цос 2.6-2. Анализ рекурсивных цифровых фильтров 1го и 2го порядка

• Название: Анализ рекурсивных цифровых фильтров 1го и 2го порядка
• Дата: 28.10.2022
• Размер: 235.76 Kb.
• Имя файла: цос 2.6-2.docx
• Тип: Лабораторная работа; #759843

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

_______________________________________________

МОСКОВСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

СВЯЗИ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра общей теории связи

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

№ 26-2

по дисциплине «Цифровая обработка сигналов»

на тему:

«Анализ рекурсивных цифровых фильтров

1-го и 2-го порядка»

Вариант №2

Выполнил: студ. гр. БМС1301

Дарьин Роман

Проверил: проф. каф. ОТС

Волчков В. П.

(Осенний семестр)

Москва 2015

1. Цель работы

На персональном компьютере провести анализ рекурсивных цифровых фильтров (ЦФ) 1-го и 2-го порядка; исследовать частотные и временные характеристики фильтров, а так же их взаимосвязь со значениями коэффициентов (параметров) ЦФ; определить области устойчивости рекурсивных фильтров 1 и 2 порядка.

2. Выполнение домашнего задания

2.1. Исходные данные варианта

Исходные данные в соответствии с номером варианта представлены в табл. 1.

Параметр
Значение

Табл. 1. Таблица значений параметров фильтра.

2.2. Запись разностного уравнения и системной функции ЦФ 1-го порядка

Разностное уравнение в общем виде:





Подставим в уравнение значения коэффициентов и получим итоговое разностное уравнение:



После получения разностного уравнения можем составить системную функцию.

Системная функция в общем виде:





2.3. Изображение структурной схемы ЦФ.

Построим структурную схему ЦФ 1-го порядка с заданными коэффициентами.



Рис. 1. Структурная схема рекурсивного ЦФ 1-го порядка ( )

2.4. Расчёт импульсной реакции и амплитудно-частотной характеристики ЦФ

Импульсной реакцией  ,i = 0, 1, 2, …, называется отклик ЦФ на входной единичный импульс:



В соответствии с формулами (3) и (6) получаем импульсную реакцию заданного рекурсивного ЦФ 1-го порядка:





Теперь построим график импульсной характеристики по полученным точкам.



Рис. 2. Импульсная реакция рекурсивного ЦФ 1-го порядка ( )

Передаточная и системная функции ЦФ связаны равенством:

. При определении АЧХ и ФЧХ ЦФ его передаточную функцию нужно представить в следующем виде: . Здесь является модулем функции или АЧХ, а – аргумент функции или ФЧХ ЦФ. Тогда, при подстановке в найденную нами в пункте 2.2. системную функцию, мы получим уравнение вида:



Отсюда мы можем найти АЧХ ЦФ, которую можно найти по формуле:



АЧХ примет вид:



По условию, нам задан диапазон от 0 до 8 кГц, значит, частота дискретизации равна 8 кГц. Тогда мы можем найти период по формуле:



Зная период, мы можем вычислить и построить график АЧХ:





Рис. 3. АЧХ рекурсивного ЦФ 1-го порядка ( )

1. 
   Выполнение лабораторной работы
   
   1. 
      Исходные параметры фильтров
      

№ фильтра	Порядок фильтра	b0	a1	a2
1а	1	1	1	0
2а	1	1	-1	0
3а	1	1	1,017	0
4а	1	1	-0,983	0
5а	1	1	0,983	0
6а	1	1	-1,017	0
7а	1	1	0,9	0
8а	1	1	-0,9	0
9а	1	1	0,7	0
10а	1	1	-0,7	0
1б	2	1	-1,6	-0,9
2б	2	1	0,4	-0,9
3б	2	1	1,5	-0,9
4б	2	1	0,8	-0,4
5б	2	1	0,25	0,6
6б	2	1	-0,2	0,6

1. 
   Структурная схема ЦФ 2-го порядка
   

Структурная схема исследуемого рекурсивного ЦФ второго порядка представлена ниже

(14)



Рис. 4. Неканоническая структурная схема рекурсивного ЦФ 2-го порядка.

Для построения канонической структурной схемы введем вспомогательную функцию:

(15)

Откуда получаем следующее соотношение U(z):

(16)

Изображение отклика ЦФ имеем:

(17)

Применяя обратное Z-преобразование и используя свойства Z-преобразования, приходим к соотношениям для последовательностей {u_i} и {y_i} :

(18)

(19)

(20)

(21)



Рис. 5. Каноническая структурная схема рекурсивного ЦФ 2-го порядка.

1. 
   Результаты эксперимента
   

В данном отчете приведены импульсные характеристики (ИХ), амплитудно-частотные характеристики (АЧХ), переходные характеристики (ПХ), которые рассчитываются по данным формулам:

ИХ фильтра первого порядка:

(22)

(23)

ИХ фильтра второго порядка:

(24)

АЧХ фильтра первого порядка:

(25)

(16)

(26)

АЧХ фильтра второго порядка:

(27)

ПХ фильтров:

(28)

2. 
   Детальные выводы по проделанной работе.
   

1. 
   Устойчивость:
   

Фильтры № 3а и № 6а являются неустойчивыми, это мы можем доказать с помощью трех неравенств устойчивости:

(29)

(30)

Поскольку фильтр №3 имеет значение коэффициента а фильтр №6 имеет значение коэффициента , мы можем сделать вывод, что они не устойчивы, так как условие (30) не выполняется.

Все остальные фильтры устойчивы, так как удовлетворяют заданным условиям.

№ фильтра	Порядок					вывод
1a	1	1	0	1	-1	устойчив
2a	1	-1	0	-1	1	устойчив
3a	1	1,017	0	1,017	-1,017	не устойчив
4a	1	-0,983	0	-0,983	0,983	устойчив
5a	1	0,983	0	0,983	-0,983	устойчив
6a	1	-1,017	0	-1,017	1,017	не устойчив
7a	1	0,9	0	0,9	-0,9	устойчив
8a	1	-0,9	0	-0,9	0,9	устойчив
9а	1	0,7	0	0,7	-0,7	устойчив
10a	1	-0,7	0	-0,7	0,7	устойчив
1б	2	-1,6	-0,9	-2,5	0,7	устойчив
2б	2	0,4	-0,9	-0,5	-1,3	устойчив
3б	2	1,5	-0,9	0,6	-2,4	устойчив
4б	2	0,8	-0,4	0,4	-1,2	устойчив
5б	2	0,25	0,6	0,85	0,35	устойчив
6б	2	-0,2	0,6	0,4	0,8	устойчив

2) Классификация исследуемых фильтров:

ФНЧ–в фильтре нижних частот АЧХ локализована в обрасти нижних частот.

ФВЧ – в фильтре верхних частот АЧХ локализована в области частоты Найквиста.

ПФ– в полосовом фильтре АЧХ локализована в области между 0 и частотой Найквиста.

В домашней работе, рекурсивный ЦФ 1-го порядка (b₀ = 1, a₁ = -0,6) представляет собой фильтр верхних частот (ФВЧ).

Список номеров фильтров и соответствующих им типов, полученных в результате анализа частотных характеристик:

1) фильтры первого порядка: Фильтр № 1a– ФНЧ; Фильтр № 2a– ФВЧ; Фильтр № 4a – ФВЧ; Фильтр № 5a – ФНЧ; Фильтр № 7a – ФНЧ; Фильтр № 8a – ФВЧ; Фильтр № 9a – ФНЧ; Фильтр № 10a – ФВЧ;

2) фильтры второго порядка: Фильтр № 1б – ПФ; Фильтр № 2б – ПФ; Фильтр № 3б – ПФ; Фильтр № 4б – ПФ; Фильтр № 5б – ПФ; Фильтр № 6б – ПФ.

3) Сравнение АЧХ рекурсивных ЦФ и нерекурсивных ЦФ 1-го и 2-го порядка:

Сравнение ФВЧ (АЧХ-№2, №5, №6 из лаб. 26-1 и АЧХ-№2a, №4a, №6а, №8а, №2б из лаб. 26-2) для одного и того же порядка, можно сделать вывод, что:

• 
  Рекурсивные фильтры имеют более крутой подъем АЧХ на границе полосы пропускания;
  
• 
  ЦФ 2-го порядка имеют нежелательные пульсации, как нерекурсивные (АЧХ-№5 из лаб. 26-1), так и рекурсивные (АЧХ-№2б из лаб. 26-2). Однако можно заметить, что в рекурсивных ЦФ пульсации менее заметны.
  

Сравнение ФНЧ (АЧХ-№1, №3, №4 из лаб. 26-1 и АЧХ-№1a, №3a, №5а, №7а, №1б из лаб. 26-2) для одного и того же порядка, можно сделать вывод, что:

• 
  Рекурсивные фильтры имеют более крутой спад АЧХ на границе полосы пропускания;
  
• 
  ЦФ 2-го порядка имеют нежелательные пульсации, как нерекурсивные (АЧХ-№5 из лаб. 26-1), так и рекурсивные (АЧХ-№2б из лаб. 26-2). Однако можно заметить, что в рекурсивных ЦФ пульсации менее заметны.
  

4) Сравнение АЧХ рекурсивных ЦФ 1-го и 2-го порядка:

Сравнив АЧХ-№4а и №2б ФВЧ разных порядков можно сделать вывод:

• 
  Чем больше порядок, тем больше крутизна подъема;
  
• 
  В фильтре 2-го порядка наблюдаются нежелательные пульсации в полосе пропускания.
  

Сравнив АЧХ-№5а и №1б ФНЧ разных порядков можно сделать вывод:

• 
  Чем больше порядок, тем больше крутизна спада;
  
• 
  В фильтре 2-го порядка наблюдаются нежелательные пульсации в полосе задерживания.
  

5) Преимущества и недостатки БИХ-фильтров:
Преимущества:

• 
  БИХ фильтры могут быть использованы для реализации цифровых аналогов классических видов аналоговых фильтров, таких как фильтры Баттерворта, Чебышева и т.д.
  
• 
  При аналогичных характеристиках, БИХ фильтры имеют более простую реализацию по сравнению с КИХ фильтрами.
  

Недостатки:

• 
  БИХ фильтры более чувствительны к конечной разрядности вычислений, которая приводит к появлению колебаний т.н. «предельных циклов».
  

За исключением специального случая, когда все полюса передаточной функции лежат на единичной окружности z-плоскости, невозможно построить реализуемый стабильный БИХ фильтр, имеющий точно линейную ФЧХ.