Лекция 3_Производные высших порядков. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных

• Название: Частные производные высших порядков. Экстремумы функции двух переменных
• Дата: 28.04.2023
• Размер: 59.37 Kb.
• Имя файла: Лекция 3_Производные высших порядков.docx
• Тип: Документы; #1096405

. Частные производные высших порядков.

Экстремумы функции двух переменных

Если частные производные функции z = f (х, у) сами явля­ются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их част­ные производные, которые называются частными производными второго порядка, то есть



Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т.д. по­рядков. Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.
Имеет место следующая теорема.

Теорема Шварца. Если частные производные второго порядка функции z = f (х,у) непрерывны в точке М0(х0,у0), то в этой точке смешанные
частные производные равны, то есть

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Так как



Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух перемен­ных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.

Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности точки
(х₀, у₀). Точка (х₀, у₀) называется точкой максимума (минимума) функции
z = f (x, y), если существует такая δ - окрестность точки (х₀, у₀), что во всех
ее точках (х,у), отличных от (х₀,у₀) , выполнятся неравенство




На рисунке 7: N₁ - точка макси­мума, а N₂ - точка минимума функ­ции z = f(x, y). Максимум и минимум функции называются ее экстрему­мами.

Теорема (необходимые условия экстремума). Если в точке (х₀, у₀) дифференцируемая функция z = f (x, y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

Геометрически равенства означают, что в точке экстремума функции касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию z = f (x, y) , параллельна плоскости Оху , так как уравнение касательной плоскости есть z = z₀ .



З амечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция имеет максимум в точке х = 0, у = 0 (см. рис. 8), но не имеет в этой точке частных произ­водных.

Точки, в которой частные производные первого порядка функции
z = f (x, y) равны нулю, то есть , и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция z = f (x, y) может иметь экстремум, а может и не иметь. Условия являются необходимыми, но не достаточными условиями существования экстремума. Так, например, для функции z = x² - y² точка (0,0) является критической (в ней и обращаются в ноль), однако, очевидно, никакого экстремума в этой точке нет (см. рис. 9).

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности стационарной точки (х₀, у₀) функция z = f (x, y) имеет не­прерывные частные производные до второго порядка включительно при­чем



.

Обозначим

Тогда:

1) если Δ(x₀, y₀) > 0, то функция z = f (x, y) в точке (х₀, у₀) имеет экстремум: максимум, если A < 0, и минимум, если A > 0 ;

2) если Δ(x0, y0) < 0, то функция z = f (x,y) в точке (х₀, у₀) экстремума не имеет;

3) если Δ(x0, y0) = 0, то экстремум в точке (х₀, у₀) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример 2. Найти точки экстремума функции z = 3x²y- x³ - y⁴.

Решение. 1) Найдем частные производные первого порядка:
. Точки, в которых частные производные
не определены отсутствуют.

2) Найдем стационарные точи, решая систему уравнений:



Отсюда получаем две точки: .

3) Находим частные производные второго порядка данной функции:

4) В точке М₁ (6,3) имеем: A = 6 • 3 - 6 • 6 = -18, B = 6 • 6 = 36,
C = -12• 3² =-108, отсюда Δ(6,3) = -18• (-108)-36² = 648 > 0, то есть
М₁ (6,3) - точка экстремума. Так как A = -18 < 0 , то М₁ (6,3) - точка максимума.

В точке М₂(0,0): A = 0, B = 0, C = 0, отсюда Δ(0,0) = 0. Проведем дополнительное исследование.

Значение функции в точке М₂ (0,0) равно нулю. Рассмотрим точки из окрестности точки
М₂(0,0) такие, что х = 0, тогда z(х = 0, у) = -y⁴ < 0, а теперь рассмотрим
точки из той же окрестности, но с условием у = 0 , х < 0 :
z(х < 0, у = 0) = -x³ > 0. Таким образом, в любой окрестности точки
М₂(0,0) функция принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М₂ (0,0) функция экстремума не имеет.

10. Наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области

Пусть функция z = f (x, y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются функци­ей в точках, расположенных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = f(x, y):

1) Найти все критические точки функции, принадлежащие D, и вычислить значения функции в них;

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) на границах области;

3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

П ример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области, ограниченной линиями:

,
.

Решение.

Здесь

1. 
   Находим все критические точки:
   

Решением системы являются точки (0,0),
(-1,0), (0,-1), . Ни одна из найденных точек не принадлежит области D.

2) Исследуем функцию z = x²y + ху² + ху на границе области, состоящей из участков АВ , ВС , СЕ и ЕА (см. рис. 10).

а) На участке

,










3) Сравнивая полученные результаты, имеем:



Замечание. Площадь поперечного сечения канала называют его живым сечением, а длину Р границы такого сечения называют смоченным периметром канала. С помощью теоретических расчетов и эксперимента установлено [7], что из всех каналов с заданным живым сечением наи­большей пропускной способностью и одновременно наименьшей фильтра­цией отличаются каналы с наименьшим смоченным периметром. Про та­кие каналы говорят, что они имеют гидравлически наивыгоднейший про­филь.

Наиболее часто сооружают каналы, а также оросительные и водо­сточные канавы трапециидальной формы (AB=CD, см. рис. 11).



Пример 2. Найти наивыгоднейший с точки зрения гидравлики профиль канала трапецеидальной формы.

Решение. Найдем размеры поперечного сечения канала заданной площади S с наименьшим периметром. Пусть AB=CD=y, , BC=z.

Тогда . Выразив z из второй формулы и подставив в первую, получим:

Таким образом, требуется найти такую точку (х₀, у₀) из области

в которой функция Р(х,у) принимает наименьшее значение.

Найдя частные производные функции Р(х,у) и приравняв их к нулю, получим систему уравнений:



Подставив вместо S в первое уравнение этой системы левую часть второго уравнения, получим .

В рассматриваемой области D функция P(x,y) имеет единственную критическую точку , значение функции в ней равно .

Исследуем функцию на границе области D:

2. 
   При приближении точки (x, y) к прямым x=0 и y=0, а также при удалении в бесконечность по y функции P(x,y) неограниченно возрастает. Поэтому точку можно окружить таким прямоугольником
   , что вне его и на его границе
   
   

Отсюда следует, что – наименьшее значение функции P(x,y) в области D_1, оно же будет наименьшим значением этой функции в области D.

Итак, функция P(x,y) имеет наименьшее значение .

Из равенства . Таким образов в трапеции