автокорреляция. Автокорреляция уровней временного ряда
 Скачать 1.99 Mb.
|
|
АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА 2000 г. 2001 г. 2002 г. 2003 г. 2004 г. ВВП, млрд. руб. 7305,6 8943,6 10834,2 13285,2 17048,1 Временные ряды Эконометрическую модель можно построить, используя два типа исходных данных: данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени; данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени. Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные по данным второго типа, называются моделями временных рядов. Временной ряд (динамический ряд, ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Три составляющие временного ряда Долговременная тенденция Т Периодические (циклические или сезонные) колебания S Случайная компонента Е Модели временного ряда: Основная задача эконометрического исследования временного ряда: выявление и количественное выражение его компонент (тенденции, периодичности, случайной компоненты) в целях их использования для прогнозирования будущих значений ряда. 1) аддитивная 2) мультипликативная 3) смешанная t t t E S T t Y t t t E S T t Y t t t E S T t Y Автокорреляция уровней временного ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда. Измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями ряда, сдвинутыми на несколько шагов назад во времени: n t n t t t n t t t y y y y y y y y r 1 1 2 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( n y y n t t 1 1 n y y n t t 1 2 τ – величина сдвига во времени, или лаг Например, лаг τ=1 означает, что ряд сдвинут на один период (момент) назад и т.д. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. τ=1 => τ=2 => n t n t t t n t t t y y y y y y y y r 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( n t n t t t n t t t y y y y y y y y r 3 3 2 4 2 2 3 3 4 2 3 2 ) ( ) ( ) ( ) ( Свойства коэффициента автокорреляции: • характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда, поэтому по данному коэффициенту можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции может приближаться к нулю; • по знаку коэффициента автокорреляции нельзя судить о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Автокорреляционная функция временного ряда (АКФ) – это последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и т.д. порядков. Коррелограмма – это график зависимости значений АКФ от величины лага. Моделирование тенденции временного ряда Аналитическое выравнивание – это построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, т.е. построение тренда: • линейный тренд • экспоненциальный тренд • гипербола • тренд в форме степенной функции bt a y t ˆ bt a t e y ˆ t b a y t / ˆ b t t a y ˆ Для определения вида тенденции применяются следующие методы: – качественный анализ изучаемого процесса; – построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени; – расчет и анализ показателей динамики временного ряда (абсолютные приросты, темпы роста и др.); – метод перебора, при котором строятся тренды различного вида с последующим выбором наилучшего на основании значения скорректированного коэффициента детерминации. Выбор вида тенденции на основе качественного анализа Процессы с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста Функции: линейная, параболическая, экспоненциальная, степенная. Процессы, имеющие предел роста (падения), так называемые процессы с «насыщением» Функции: гиперболическая, модифицированная экспонента. S-образные процессы Функция: логистическая. bt t e a K y 0 1 Моделирование периодических колебаний Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S, E для каждого уровня ряда. Процесс построения модели включает в себя следующие этапы: 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2. Расчет значений периодической компоненты S. 3. Устранение периодической компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+Е) в аддитивной или (Т•Е) в мультипликативной модели. 4. Аналитическое выравнивание уровней ряда и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда. 5. Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т•S). 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. 1 этап. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней 2 этап. Расчет значений периодической компоненты S 3 этап. Устранение периодической компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т+Е) 4 этап. Аналитическое выравнивание уровней ряда и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда t T 186 , 0 715 , 5 Моделирование сезонных и циклических колебаний • Два подхода • Расчет сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели; • Применение фиктивных переменных. • Аддитивная модель Y=T+S+E • Мультипликативная модель Y=TSE • T - трендовая составляющая, • S – циклическая (сезонная) составляющая, • E – случайная составляющая. Алгоритм построения модели(методом скользящей средней) • 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. • 2. Расчет сезонной компоненты S. • 3. Устранение сезонной компоненты из исходных членов ряда и получение выравненных данных (T+E) в аддитивной модели или (TE) в мультипликативной модели. • 4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (TE) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда. • 5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или (TS). • 6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. , i i S S f f S S i i n S f i i S n f / T E Y S T E Y S ( ) E Y T S 2 2 ) ( 1 t t y y E 2 2 ) ( 1 t t y y E ) ( S T y E аддитивная модель мультипликативная модель корректирующий коэффициент: корректированные сезонные компоненты контроль сумма значений сезонной компоненты равна 0 сумма значений сезонной компоненты = числу периодов в цикле выравнивание сезонной компоненты расчет ошибок абсолютные ошибки E' = y t -(T*S) оценка качества модели • Применение фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебания. Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид: 0 , 1 (*) 1 1 1 1 случаях остальных всех во цикла каждого внутри j каждого для где x c x c x c t b a x y j t k k j j t • Параметр b в этой модели характеризуют среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. • В сущности, модель (*) - аналог аддитивной модели временного ряда. Пример • Построим модель регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных для данных о потреблении электроэнергии за 16 кварталов, млн.кВт.ч. t t y 1 6,0 2 4,4 3 5,0 4 9,0 5 7,2 6 4,8 7 6,0 8 10,0 9 8,0 10 5,6 11 6,4 12 11,0 13 9,0 14 6,6 15 7,0 16 10,8 r1 0,165155 r2 -0,56687 r3 0,113558 r4 0,983025 r5 0,118711 r6 -0,72205 r7 -0,00337 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1 2 3 4 5 6 7 Ряд1 • Составим матрицу исходных данных t 1 x 2 x 3 x y 1 1 0 0 6,0 2 0 1 0 4,4 3 0 0 1 5,0 4 0 0 0 9,0 5 1 0 0 7,2 6 0 1 0 4,8 7 0 0 1 6,0 8 0 0 0 10,0 9 1 0 0 8,0 10 0 1 0 5,6 11 0 0 1 6,4 12 0 0 0 11,0 13 1 0 0 9,0 14 0 1 0 6,6 15 0 0 1 7,0 16 0 0 0 10,8 • Оценим параметры уравнения регрессии (*) обычным МНК. Результаты оценки приведем в табл. переменная коэффициент t- критерий Const t x 1 x 2 x 3 8.3250 0.1875 -2.0875 -4.4750 -3.9125 36.6318 11.0691 -9.4797 -20.6292 -18.2034 R 2 =0,985 t табл = 2 • Уравнение регрессии имеет вид: 91 3 48 4 09 2 19 0 33 8 3 2 1 ˆ x x x y t t • Влияние сезонной компоненты в каждом квартале статистически значимо (t крит =2). • Сезонные колебания в I, II, III кварталах приводят к снижению этой величины. • В уровнях ряда присутствует возрастающая тенденция. КОИНТЕГРАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Коинтеграцией называется зависимость в уровнях двух (или более) временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположной направленности их тенденций. • Рассмотрим уравнение регрессии вида: • Одним из методов тестирования гипотезы о коинтеграции временных рядов и является критерий Энгеля-Грангера. t y (**) t t t bx a y t x • Алгоритм применения критерия: • 1. Выдвигается ноль-гипотеза об отсутствии коинтеграции между рядами и • 2.Рассчитывают параметры уравнения регрессии вида (**) • Где -первые разности остатков, полученных из соотношения • 3.Определяют фактическое значение t-критерия для коэффициента регрессии в уравнении (**). t y t x 1 t t b a t t t t x b a y a • 4.Сравнивают полученное значение с критическим значением статистики • Если фактическое значение больше критического значения для заданного уровня значимости , то ноль-гипотезу об отсутствии коинтеграции исследуемых временных рядов отклоняют и с вероятностью принимают альтернативную гипотезу о том, что между рядами есть коинтеграция. • В противном случае гипотеза об отсутствии коинтеграции между исследуемыми рядами не отклоняется. t ) 1 ( Поскольку коинтеграция означает совпадение динамики временных рядов в течение длительного промежутка времени, то сама эта концепция применима только к временным рядам, охватывающим сравнительно длительные (например, в несколько десятилетий) промежутки времени. • Пример. Пусть имеются данные о среднедушевом располагаемом доходе и среднедушевом расходе на конечное потребление в США в период с 1960 по 1991 г. • Провести тестирование временных рядов среднедушевого дохода и расхода на потребление на коинтеграцию. Год, Среднедушевой располагаемый доход Среднедушевые расходы на конечное потребление Остатки Скорректированные остатки дохода, расхода, 1 2 3 4 5 6 1960 7264 6698 173,80 - - 1961 7382 6740 106,98 2092,87 1862,99 1962 7583 6931 112,61 2207,95 2023,41 1963 7718 7089 146,12 2196,60 2042,34 1964 8140 7384 51,94 2520,30 2222,29 1965 8508 7703 31,57 2581,03 2326,50 1966 8822 8005 43,99 2627,08 2396,22 1967 9114 8163 -67,29 2690,45 2334,33 1968 9399 8506 12,88 2762,83 2562,28 1969 9606 8737 52,98 2762,32 2543,54 1970 9875 8842 -90,10 2880,59 2480,34 1971 10111 9022 -127,74 2920,73 2583,88 1972 10414 9425 -4,17 3051,89 2855,82 1973 11013 9752 -229,57 3430,27 2889,38 1974 10832 9602 -212,65 2813,12 2501,29 1975 10906 9711 -171,90 3018,91 2719,51 1976 11192 10121 -25,65 3251,03 3050,14 1977 11406 10425 81,00 3256,78 3055,61 1978 11851 10744 -10,39 3545,96 3153,26 1979 12039 10867 -51,76 3409,94 3052,98 Год, Среднедушевой располагаемый доход (долл.США), Среднедушевые расходы на конечное потребление Остатки, Скорректированные остатки дохода, расход а, 1 2 3 4 5 6 1980 12005 10746 -150,41 3239,06 2826,87 1981 12156 10770 -265,66 3414,81 2945,43 1982 12146 10782 -244,44 3294,86 2940,05 1983 12349 11179 -34,65 3505,15 3328,31 1984 13029 11617 -223,75 4037,34 3477,25 1985 13258 12015 -36,94 3771,21 3556,33 1986 13552 12336 112,93 3898,47 3587,53 1987 13545 12568 251,39 3677,40 3585,80 1988 13890 12903 268,22 4027,49 3751,88 1989 14030 13027 263,11 3916,29 3631,95 1990 14154 13051 172,76 3938,35 3565,66 1991 13987 12889 164,77 3681,06 3386,19 • Регрессионный анализ зависимости среднедушевых расходов на конечное потребление от среднедушевого располагаемого дохода показал следующее: • Константа -174,746 • Коэффициент регрессии 0,922212 • Стандартная ошибка 0,012837 • R-квадрат 0,994221 • Число наблюдений 32 • Число степеней свободы 30 • Уравнение регрессии имеет вид: 922 , 0 75 , 174 ˆ t t t x y • Применим критерий Энгеля-Грангера. Воспользовавшись полученным уравнением регрессии,определим остатки (см. табл.). Определим параметры уравнения регрессии: • • Константа -1,7293 • Коэффициент регрессии -0,2724 • Стандартная ошибка 0,126806 • R-квадрат 0,137319 • Число наблюдений 31 • Число степеней свободы 30 1 t t b a • Фактическое значение t-критерия, рассчитанное по данным уравнения регрессии,равно -2,154. • Критическое значение =1,9439 • Вывод: с вероятностью 95% можно отклонить ноль-гипотезу и сделать вывод о коинтеграции временных рядов среднедушевого дохода и среднедушевых расходов на конечное потребление 05 , 0 |