АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. 1. Матрицы и определители
 Скачать 61.74 Kb.
|
|
Титульный лист Вариант 18 Оглавление
1. Матрицы и определители B*A*B^T Умножим матрицы: C = B x A = Транспонируем матрицу: D = BT. Умножим матрицы: C = C x D Ответ: B*A*B^T = Главный определитель ∆=5*((-2)*(-3) - 7*6) - (-3)*(6*(-3) - 7*(-5)) + 5*(6*6 - (-2)*(-5)) = 1 Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу A-1. Обратная матрица будет иметь следующий вид: = где Aij - алгебраические дополнения. Транспонированная матрица. Найдем алгебраические дополнения матрицы AT. ∆1,1 = ((-2)*(-3) - 6*7) = -36 ∆1,2 = -(6*(-3) - (-5)*7) = -17 ∆1,3 = (6*6 - (-5)*(-2)) = 26 ∆2,1 = -((-3)*(-3) - 6*5) = 21 ∆2,2 = (5*(-3) - (-5)*5) = 10 ∆2,3 = -(5*6 - (-5)*(-3)) = -15 ∆3,1 = ((-3)*7 - (-2)*5) = -11 ∆3,2 = -(5*7 - 6*5) = -5 ∆3,3 = (5*(-2) - 6*(-3)) = 8 Обратная матрица. Проверим правильность нахождения обратной матрицы путем умножения исходной матрицы на обратную. Должны получить единичную матрицу E. = E=A*A-1=
Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B = Ответ: 2. Невырожденные системы линейных алгебраических уравнений Запишем систему в виде: BT = (27,28,7) Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Определитель: ∆ = 8*(2*6-3*9)-8*((-1)*6-3*5)+2*((-1)*9-2*5) = 10 Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 27*(2*6-3*9)-28*((-1)*6-3*5)+7*((-1)*9-2*5) = 50 Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 8*(28*6-7*9)-8*(27*6-7*5)+2*(27*9-28*5) = 30 Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. ∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = 8*(2*7-3*28)-8*((-1)*7-3*27)+2*((-1)*28-2*27) = -20 Выпишем отдельно найденные переменные Х Проверка. 8*5-1*3+5*(-2) = 27 8*5+2*3+9*(-2) = 28 2*5+3*3+6*(-2) = 7 Решение СЛАУ методом Гаусса. Запишем систему в виде расширенной матрицы: Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й: Умножим 3-ю строку на (-4). Добавим 3-ю строку к 2-й: Умножим 1-ю строку на (10). Умножим 2-ю строку на (-3). Добавим 2-ю строку к 1-й: Теперь исходную систему можно записать так: x3 = -10/5 x2 = [0 - ( - 15x3)]/(-10) x1 = [7 - (3x2 + 6x3)]/2 Из 1-й строки выражаем x3 Из 2-й строки выражаем x2 Из 3-й строки выражаем x1 Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(27,28,7) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=8•(2•6-3•9)-8•(-1•6-3•5)+2•(-1•9-2•5)=10 Итак, определитель 10 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: = Тогда: = где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=(2•6-9•3)=-15 ∆1,2=-(-1•6-5•3)=21 ∆1,3=(-1•9-5•2)=-19 ∆2,1=-(8•6-9•2)=-30 ∆2,2=(8•6-5•2)=38 ∆2,3=-(8•9-5•8)=-32 ∆3,1=(8•3-2•2)=20 ∆3,2=-(8•3-(-1•2))=-26 ∆3,3=(8•2-(-1•8))=24 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B XT=(5,3,-2) x1=50 / 10=5 x2=30 / 10=3 x3=-20 / 10=-2 Проверка. 8•5-1•3+5•(-2)=27 8•5+2•3+9•(-2)=28 2•5+3•3+6•(-2)=7 3. Однородные системы линейных алгебраических уравнений Выпишем основную матрицу системы:
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Умножим 1-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
Умножим 1-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
Найдем ранг матрицы.
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4,x5 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - 93x3 = 93x4 + 558x5 - 13x2 - 2x3 = 15x4 + 77x5 4x1 + x2 + 8x3 = - 13x4 - 57x5 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение: Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4,x5, то есть нашли общее решение: x3 = - x4 - 6x5 x2 = - x4 - 5x5 x1 = - x4 - x5 Находим фундаментальную систему решений, которая состоит из (n-r) решений. В нашем случае n=5, r=3, следовательно, фундаментальная система решений состоит из 2-х решений, причем эти решения должны быть линейно независимыми. Чтобы строки были линейно независимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из элементов строк, был равен количеству строк, то есть 2. Достаточно придать свободным неизвестным x4,x5 значения из строк определителя 2-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать x1,x2,x3. Простейшим определителем, отличным от нуля, является единичная матрица. 4. Операции над векторами в произвольном базисе Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: = = = Задание. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a=(4;7;1) и b(7;1;7). Решение. По формуле находим: = Так как: то искомая площадь: 5. Операции над векторами в ортонормированном базисе Даны координаты пирамиды: A1(3,4,-1), A2(1,6,2), A3(5,5,5), A4(1,5,1) 1) Координаты векторов. Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Например, для вектора A1A2 X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 1-3; Y = 6-4; Z = 2-(-1) A1A2(-2;2;3) A1A3(2;1;6) A1A4(-2;1;2) A2A3(4;-1;3) A2A4(0;-1;-1) A3A4(-4;0;-4) 2) Модули векторов (длина ребер пирамиды) Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой: 3) Угол между ребрами. Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 Найдем угол между ребрами A1A2(-2;2;3) и A1A4(-2;1;2): γ = arccos(0.97) = 14.0370 4) Площадь грани. Площадь грани можно найти по формуле: где Найдем площадь грани A1A2A3 Найдем угол между ребрами A1A2(-2;2;3) и A1A3(2;1;6): Площадь грани A1A2A3 = Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: Векторное произведение: =i(2·6-1·3) - j((-2)·6-2·3) + k((-2)·1-2·2) = 9i + 18j - 6k = 5) Объем пирамиды. Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен: = где определитель матрицы равен: ∆ = (-2)*(1*2-1*6)-2*(2*2-1*3)+(-2)*(2*6-1*3) = -12 7) Уравнение прямой Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями: = Параметрическое уравнение прямой: x=x0+lt y=y0+mt z=z0+nt Уравнение прямой A1A2(-2,2,3) Параметрическое уравнение прямой: x=3-2t y=4+2t z=-1+3t 8) Уравнение плоскости. Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: = Уравнение плоскости A1A2A3 (x-3)(2·6-1·3) - (y-4)((-2)·6-2·3) + (z+1)((-2)·1-2·2) = 9x + 18y - 6z-105 = 0 Упростим выражение: 3x + 6y - 2z-35 = 0 6. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Исходная матрица имеет вид: Составляем систему для определения координат собственных векторов: (4 - λ)x1 + 2x2 + 0x3 = 0 2x1 + (0 - λ)x2 + 1x3 = 0 0x1 + 1x2 + (4 - λ)x3 = 0 Составляем характеристическое уравнение и решаем его. Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю. (4 - λ) • ((0 - λ) • (4 - λ)-1 • 1)-2 • (2 • (4 - λ)-1 • 0)+0 • (2 • 1-(0 - λ) • 0) = 0 После преобразований, получаем: -λ3+8*λ2-11*λ-20 = 0 λ1 = 5 Подставляя λ1 = 5 в систему, имеем: или Решаем эту систему линейных однородных уравнений. Выпишем основную матрицу системы: Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Для удобства вычислений поменяем строки местами: Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой: В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го. Найдем ранг матрицы. Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор. Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - x2 = - x3 2x1 - 5x2 = - x3 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение: Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение: x2 = x3 x1 = 2x3 Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ1 = 5, имеет вид: (1x3,1/2x3,1/2x3) = x3(1,1/2,1/2) где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1/2: λ2 = -1 Подставляя λ2 = -1 в систему, имеем: или Решаем эту систему линейных однородных уравнений Выпишем основную матрицу системы: Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Для удобства вычислений поменяем строки местами: Умножим 2-ую строку на (-5). Умножим 3-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой: В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го. Для удобства вычислений поменяем строки местами: Найдем ранг матрицы. Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор. Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: - x2 = 5x3 5x1 + 2x2 = 0 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение: Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение: x2 = - 5x3 x1 = 2x3 Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ2 = -1, имеет вид: (1x3,-5/2x3,1/2x3) = x3(1,-5/2,1/2) где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = 1/2: λ3 = 4 Подставляя λ3 = 4 в систему, имеем: или Решаем эту систему линейных однородных уравнений Выпишем основную матрицу системы: Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Для удобства вычислений поменяем строки местами: В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го. Найдем ранг матрицы. Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 2. Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2, значит, неизвестные x1,x2 – зависимые (базисные), а x3 – свободные. Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор. Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид: x2 = 0 2x1 - 4x2 = - x3 Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение: Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2 через свободные x3, то есть нашли общее решение: x2 = 0 x1 = - 1/2x3 Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ3 = 4, имеет вид: (1x3,0x3,-2x3) = x3(1,0,-2) где x3 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x3 = -2: 7. Прямая линия на плоскости Даны координаты вершин треугольника: A(-4,5), B(2,2), C(-1,6). 1) Координаты векторов. Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1 X = 2-(-4) = 6; Y = 2-5 = -3 AB(6;-3) AC(3;1) BC(-3;4) 2) Длина сторон треугольника. Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле: 8) Уравнение прямой Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями: Уравнение прямой AB Каноническое уравнение прямой: или или y = -1/2x + 3 или 2y + x - 6 = 0 Уравнение прямой AC Каноническое уравнение прямой: или или y = 1/3x + 19/3 или 3y -x - 19 = 0 Уравнение прямой BC Каноническое уравнение прямой: или или y = -4/3x + 14/3 или 3y + 4x - 14 = 0 5) Площадь треугольника Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой: = В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна. Решение. Принимая A за первую вершину, находим: = По формуле получаем: 7) Уравнение медианы треугольника Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам. M(1/2;4) Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(-4;5) и М(1/2;4), поэтому: Каноническое уравнение прямой: или или y = -2/9x + 37/9 или 9y + 2x - 37 = 0 Найдем длину медианы. Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: = 9) Уравнение высоты через вершину A Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: Найдем уравнение высоты через вершину A y = 3/4x + 8 или 4y -3x - 32 = 0 Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой BC. Уравнение BC: y = -4/3x + 14/3, т.е. k1 = -4/3 Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1. Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим: -4/3k = -1, откуда k = 3/4 Так как перпендикуляр проходит через точку A(-4,5) и имеет k = 3/4,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0). Подставляя x0 = -4, k = 3/4, y0 = 5 получим: y-5 = 3/4(x-(-4)) или y = 3/4x + 8 или 4y -3x - 32 = 0 Найдем точку пересечения с прямой BC: Имеем систему из двух уравнений: 3y + 4x - 14 = 0 4y -3x - 32 = 0 Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. Получаем: x = -8/5 y = 34/5 D(-8/5;34/5) Найдем уравнение высоты через вершину B y = -3x + 8 или y +3x -8 = 0 Найдем точку пересечения высот. Имеем систему из двух уравнений: 4y -3x - 32 = 0 y +3x -8 = 0 Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. Получаем: x = 0 y = 8 9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины: Найдем расстояние между точкой A(-4;5) и прямой BC (3y + 4x - 14 = 0) Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой A(-4;5) и точкой D(-8/5;34/5). Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: = 8. Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду Дано уравнение кривой: 1. Определить тип кривой. 2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат. 3. Найти соответствующие преобразования координат. Решение. Приводим квадратичную форму к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы: Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы: (3 - λ)x1 - sqrt(3)y1 = 0 -sqrt(3)x1 + (1 - λ)y1 = 0 Характеристическое уравнение: или λ2-4*λ = 0 λ1 = 0 λ2 = 4 Исходное уравнение определяет параболу (λ1 = 0) Вид квадратичной формы: 4*y12 Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. λ1 = 0 или Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = 0 при В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор: где - длина вектора x1. Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = 4, находим из системы: или Итак, имеем новый ортонормированный базис (i1, j1). Переходим к новому базису: = или Вносим выражения x и y в исходное уравнение: и, после преобразований, получаем: 16*x1+4*y12+16*y1+48 = 0 Преобразуем исходное уравнение: Получили уравнение параболы: (y - y0)2 = 2p(x - x0) 9. Прямая линия в пространстве и плоскость Даны координаты пирамиды: A1(3,4,-1), A2(1,6,2), A3(5,5,5), A4(1,5,1) 1) Координаты векторов. Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Например, для вектора A1A2 X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 1-3; Y = 6-4; Z = 2-(-1) A1A2(-2;2;3) A1A3(2;1;6) A1A4(-2;1;2) A2A3(4;-1;3) A2A4(0;-1;-1) A3A4(-4;0;-4) 2) Модули векторов (длина ребер пирамиды) Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой: 3) Угол между ребрами. Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 Найдем угол между ребрами A1A2(-2;2;3) и A1A3(2;1;6): γ = arccos(0.606) = 52.6980 4) Площадь грани. Площадь грани можно найти по формуле: где Найдем площадь грани A1A2A3 Найдем угол между ребрами A1A2(-2;2;3) и A1A3(2;1;6): Площадь грани A1A2A3 = Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: Векторное произведение: =i(2·6-1·3) - j((-2)·6-2·3) + k((-2)·1-2·2) = 9i + 18j - 6k = 5) Объем пирамиды. Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен: = где определитель матрицы равен: ∆ = (-2)*(1*2-1*6)-2*(2*2-1*3)+(-2)*(2*6-1*3) = -12 7) Уравнение прямой Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями: = Параметрическое уравнение прямой: x=x0+lt y=y0+mt z=z0+nt Уравнение прямой A1A2(-2,2,3) Параметрическое уравнение прямой: x=3-2t y=4+2t z=-1+3t Уравнение прямой A1A4(-2,1,2) Параметрическое уравнение прямой: x=3-2t y=4+t z=-1+2t 8) Уравнение плоскости. Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: = Уравнение плоскости A1A2A3 (x-3)(2·6-1·3) - (y-4)((-2)·6-2·3) + (z+1)((-2)·1-2·2) = 9x + 18y - 6z-105 = 0 Упростим выражение: 3x + 6y - 2z-35 = 0 10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4(1,5,1). Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины: Уравнение плоскости A1A2A3: 3x + 6y - 2z-35 = 0 11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(1,5,1). Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: Уравнение плоскости A1A2A3: 3x + 6y - 2z-35 = 0 12) Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3. Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: = Уравнение плоскости A1A2A3: 3x + 6y - 2z-35 = 0 Уравнение прямой A1A4: = = γ = arcsin(0.19) = 10.953o |