Главная страница

СЛАУ. Задание 4


Скачать 485.49 Kb.
НазваниеЗадание 4
Дата03.10.2022
Размер485.49 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаСЛАУ.docx
ТипДокументы
#710686












Задание 4

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1

-2

3

-4

4

0

1

-1

1

-3

1

3

0

-3

1

0

-7

3

1

-3

x1

x2

x3

x4

















Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0

1

-1

1

-3

0

-7

3

1

-3

1

-2

3

-4

4

1

3

0

-3

1














Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

0

1

-1

1

-3

0

-7

3

1

-3

0

5

-3

1

-3

1

3

0

-3

1














Умножим 1-ую строку на (7). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0

0

-4

8

-24

0

-7

3

1

-3

0

5

-3

1

-3

1

3

0

-3

1













Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (7). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

0

-4

8

-24

0

0

-6

12

-36

0

5

-3

1

-3

1

3

0

-3

1














Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0

0

-4

8

-24

0

0

-6

12

-36

0

5

-3

1

-3

1

3

0

-3

1














В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

0

0

-6

12

-36

0

5

-3

1

-3

1

3

0

-3

1














Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0

0

-6

12

-36

0

5

-3

1

-3

1

3

0

-3

1














Определим ранг основной системы системы.

0

0

-6

12

0

5

-3

1

1

3

0

-3













Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля. Ранг этой системы равен rangA=3.
Определим ранг расширенной системы системы.

0

0

-6

12

-36

0

5

-3

1

-3

1

3

0

-3

1














Ранг этой системы равен rangB=3.
rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0

0

-6

-36

-12

0

5

-3

-3

-1

1

3

0

1

3














Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 6x3 = - 36 - 12x4
5x2 - 3x3 = - 3 - x4
x1 + 3x2 = 1 + 3x4
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4, то есть нашли общее решение:
x3 = 6 + 2x4
x2 = 3 + x4
x1 = - 8
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание 5

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1

1

-1

-2

0

1

1

3

4

0

1

1

-5

-8

0

1

1

-9

-14

0

x1

x2

x3

x4

















Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0

0

4

6

0

1

1

3

4

0

1

1

-5

-8

0

1

1

-9

-14

0














Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

0

4

6

0

0

0

-8

-12

0

1

1

-5

-8

0

1

1

-9

-14

0














В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

0

0

-8

-12

0

1

1

-5

-8

0

1

1

-9

-14

0













Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

0

-8

-12

0

0

0

-4

-6

0

1

1

-9

-14

0














Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0

0

-8

-12

0

0

0

-4

-6

0

1

1

-9

-14

0














В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

0

0

-4

-6

0

1

1

-9

-14

0














Определим ранг основной системы системы.

0

0

-4

-6

1

1

-9

-14














Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля. Ранг этой системы равен rangA=2.
Определим ранг расширенной системы системы.

0

0

-4

-6

0

1

1

-9

-14

0














Ранг этой системы равен rangB=2.
rang(A) = rang(B) = 2. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2,x3, значит, неизвестные x2,x3 – зависимые (базисные), а x1,x4 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0

-4

0

0

6

1

-9

0

-1

14














Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 4x3 = 6x4
x2 - 9x3 = - x1 + 14x4
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2,x3 через свободные x1,x4, то есть нашли общее решение:
x3 = - 3/2x4
x2 = - x1 + 1/2x4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.


написать администратору сайта