математика шпаргалка 10 класс. математика шпаргалка 10 кл. A b 2 a2 2ab b
 Скачать 240.81 Kb.
|
|
Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Квадрат разности (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Разность квадратов a 2 – b 2 = (a + b)(a – b) Куб суммы (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Куб разности (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Сумма кубов a 3 + b 3 = (a + b)( a 2 - ab + b 2 ) Разность кубов a 3 – b 3 = (a – b)( a 2 + ab + b 2 ) Арифметическая прогрессия Последовательность, у которой задан первый член a 1 , а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией: a n+ 1 = a n + d, где d – разность прогрессии. a n = a 1 + d(n – 1) a n = a k + d(n – k) 2a n = a n-1 + a n+1 a n + a m = a k + a l , если n + m = k + l 1 2 n a a S n n + = 1 2 ( 1) 2 a d n S n n + − = Геометрическая прогрессия Определение: Последовательность, у которой задан первый член b 1 ≠ 0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называется геометрической прогрессией: b n+ 1 = b n q , где q – знаменатель прогрессии. b n = b 1 q n – 1 b n = b k q n – k b n 2 = b n-1 b n+1 b n b m = b k b l , если n + m = k + l q n q b n S − − = 1 ) 1 ( 1 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия q b S − = 1 1 Степень Определение a a a a a n ⋅ ⋅ ⋅ = , если n – натуральное число a – основание степени, n - показатель степени 1 0 = a a a = 1 m n m n a a = n n a a 1 = − Формулы m n m n a a a + = ⋅ ( ) n n n b a b a ⋅ = ⋅ m n m n a a a − = n n n b a b a = Арифметический квадратный корень Определение Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - ( a ) - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. ( ) a a = 2 a a = 2 b a b a ⋅ = ⋅ b a b a = Корнем k–ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a. ( ) a a k k = a a k k = k k k b a b a ⋅ = ⋅ k k k b a b a = ( ) k m m k a a = k k a a 1 = Квадратное уравнение: ax 2 + bx + c = 0 Дискриминант: D = b 2 – 4ac Теорема Виета Приведенное квадратное уравнение: x 2 + px + q = 0 x 1 + x 2 = - p x 1 ⋅ x 2 = q x 1 +x 2 = -b/a x 1 ⋅ x 2 = c/a Логарифм Определение Логарифмом числа по b основанию a называется такое число , обозначаемое b a log , что b a b a = log a - основание логарифма (a > 0, a ≠ 1), b - логарифмическое число ( b > 0) Десятичный логарифм: b b 10 log lg = Натуральный логарифм: b b e log ln = где e = 2,71828 Формулы 0 1 log = a 1 log = a a ( ) c b c b a a a log log log + = ⋅ c b c b a a a log log log − = b n b a n a log log ⋅ = b m b a a m log 1 log = a b b c c a log log log = a b b a log 1 log = b a b a = log a b c c b a log log = Дроби Сложение Деление с остатком: d b b c d a d c b a ⋅ ⋅ + ⋅ = + Вычитание d b b c d a d c b a ⋅ ⋅ − ⋅ = − Умножение d b c a d c b a ⋅ ⋅ = ⋅ Деление c b d a c d b a d c b a ⋅ ⋅ = ⋅ = : Составная дробь b a b m b a m + ⋅ = Делимость натуральных чисел: Пусть n : m = k, где n, m, k – натуральные числа. Тогда m – делитель числа n, а n – кратно числу m. Число n называется простым, если его делителями являются только единица и само число n. Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.} Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общихделителей, кроме единицы. Десятичные числа: Стандартный вид: 317,3 = 3,173⋅ 10 2 ; 0,00003173 = 3,173 ⋅ 10 -5 Форма записи: 3173 = 3 ⋅ 1000 + 1⋅ 100 + 7⋅ 10 + 3 Модуль Формулы Определение • x ≥ 0 • x - y ≥ x - y < − ≥ = 0 , 0 , x если x x если x x • -x=x • x ⋅ y = x ⋅ y • x ≥ x • x : y =x : y • x + y ≤ x + y x 2 = x 2 Неравенства Определения: Неравенством называется выражение вида: a < b (a ≤ b), a > b (a ≥ b) = < ⇔ ≤ b a b a b a Основные свойства: a b b a > ⇔ < c a c b и b a < ⇔ < < c b c a b a + < + ⇔ < bc ac с и b a < ⇔ > < 0 bc ac с и b a > ⇔ < < 0 d b c a d с и b a + < + ⇔ < < Модуль: уравнения и неравенства 1. ∅ ∈ ⇒ > − = = ⇒ = ± = ⇒ > = x k k x f c x f x f b k x f k k x f a ) 0 ( ) ( ) 0 ) ( 0 ) ( ) ) ( ) 0 ( ) ( ) 2. 0 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ≤ ⇔ − = ≥ ⇔ = x f x f x f x f x f x f 3. k ay y x f y Замена k x f a x f k x af x f = + ⇒ = = + ⇒ = + 2 ) ( : 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 4. ( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( = + ⋅ − ⇒ = ⇒ = x g x f x g x f x g x f x g x f 5. ( ) ( ) 0 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( < + ⋅ − ⇒ < ⇒ < k x f k x f k x f k x f Периодическая дробь 990 31 3173 ) 73 ( 1 , 3 1737373 , 3 − = = Правило: 99000 ) ( , abcde abcdefg fg cde ab − = Признаки делимости чисел: Процент ы Определение: Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A Основные типы задач на проценты: Сколько процентов составляет число A от числа B? % 100 ⋅ = ⇒ B A x B - 100% A - x% Сложные проценты. Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%. Как, в итоге, изменилось исходное число? 1) A 1 = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A 2) A 2 = (100% - 25%)A 1 =75%A 1 = 0,75A 1 = 0,75 ⋅1,2A = 0,9A = 90%A 3) A 1 – A = 90%A – 100%A = -10%A ⇒ Ответ: уменьшилось на 10%. Изменение величины. Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%? t v S v S v S v S t v S t % 80 8 , 0 25 , 1 1 25 , 1 1 1 = = = = = ⇒ = ⇒ Ответ: уменьшится на 20% t v S v S v S v S t v S t % 80 8 , 0 25 , 1 1 25 , 1 1 1 = = = = = ⇒ = ⇒ Ответ: уменьшится на 20% Среднее арифметическое, геометрическое Среднее арифметическое: n a a a a n + + + + 3 2 1 Среднее геометрическое : k k a a a ⋅ ⋅ ⋅ 2 1 Уравнение движения Пусть ) (t S - уравнение движения материальной точки, где S – путь, t – время движения. Тогда: ( ) ( ) ( ) ( ) t v t a t S t v ′ = ′ = ; , где v – скорость, a - ускорение. Определенный интеграл ( ) ( ) ( ) a F b F dx x f b a − = ∫ Первообразная элементарных функций № f(x) F(x) № f(x) F(x) 1 k C kx + 6 x 2 cos 1 C tgx + 2 n x C n x n + + + 1 1 7 x 2 sin 1 C ctgx + − 3 x 1 C x + ln 4 x sin C x + − cos 8 x e C e x + 5 cos C x + sin 9 x a C a a x + ln Правила вычисления первообразной функции Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если ( ) ( ) x f x F = ′ Функция Первообразная ( ) x f k ⋅ ( ) x F k ⋅ ( ) ( ) x f x f 2 1 + ( ) ( ) x F x F 2 1 + ( ) b ax f + ( ) b ax F a + 1 Правила вычисления производной функции 2 v v u v u v u ′ ⋅ − ⋅′ = ′ ( ) u C u C ′ ⋅ = ′ ⋅ ( ) ' ' ' v u v u + = + Сложная функция: ( ) ( ) ' ' x f y x f y ϕ ϕ ϕ ⋅ = ′ ⇒ = ( ) v u v u v u ′ ⋅ + ⋅ ′ = ′ ⋅ Производные элементарных функций № Функ ция Произво дная № Функ ция Произво дная 1 n x 1 − n nx 6 x e x e 2 x sin x cos 7 x a a a x ln 3 x cos x sin − 8 x ln x 1 4 tgx x 2 cos 1 5 ctgx x 2 sin 1 − 9 x a log a x ln 1 ⋅ Равносильные уравнения: Исходное уравнение Равносильное уравнение (система) ) ( ) ( x g x f = ⇔ C x g C x f + = + ) ( ) ( 0 ) ( ) ( = ⋅ x g x f ⇔ = = 0 ) ( 0 ) ( x g x f 0 ) ( ) ( = x g x f ⇔ ≠ = 0 ) ( 0 ) ( x g x f 0 ) ( ) ( 2 2 = + x g x f ⇔ = = 0 ) ( 0 ) ( x g x f Числовые множества: Натуральные числа N = { 1; 2; 3; 4; . .} Целые числа Z = N ∪ { 0; -1; -2; -3; …} Рациональные числа Q = Z ∪ − − ; 3 1 ; 3 1 ; 2 1 ; 2 1 Действительные числа R = Q ∪ { } ..; 14 , 3 .; ; 3 ; 2 = π д т и Признак Пример На 2 Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой …….6 На 4 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4. ……1 2 На 8 Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8. …..10 4 На 3 Числа, сумма цифр которых делится на 3. 57061 2 На 9 Числа, сумма цифр которых делится на 9. 35945 1 На 5 Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5. …….5 На 25 Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25. ……7 5 На 10 Числа, оканчивающиеся нулём. ……0 Если D < 0 D = 0 D > 0 то уравнение не имеет корней имеет один корень имеет два корня x ∈∅ x 1 x 1 ; x 2 Формула деления с остатком: n = m ⋅ k + r, где n – делимое, m - делитель, k - частное, r – остаток: 0 ≤ r < m Пример: Любое число можно представить в виде: n = 2k + r , где r = {0; 1} или n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3} 0 )' ( = C Тригонометрия Основные триг. формулы 1 cos sin 2 2 = + α α ⇒ α α 2 2 cos 1 sin − = α α 2 2 sin 1 cos − = α α α cos sin = tg α α α sin cos = ctg ⇒ 1 = ⋅ α α ctg tg α α 2 2 cos 1 1 = + tg α α 2 2 sin 1 1 = + ctg Формулы суммы функций 2 cos 2 sin 2 sin sin β α β α β α − + = + 2 sin 2 cos 2 sin sin β α β α β α − + = − 2 cos 2 cos 2 cos cos β α β α β α − + = + 2 sin 2 sin 2 cos cos β α β α β α − + − = − ( ) β α β α β α cos cos sin + = + tg tg ( ) β α β α β α cos cos sin − = − tg tg Формулы суммы аргументов: ( ) β α β α β α sin cos cos sin sin + = + ( ) β α β α β α sin cos cos sin sin − = − ( ) β α β α β α sin sin cos cos cos − = + ( ) β α β α β α sin sin cos cos cos + = − ( ) β α β α β α tg tg tg tg tg − + = + 1 ( ) β α β α β α tg tg tg tg tg + − = − 1 Формулы произведения функций ( ) ( ) ( ) β α β α β α + − − = cos cos 2 1 sin sin ( ) ( ) ( ) β α β α β α + + − = cos cos 2 1 cos cos ( ) ( ) ( ) β α β α β α + + − = sin sin 2 1 cos sin Формулы половинного аргумента 2 cos 1 2 sin 2 α α − = 2 cos 1 2 cos 2 α α + = α α α α α sin cos 1 cos 1 sin 2 − = + = tg Формулы двойного аргумента α α α cos sin 2 2 sin = α α α α α 2 2 2 2 sin 2 1 1 cos 2 sin cos 2 cos − = − = − = α α α 2 1 2 2 tg tg tg − = Формула дополнительного угла ( ) ϕ α α α + + = + sin cos sin 2 2 b a b a где 2 2 sin b a b + = ϕ 2 2 cos b a a + = ϕ Определение тригонометрических функций Универсальная подстановка α α α 2 1 2 2 sin tg tg + = α α α 2 2 1 1 2 cos tg tg + − = Свойства тригонометрических функций Функ ция Свойства Область определения Множес тво значени й Четность- нечетность Период cosx ( ) ∞ ∞ − ∈ ; x [ ] 1 ; 1 − cos(-x)= cosx 2π sinx ( ) ∞ ∞ − ∈ ; x [ ] 1 ; 1 − sin(-x)= -sinx 2π tgx Z n n x ∈ + ≠ , 2 π π ( ) ∞ ∞ − ; tg(-x)= -tgx π ctgx Z n n x ∈ ≠ , π ( ) ∞ ∞ − ; ctg(-x)= -ctgx π Тригонометрические уравнения Косинус: n x x π π + = ⇒ = 2 0 cos n x x π 2 1 cos = ⇒ = n x x π π 2 1 cos + = ⇒ − = Z n n a x a x ∈ + ± = ⇒ = , 2 arccos cos π Уравнения с синусом Частные формулы: n x x π = ⇒ = 0 sin n x x π π 2 2 1 sin + = ⇒ = n x x π π 2 2 1 sin + − = ⇒ − = Общая формула: ( ) Z n n a x a x n ∈ + − = ⇒ = , arcsin 1 sin π Уравнения с тангенсом и котангенсом Z n n arctga x a tgx ∈ + = ⇒ = , π Z n n arcctga x a ctgx ∈ + = ⇒ = , π Формулы обратных триг функций 2 arccos arcsin π = + x x 2 π = +arcctgx arctgx Если 0 < x ≤ 1, то arccos(-x) = π - arccosx arcsin(-x) = - arcsinx Если x > 0 , то arctg(-x) = - arctgx arcctg(-x) = π - arcctgx Обратные триг функции Функция Свойства Область определения Множество значений arccosx [ ] 1 ; 1 − [0; π] arcsinx [ ] 1 ; 1 − [- π/2; π/2] arctgx ( ) ∞ ∞ − ; (- π/2; π/2) arcctgx ( ) ∞ ∞ − ; (0; π) α 1 0 - β 0 90 0 180 0 270 0 cos α cos β 0 - 1 0 0 90 0 180 0 270 0 α β sin β sin α 0 - 1 90 0 180 0 270 0 α β tg β tg α 0 - 1 0 0 180 0 270 0 α β ctg β ctg α α α α cos sin = tg α α α sin cos = ctg α α 2α вписанные углы центральный угол Геометрия Теорема косинусов, синусов Теорема косинусов: γ cos 2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ − + = b a b a c Теорема синусов: R c b a 2 sin sin sin = = = γ β α Площадь треугольника a h a S ⋅ = 2 1 ( )( )( ) c p b p a p p S − − − = γ sin 2 1 ⋅ ⋅ = b a S R abc S 4 = r p S ⋅ = Средняя линия Средняя линия – отрезок, с соединяющий середины двух с сторон треугольника. Средняя линия параллельна т третьей стороне и равна е её половине: b n b 2 1 = Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного Равносторонний треугольник треугольник, у которого все стороны равны. Все углы равны 60 0 Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой. Центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Радиусы окружностей: 3 3 ; 6 3 a R a r = = Площадь 4 3 2 a S = Равнобедренный треугольник треугольник, у которого две стороны равны. 1. Углы, при основании треугольника, равны 2. Высота, проведенная из вершины, является б биссектрисой и медиан Прямоугольный треугольник Теорема Пифагора: 2 2 2 b a c + = Площадь: b a S ⋅ = 2 1 Тригонометрические соотношения: a b tg c b c a = = = α α α ; sin ; cos Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиусы окружностей: 2 ; 2 c R c b a r = − + = Высота, опущенная на гипотенузу: c b c a b a c b a c b c a h = ⋅ = ⋅ = 2 ; Катеты: c b b c a a c c ⋅ = ⋅ = ; Основные соотношения в треугольнике Неравенство треугольника: a + b > c; a + c > b; b + c > a Сумма углов: α + β + γ = 180 0 Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона. Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны. Биссектриса Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам. • Биссектриса делит противолежащую сторону на части , пропорциональные прилежащим сторонам: a b : a c = b : c • Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам. • c b a a c b w ⋅ − ⋅ = Конус H R V 2 3 1 π = L R бок S π = S бок. = πR(R+L) Усеченный конус ) 2 2 2 1 2 1 ( 3 1 R R R R H V + + = π L R R бок S ) ( 2 1 + = π Вписанная окружность • Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника. • Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой: a + b = c + d Описанная окружность Касательная, секущая • • Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам. • Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. • Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная. • Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой: γ φ β α + = + Длина окружности, площадь Хорда Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности. • Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде. • В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности. • Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством: MD CM MB AM ⋅ = ⋅ Шар 3 3 4 R V π = 2 4 R бок S π = Шаровой сектор H R V 2 3 2 π = 2 2 H RH R бок S − = π Шаровой сегмент RH S π 2 = ) 3 ( 3 1 2 H R H V − = π Центральный, вписанный угол Сектор Касательная, секущая Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки. ( ) ( ) ( ) ( ) OC AC OB AB ⊥ ⊥ AC AB = 2 AB AK AP AN AM = ⋅ = ⋅ Призма H осн S V ⋅ = прямая призма Цилиндр RH бок S π 2 = H R V 2 π = Медиана Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. • Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника). • Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 a c b a m m m a a c b m − + = − + = Правильная пирамида Правильная пирамида пирамида, у которой в основании и правильный многоугольник, а вершина с м проецируется в центр основания. М Все боковые рёбра равны между м м собой и все боковые грани – равные м равнобедренные треугольники. , 2 1 ; 3 1 h P бок S H осн S V ⋅ = ⋅ = Усеченная пирамида H P P S ) ( 2 1 2 1 бок + = ) ( 3 1 2 1 2 1 S S S S V ⋅ + + = A B C a b c α β γ a h a a b c a b γ A B C a b c n b a b b a b a c – проекция катета α b c h A B C a b c w a c a b H R R R H куб 3 a V = O a b c d O O O O α β φ γ R d хорда дуга диаметр радиус O Длина окружности: R d l ⋅ = ⋅ = π π 2 Площадь круга: 2 R S ⋅ = π A B C D M H R H R O A B α Сектор – часть круга, ограниченная двумя его радиусами. Длина дуги сектора: 0 180 α πR l = Площадь сектора: 0 2 360 α π R S = O K A B C N M P A B C a b c m Скалярное произведение b a b a b a z z y y x x b a b a b a + + = ⋅ ⋅ = ⋅ α cos a b b a − Скалярное произведение Сумма, разность векторов ) ; ; ( ) ; ; ( ) ; ; ( ) ; ; ( b a b a b a b a b a b a a b b a a a z z y y x x b a z z y y x x b a z y x b и z y x a − − − = − + + + = + Углы на плоскости Перпендикулярность, коллинеарность Перпендикулярные вектора: 0 = ⋅ ⇔ ⊥ b a b a Коллинеарные вектора: b a b a z z y y x x b a b a b a b a λ λ = ⇔ = = = ⇔ Координаты вектора Координаты вектора: k z j y i x a z y x a a a a a a a + + = ⇔ ) ; ; ( Длина вектора: 2 2 2 a a a z y x a + + = Умножение вектора на число: ) ; ; ( a a a z y x a λ λ λ λ = Свойства прямых и плоскостей (SO) – перпендикуляр к плоскости (ABCD). O – проекция точки S. SO – расстояние от точки S до плоскости (ABCD). α – двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD). Теорема о трёх перпендикулярах: ( ) ( ) ( ) ( ) OM AB SM AB ⊥ ⇔ ⊥ Функция Значения 0 0 0 π 6 30 0 π 4 45 0 π 3 60 0 π 2 90 0 cosx 1 2 3 2 2 2 1 0 sinx 0 2 1 2 2 2 3 1 tgx 0 3 3 1 3 - ctgx - 3 1 3 3 0 Выпуклый четырёхугольник Произвольный выпуклый четырёхугольник: Сумма всех углов равна 360 0 Площадь: ϕ sin 2 1 2 1 ⋅ ⋅ = d d S Правильный многоугольник Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают. Сторона правильного n–угольника: n R a n 0 180 sin 2 = Площадь правильного n–угольника: n n R S r P S n n n 0 2 360 sin 2 1 ; 2 1 ⋅ ⋅ = = Произвольный выпуклый многоугольник Произвольный выпуклый многоугольник: Сумма всех углов равна ( ) ( ) 2 180 2 0 − − n или n π Число диагоналей: ( ) 3 2 1 − ⋅ n n Трапеция Трапеция: Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна: 2 b a n + = Площадь: nh h b a S = + = 2 Квадрат Квадрат: Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. Диагональ квадрата 2 a d = Площадь: 2 2 2 1 d a S = = Ромб Ромб: Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом. Диагональ ромба является его осью симметрии. Диагонали взаимно перпендикулярны. Диагонали являются биссектрисами углов. Площадь: 2 1 2 1 d d S ⋅ = Параллелограмм Параллелограмм: Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельные называется параллелограммом. Середина диагонали является центром симметрии. Противоположные стороны и углы равны. Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Диагонали делятся точкой пересечения пополам: ) ( 2 2 2 2 2 2 1 b a d d + = + Площадь: ϕ α sin 2 1 sin 2 1 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = d d b a h a S a Прямоугольный параллелепипед V=abc d 2 =a 2 +b 2 +c 2 a b ∝ a b b a + внутренние односторонние вертик α 180 0 −α смежные углы α A S O B M C D β A A B B d 1 d 2 φ O r R a b h n a a d d 1 d 2 A B C D α a b h a φ |