Лекция ДУ 1. Дифференциальные уравнения

• Название: Дифференциальные уравнения
• Дата: 25.10.2021
• Размер: 272.66 Kb.
• Имя файла: Лекция ДУ 1.docx
• Тип: Документы; #255487

Дифференциальные уравнения

§1. Дифференциальные уравнения

Определение. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков этой функции.

Общий вид ДУ:

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной в него входящей.

Примеры:

- ДУ 1 –порядка

- ДУ 2 –порядка

Определение: Любая, необходимое число раз дифференцируемая, функция , которая удовлетворяет данному ДУ, т.е. обращает его в тождество при замене и производных на и соответствующие значения производных называется решением ДУ.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если эта функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называется уравнением в частных производных.

Пример:

- обыкновенное

- в частных производных

§2. ДУ первого порядка. Основные определения.

Определение. ДУ первого порядка называется любое уравнение, содержащее независимую переменную , неизвестную функцию и её производную .

Форма записи ДУ:

1. 
   - общая форма;
   
2. 
   - форма дифференциального уравнения разрешённого относительно производной (нормальная форма)
   
3. 
   - форма дифференциального уравнения в дифференциалах или дифференциальная форма.
   

Все формы записи ДУ 1-порядка могут быть получены одна из другой.

Например:

- общая форма;

- нормальная форма;

-дифференциальная форма.

Определение. Решением ДУ 1-порядка называется такая дифференцируемая функция при подстановке, которой и её производной в ДУ получается тождество (верное равенство).

Пример. Проверить, что функция является решением дифференциального уравнения .

Решение: . Подставим эти значения в уравнение: .

При нахождении решения дифференциального уравнения приходится выполнять операции интегрирования.

Так простейшее ДУ 1 порядка имеет вид: . При решении дифференциального уравнения приходится выполнять операции интегрирования. Решение называется общим решением ДУ 1 порядка. Решение ДУ записанное в таком виде можно считать функцией двух переменных и .

Так как при интегрировании появляется произвольная постоянная , то ДУ имеет бесконечно много решений, каждое из которых получается, если постоянной придавать определённые значения.

Если решение ДУ получается в неявной форме, т.е. в виде уравнения , то оно называется общим интегралом первого порядка.

Если в общем решении придавать конкретные значения, то будут получаться решения, которые называются частными решениями ДУ.

Каждому из частных решений на плоскости соответствует некоторая кривая, которая называется интегральной кривой данного ДУ.

Пример. Проверить, что функция является решением дифференциального уравнения . Построить семейство интегральных кривых и выделить интегральную кривую, проходящую через точку .

Р
С=-1

С=1
ешение. Найдём производную функции . Подставим это значение в данное уравнение: . Следовательно -решение.

Уравнение определяет семейство парабол, которое будет семейством интегральных кривых.

Найдём интегральную кривую (параболу), проходящую через заданную точку . Подставив координаты этой точки в уравнение , получим , откуда , следовательно, функция является частным решением данного дифференциального уравнения, а её график (интегральная кривая) будет проходить через заданную точку.

Определение. Частным называется решение, которое получается из общего при конкретном значении постоянной . Аналогично получается частный интеграл

Значение получается при заданных значениях и . Это значение обычно записывают в виде или . Оно называется начальным условием.

Определение. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Записать задачу Коши в общем виде можно в виде системы: .

Решить задачу Коши означает, из всех значений произвольной постоянной в общем решении ДУ выбрать то, при котором выполняется начальное условие.

Геометрически решение задачи Коши означает нахождение интегральной кривой, проходящей через т. .

Теорема Коши (о существовании и единственности решения ДУ 1 порядка).

Если правая часть уравнения и её частная производная по определены и непрерывны в некоторой области изменения переменных и , то решение задачи Коши существует и единственно.

Геометрически эта теорема означает, что через каждую внутреннюю точку области проходит единственная интегральная кривая.

Точки, в которых не выполняются условия теоремы существования и единственности решения называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках терпит разрыв или функция или её частная производная . Через каждую из этих точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит не одной.

Например. Правая часть дифференциального уравнения и его частная производная непрерывны во всех точках числовой прямой, кроме точек . Т.о., во всех точках плоскости , за исключением оси , правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши. Точки, лежащие на оси называются особыми.

Решением этого уравнения является функция , где . Общее решение геометрически представляет собой совокупность всех прямых, проходящих через начало координат, за исключением оси .Через каждую точку, не лежащую на оси проходит единственная прямая, а через начало координат - бесчисленное множество. Нарушение единственности объясняется тем, что начало координат является особой точкой.

§3. Задачи, приводящие к ДУ

Для нахождения неизвестной функции по условиям задачи составляют ДУ, интегрируют его и находят искомую функцию. При составлении ДУ учитывают геометрический и физический смысл производной.

П ример.

Найти кривую, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что отрезок любой её касательной, заключённый между координатными осями, делится пополам точкой касания.

Решение. - точка касания. Тогда ; ( - средняя линия Δ ). . Аналогично .



или - ДУ

Решим это уравнение: , где .

Итак, общим решением ДУ является семейство равносторонних гипербол с асимптотами, совпадающими с осями координат.

Найдём гиперболу, проходящую через заданную точку . Подставим в уравнение координаты этой точки. Получаем С=6. Следовательно, искомая кривая .

Пример.

Скорость распада радия в каждый текущий момент времени пропорциональна его массе . Найти закон распада радия, если в начальный момент имелось радия.

Решение. Под скоростью распада радия понимается производная, поэтому согласно условию задачи имеем ДУ уравнение: , где . Знак «минус» указывает на то, что с увеличением времени масса уменьшается. Решим ДУ - это общее решение, графически представляет собой семейство функций, каждая из которых удовлетворяет ДУ.

Ч тобы найти частное решение надо подставить конкретные значения для и : и . Получим: . Подставляя это значение в общее решение получим частное решение задачи: . Геометрически это решение представляет собой показательную функцию для .

§4.Типы ДУ первого порядка и способы их решения.

1. 
   ДУ с разделяющимися переменными
   

Уравнения с разделяющимися переменными может быть представлено в следующих видах: (1)

(2)

Для решения уравнения вида (1) надо представить производную как отношение дифференциалов и разделить переменные, т.е. с одной стороны от знака равенства собрать выражение содержащее только , с другой – только :

Чтобы найти общее решение данного уравнения его необходимо проинтегрировать: или

, где - произвольная постоянная.

Замечание. Разделив обе части уравнения на можно потерять те решения, при которых . Значения при которых не входящее в общее решение уравнения (1), являются особыми решениями.

Уравнение с разделяющимися переменными

(2) Левую и правую часть этого уравнения на получим

.

Если решения уравнения не входят в общее решение, то они являются особыми решениями.

Пример: Найти общий интеграл уравнений, особые решения, а также частные решения, удовлетворяющие начальным условиям:

1. 
   , начальные условия:
   

Решение: Разделим обе части уравнения на и получим

.

Интегрируем обе части уравнения:

- общий интеграл.

Рассмотрим уравнение . Решение этого уравнения не являются особыми, так как они получаются из общего интеграла при (особым решением ДУ называется такое его решение, которое не может быть получено из общего ни при одном частном значении ).

Используя начальное условие , найдём . Подставляем и подставляем в общий интеграл. ; С=30.

Частное решение, удовлетворяющее начальному условию: .

, начальные условия:

Решение: . Разделим обе части уравнения на и умножим на : . Интегрируя, найдём общий интеграл .

.

Чтобы получить особое решение, рассмотрим уравнение . Это решение будет особым, т.к. оно не может быть получено из общего ни при одном числовом значении произвольной постоянной .

Частное решение получим из , подставляя в него , . . Тогда частным решением будет