравнение плоскости A1A2A3
(x-3)(2·6-1·3) - (y-4)((-2)·6-2·3) + (z+1)((-2)·1-2·2) = 9x + 18y - 6z-105 = 0

Упростим выражение: 3x + 6y - 2z-35 = 0

6. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Исходная матрица имеет вид:
Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(4 - λ)x1 + 2x2 + 0x3 = 0

2x1 + (0 - λ)x2 + 1x3 = 0

0x1 + 1x2 + (4 - λ)x3 = 0

Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.

(4 - λ) • ((0 - λ) • (4 - λ)-1 • 1)-2 • (2 • (4 - λ)-1 • 0)+0 • (2 • 1-(0 - λ) • 0) = 0

После преобразований, получаем:

3+8*λ2-11*λ-20 = 0

λ1 = 5

Подставляя λ1 = 5 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений.

Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

- x2 = - x3

2x1 - 5x2 = - x3

Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:

x2 = x3

x1 = 2x3

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 5, имеет вид:

(1x3,1/2x3,1/2x3) = x3(1,1/2,1/2)

где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1/2:
λ2 = -1

Подставляя λ2 = -1 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений

Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Умножим 2-ую строку на (-5). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

- x2 = 5x3

5x1 + 2x2 = 0

Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:

x2 = - 5x3

x1 = 2x3

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ2 = -1, имеет вид:

(1x3,-5/2x3,1/2x3) = x3(1,-5/2,1/2)

где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1/2:
λ3 = 4

Подставляя λ3 = 4 в систему, имеем:
или
Решаем эту систему линейных однородных уравнений

Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.

Для удобства вычислений поменяем строки местами:
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2.

Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные.

Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:

x2 = 0

2x1 - 4x2 = - x3

Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:

Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение:

x2 = 0

x1 = - 1/2x3

Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ3 = 4, имеет вид:

(1x3,0x3,-2x3) = x3(1,0,-2)

где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = -2:
7. Прямая линия на плоскости
Даны координаты вершин треугольника: A(-4,5), B(2,2), C(-1,6).

1) Координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi

здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj

Например, для вектора AB

X = x2 - x1; Y = y2 - y1

X = 2-(-4) = 6; Y = 2-5 = -3

AB(6;-3)
AC(3;1)
BC(-3;4)
2) Длина сторон треугольника.

Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:

8) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB

Каноническое уравнение прямой:
или
или

y = -1/2x + 3 или 2y + x - 6 = 0

Уравнение прямой AC

Каноническое уравнение прямой:
или
или

y = 1/3x + 19/3 или 3y -x - 19 = 0

Уравнение прямой BC

Каноническое уравнение прямой:
или
или

y = -4/3x + 14/3 или 3y + 4x - 14 = 0

5) Площадь треугольника

Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

=

В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.

Решение. Принимая A за первую вершину, находим:

=
По формуле получаем:
7) Уравнение медианы треугольника

Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

M(1/2;4)

Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(-4;5) и М(1/2;4), поэтому:

Каноническое уравнение прямой:
или
или

y = -2/9x + 37/9 или 9y + 2x - 37 = 0

Найдем длину медианы.

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
=

9) Уравнение высоты через вершину A

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Найдем уравнение высоты через вершину A
y = 3/4x + 8 или 4y -3x - 32 = 0

Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой BC.

Уравнение BC: y = -4/3x + 14/3, т.е. k1 = -4/3

Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.

Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:

-4/3k = -1, откуда k = 3/4

Так как перпендикуляр проходит через точку A(-4,5) и имеет k = 3/4,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).

Подставляя x0 = -4, k = 3/4, y0 = 5 получим:

y-5 = 3/4(x-(-4))

или

y = 3/4x + 8 или 4y -3x - 32 = 0

Найдем точку пересечения с прямой BC:

Имеем систему из двух уравнений:

3y + 4x - 14 = 0

4y -3x - 32 = 0

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = -8/5

y = 34/5

D(-8/5;34/5)

Найдем уравнение высоты через вершину B
y = -3x + 8 или y +3x -8 = 0

Найдем точку пересечения высот.

Имеем систему из двух уравнений:

4y -3x - 32 = 0

y +3x -8 = 0

Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.

Получаем:

x = 0

y = 8

9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A

Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой A(-4;5) и прямой BC (3y + 4x - 14 = 0)

Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой A(-4;5) и точкой D(-8/5;34/5).

Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
=

8. Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Дано уравнение кривой:
1. Определить тип кривой.

2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.

3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение.

Приводим квадратичную форму
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

(3 - λ)x1 - sqrt(3)y1 = 0

-sqrt(3)x1 + (1 - λ)y1 = 0

Характеристическое уравнение:
или

λ2-4*λ = 0

λ1 = 0

λ2 = 4

Исходное уравнение определяет параболу (λ1 = 0)

Вид квадратичной формы:

4*y12

Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.

λ1 = 0

или

Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = 0 при

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:
где
- длина вектора x1.

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = 4, находим из системы:

или

Итак, имеем новый ортонормированный базис (i1, j1).

Переходим к новому базису:

=

или

Вносим выражения x и y в исходное уравнение:
и, после преобразований, получаем:

16*x1+4*y12+16*y1+48 = 0

Преобразуем исходное уравнение:
Получили уравнение параболы:

(y - y0)2 = 2p(x - x0)

9. Прямая линия в пространстве и плоскость

Даны координаты пирамиды: A1(3,4,-1), A2(1,6,2), A3(5,5,5), A4(1,5,1)

1) Координаты векторов.

Координаты векторов находим по формуле:

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;

Например, для вектора A1A2

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1

X = 1-3; Y = 6-4; Z = 2-(-1)

A1A2(-2;2;3)

A1A3(2;1;6)

A1A4(-2;1;2)

A2A3(4;-1;3)

A2A4(0;-1;-1)

A3A4(-4;0;-4)

2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:


3) Угол между ребрами.

Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2

Найдем угол между ребрами A1A2(-2;2;3) и A1A3(2;1;6):
γ = arccos(0.606) = 52.6980

4) Площадь грани.

Площадь грани можно найти по формуле:
где
Найдем площадь грани A1A2A3

Найдем угол между ребрами A1A2(-2;2;3) и A1A3(2;1;6):

Площадь грани A1A2A3

=

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
Векторное произведение:
=i(2·6-1·3) - j((-2)·6-2·3) + k((-2)·1-2·2) = 9i + 18j - 6k

=

5) Объем пирамиды.

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

=
где определитель матрицы равен:

∆ = (-2)*(1*2-1*6)-2*(2*2-1*3)+(-2)*(2*6-1*3) = -12

7) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

=

Параметрическое уравнение прямой:

x=x0+lt

y=y0+mt

z=z0+nt

Уравнение прямой A1A2(-2,2,3)
Параметрическое уравнение прямой:

x=3-2t

y=4+2t

z=-1+3t

Уравнение прямой A1A4(-2,1,2)
Параметрическое уравнение прямой:

x=3-2t

y=4+t

z=-1+2t

8) Уравнение плоскости.

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

=

Уравнение плоскости A1A2A3
(x-3)(2·6-1·3) - (y-4)((-2)·6-2·3) + (z+1)((-2)·1-2·2) = 9x + 18y - 6z-105 = 0

Упростим выражение: 3x + 6y - 2z-35 = 0

10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4(1,5,1).

Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
Уравнение плоскости A1A2A3: 3x + 6y - 2z-35 = 0
11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(1,5,1).

Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

Уравнение плоскости A1A2A3: 3x + 6y - 2z-35 = 0

12) Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.

Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:

=

Уравнение плоскости A1A2A3: 3x + 6y - 2z-35 = 0

Уравнение прямой A1A4:
= =

γ = arcsin(0.19) = 10.953o



написать администратору сайта