Что такое конечная разность. Как она находится Определение. Нам даны некоторые узлы x i
 Скачать 248.57 Kb.
|
|
Билет 19. Что такое конечная разность. Как она находится? Определение. Нам даны некоторые узлы {x i } n i=0 из отрезка [a,b], функция f (x) определена на [a,b], и в этих узлах нам известны её табличные значения y i = f (x i ), i = 0, . . . , n . Кроме того, x i+1 − x i = h > 0 (промежутки равные). Разности f 1 − f 0 , f 2 − f 1 , . . . , f n − f n−1 назовем конечными разностями 1-го порядка и будем обозначать ∆f i = f i+1 − f i , i = 0, . . . , n − 1 Конечные разности 2-го порядка определяем через конечные разности 1-го поряд- ка: ∆ 2 f i = ∆f i+1 − ∆f i , i = 0, . . . , n − 2 и т.д. Конечные разности n-го порядка определим формулой: ∆ n f i = ∆ n−1 f i+1 − ∆ n−1 f i , i = 0 Конечные разности удобно оформлять в виде таблицы: Отметим, что если при вычислении конечных разностей допущена ошибка, то она быстро распространяется по таблице. Поэтому важно контролировать пра- вильность вычислений: сумма конечных разностей в столбце таблицы равна раз- ности крайних значений (верхнего и нижнего) предыдущего столбца Свойство 1. Конечные разности выражаются непосредственно через значения функции по формуле: ∆ k f 0 = f k − kf k−1 + k(k − 1) 2! f k−2 + · · · + (−1) k f 0 Свойство 2. Константу можно выносить за знак конечной разности. α ∈ R; ∆ k (αf ) i = α∆ k f i Свойство 3. Конечная разность от суммы (разности) функций равна сумме 1 (разности) конечных разностей слагаемых. ∆ k (f ± g) i = ∆ k f i ± ∆ k g i Свойство 4. Конечные и разделенные разности n-го порядка для случая рав- ноотстоящих узлов связаны между собой формулой: f (x 0 , x 1 , . . . , x n ) = ∆ n f 0 k!h n Доказать можно по методу мат. индукции. Свойство 5. (следствие из свойства 4) Конечная разность n-го порядка от многочлена n-й степени постоянна, а более высокого порядка равна нулю. Билет 20. Определение системы Чебышева. Определение. Система функций {φ(x)}, k = 0, . . . , n называется системой Чебы- шева на [a,b], если при любом расположении узлов x k ∈ [a,b], x l ̸= x j , при k ̸= j справедливо неравенство det(A) ̸= 0. Здесь A – матрица размерности (n+1)×(n+1) следующего вида: A = φ 0 (x 0 ) φ 1 (x k ) . . . φ n (x 0 ) φ 0 (x 1 ) φ 1 (x 1 ) . . . φ n (x 1 ) φ 0 (x n ) φ 1 (x n ) . . . φ n (x n ) Алгебраический многочлен по системе функций φ i (X) = x i , i = 0, . . . , n можно записать в виде: φ(x) = a 0 φ 0 (x) + a 1 φ 1 (x) + · · · + a n φ n (x) Пример другой системы Чебышева на [a,b]: 1)1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x на отрезке периодичности [0,2π] Пример системы, не являющйся системой Чебышева: φ 0 (x) = 1, φ 1 (x) = 0, −1 ≤ x < 0 x, 0 ≤ x ≤ 1 2 Билет 21. Оценить погрешность формулы численного диффе- ренцирования. f ¯ xx,i ≡ 1 h (f x,i − f ¯ x,i ) = f i+1 − 2f i + f i−1 h 2 Спросить у Гуриной Билет 22. Формула Гаусса для вычисления интегралов. Поче- му она имеет наивысшую алгебраическую степень точности. Z d c f (x)dx = d − c 2 N X i=1 A i f (x i ) , (1) где x i = d+c 2 + d−c 2 t i , i = 1,2, . . . , N, t i – нули полинома Лежандра P N (x) = 1 2 N N ! d N h ( x 2 −1 ) N i dx N Остаточный член формулы Гаусса с N узлами имеет вид: R N (f ) = (d − c) 2N +1 (N !) 4 f (2N ) (ξ) [(2N )!] 3 (2N + 1) , c < ξ < d Определение. Алгебраической степенью точностью квадратурной формулы называется максимальная степень многочленов, на которых она точна. Пример. Широко известный метод Гаусса по пяти точкам имеет порядок точ- ности 9. (2 ∗ 5 точек − 1) = 9 В общем случае, используя n точек, по формуле (1) можно получить метод с порядком точности 2n − 1, т. е. получаются точные значения для полиномов степени не выше 2n − 1. Почему она имеет наивысшую степень точности? Потому что у всех остальных методов степень меньше, а 2n − 1 максимально вохможная. Спросить у Гуриной. 3 Билет 23. Полиномом какой степени, является интерполяци- онный полином Лагранжа на N + 1 узле? Полином степени N. Пример. Имеем таблицу из трех узлов: f (100) = 10; f (121) = 11; f (144) = 12 Применяем формулу (указана после примера) и получаем многочлен Лагранжа, он является полиномом второй степени: 0,0000941x 2 + 0.0684172x + 4,0993700 Формула: Билет 24. Является ли интерполяционным полином метода наи- меньших квадратов? Eсли да, то при каких услови- ях? Этот билет совпадает с билетом №7. Спросить у Гуриной. 4 |