Алгоритм вычислений собственных значений. Алгоритм вычисления собственных значений алгоритм, позволяющий определить собственные значения и собственные векторы заданной матрицы
 Скачать 78.74 Kb.
|
|
Алгоритм вычисления собственных значений — алгоритм, позволяющий определить собственные значения и собственные векторы заданной матрицы. Не существует простых алгоритмов прямого вычисления собственных значений для матриц в общем случае, но для многих специальных классов матриц собственные значения можно вычислить прямо. Любой нормированный многочлен является характеристическим многочленом сопровождающей матрицы, поэтому алгоритм для вычисления собственных значений можно использовать для нахождения корней многочленов. Теорема Абеля — Руффини показывает, что любой такой алгоритм для размерности большей 4 должен либо быть бесконечным, либо вовлекать функции более сложные, чем элементарные арифметические операции или дробные степени. По этой причине алгоритмы, вычисляющие точно собственные значения за конечное число шагов, существуют только для специальных классов матриц. В общем случае алгоритмы являются итеративными, дающими на каждой итерации очередное приближение к решению. Некоторые алгоритмы дают все собственные значения, другие дают несколько значений или даже всего одно, однако и эти алгоритмы можно использовать для вычисления всех собственных значений. Как только собственное значение λ матрицы A определено, его можно использовать либо для приведения алгоритма к получению другого собственного значения, либо для сведения задачи к такой, которая не имеет λ в качестве решения. Приведение можно совершить путём сужения матрицы A к пространству столбцов матрицы A - λE. Поскольку A - λE вырождена, пространство столбцов имеет меньшую размерность. Алгоритм вычисления собственных значений можно тогда применить к этой суженой матрице. Процесс можно продолжать пока не будут найдены все собственные значения. Например, в степенном методе μ = λ. Итерация степенного метода находит самое большое по абсолютной величине значение, так что даже если λ является приближением к собственному значению, итерация степенного метода вряд ли найдёт его во второй раз. И наоборот, методы, основанные на обратных итерациях находят наименьшее собственное значение, так что μ выбирается подальше от λ в надежде оказаться ближе к какому-нибудь другому собственному значению. Треугольные матрицы Поскольку определитель треугольной матрицы является произведением её диагональных элементов, то для треугольной матрицы T det (λE – T) Пi (λ – Tii) {\displaystyle \mathrm {det} \left(\lambda E-T\right)={\prod }_{i}\left(\lambda -T_{ii}\right)}Таким образом, собственные значения T - это её диагональные элементы. Разложимые полиномиальные уравнения Если p ― любой многочлен и p(A) = 0, то собственные значения матрицы A удовлетворяют тому же уравнению. Если удаётся разложить многочлен p на множители, то собственные значения A находятся среди его корней. Например, проектор - это квадратная матрица P, удовлетворяющая уравнению P2 = P. Корнями соответствующего скалярного полиномиального уравнения λ2 = λ будут 0 и 1. Таким образом, проектор имеет 0 и 1 в качестве собственных значений. Кратность собственного значения 0 - это дефект P, в то время как кратность 1 = это ранг P. Другой пример ― матрица A, удовлетворяющая уравнению A2 = α2E для некоторого скаляра α. Собственные значения должны быть равны ±α. Операторы проектирования P+=1/2 (E + A/α) P-=1/2 (E – A/α) Удовлетворяют равенствам AP+= αP+ , AP-= - αP- и P+ P+ = P+ , P+ P- = P- P+ Пространства столбцов матриц P+ и P- являются подпространствами собственных векторов матрицы A, соответствующими +α и -α, соответственно. Матрицы 2×2 Для размерностей от 2 до 4 существуют использующие радикалы формулы, которые можно использовать для вычисления собственных значений.  Для матриц 2×2 характеристический многочлен равен  Собственные значения можно найти как корни квадратного уравнения:  Если определить  как расстояние между двумя собственными значениями, легко вычислить  с подобными формулами для c и d. Отсюда следует, что вычисление хорошо обусловлено, если собственные значения изолированы. Собственные векторы можно получить, используя теорему Гамильтона — Кэли. Если λ1 , λ2 — собственные значения, то (A – λ1 E )(A – λ2 E ) = (A – λ2 E )(A – λ1 E ) = 0, так что столбцы (A – λ2 E ) обнуляются матрицей (A - λ1E ) и наоборот. Предполагая, что ни одна из матриц не равна нулю, столбцы каждой матрицы должны содержать собственные векторы для другого собственного значения (если же матрица нулевая, то A является произведением единичной матрицы на константу и любой ненулевой вектор является собственным). Матрицы 3×3 Если A является матрицей 3×3, то характеристическим уравнением будет:  Э  то уравнение можно решить с помощью методов Кардано или Лагранжа, но аффинное преобразование матрицы A существенно упрощает выражение и ведёт прямо к тригонометрическому решению. Если A = pB + qE, то A и B имеют одни и те же собственные векторы и β является собственным значением матрицы B тогда и только тогда, когда α = pβ + q является собственным значением матрицы A. Если положить , получим: Подстановка β = 2cos θ и некоторое упрощение с использованием тождества cos 3θ = 4cos3 θ - 3cos θ сводит уравнение к cos 3θ = det(B) / 2. Таким образом,  Если det(B) является комплексным числом или больше 2 по абсолютной величине, арккосинус для всех трёх величин k следует брать из одной и той же ветви. Собственные векторы A можно получить путём использования теоремы Гамильтона — Кэли. Если α1, α2, α3 — различные собственные значения матрицы A, то (A - α1E)(A - α2E)(A - α3E) = 0. Тогда столбцы произведения любых двух из этих матриц содержат собственные векторы третьего собственного значения. Однако если a3 = a1, то (A - α1E)2(A - α2E) = 0 и (A - α2E)(A - α1E)2 = 0. Таким образом, корневое собственное подпространство α1 натянуто на столбцы A - α2E, в то время как обычное собственное подпространство натянуто на столбцы (A - α1E)(A - α2E). Обычное собственное подпространство α2 натянуто на столбцы (A - α1E)2. Например, пусть  Х  арактеристическое уравнение равно с  собственными значениями 1 (кратности 2) и −1. ВычисляемА затем  Тогда (-4, -4, 4) является собственным вектором для −1, а (4, 2, -2) является собственным вектором для 1. Векторы (2, 3, -1) и (6, 5, -3) являются корневыми векторами, соответствующими значению 1, любой из которых можно скомбинировать с (-4, -4, 4) и (4, 2, -2), образуя базис корневых векторов матрицы A. |