Дискретная математика(соответствия). Дискретная математика Соответствия Основные определения
 Скачать 310.97 Kb.
|
 Дискретная математикаСоответствия |
Основные определения Пример 1. Экзаменационная ведомость устанавливает следующее соответствие : А={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Синицын, Васечкин, Макарова}.
В={2, 3, 4, 5}.
Иванов – 4 Петров – 2 Сидоров – 3 Конев – 4 Синицын на экзамен не явился Васечкин – 3 Макарова – 5 G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
А={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Синицын, Васечкин, Макарова}.
В={2, 3, 4, 5}.
Петров – 2 Сидоров – 3 Конев – 4 Синицын на экзамен не явился Васечкин – 3 Макарова – 5 G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Конев – 4 Синицын на экзамен не явился Васечкин – 3 Макарова – 5 G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Васечкин – 3 Макарова – 5 G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
G АВ, G-соответствие между студентами и оценками
Основные определения G={(Иванов, 4), (Петров, 2), (Сидоров, 3), (Конев, 4), (Васечкин, 3), (Макарова, 5)}. Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Область определения соответствия G – пр1G={Иванов, Петров, Сидоров, Конев, Васечкин, Макарова}. Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Область значений соответствия G – пр2G={2, 3, 4, 5}.
Основные определения В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
В примере 1: образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Свойства соответствий
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Свойства соответствий
Определим свойства отношения в примере 1. Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией. Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
образом Иванова является 4;
образом Сидорова - 3 и т.д.
Прообразом 2 является Петров;
Прообразом 4 – Иванов, Конев.
Соответствие GАВ называется всюду (полностью) определенным, если область определения совпадает с множеством А, т.е. пр1G=А. В противном случае соответствие называется частично определенным.
Соответствие GАВ называется сюръективным, если область значений совпадает с множеством В, т.е. пр2G=В.
Соответствие GАВ называется функциональным, если образом любого элемента а из области определения пр1G является единственный элемент b из области значений пр2G.
Соответствие GАВ называется инъективным, если прообразом любого элемента b из области значений пр2G является единственный элемент а из области определения пр1G.
Частично определено, так как нет образа для Синицына;
Сюръективно, так как для каждой оценки определен прообраз;
Функционально, так как каждому студенту соответствует единственная оценка;
Неинъективно, так как оценка 4 соответствует двум студентам.
Функции и отображения
Функциональное соответствие называется функцией.Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ (обозначается f : АВ). Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f(а)=b. Элемент а называется аргументом функции, элемент b – значение функции на а.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Функции и отображения Отображением А в В называется всюду определенная функция f : АВ (обозначается f : А В). Отображением А на В называется всюду определенная и сюръективная функция f : АВ (обозначается f : А В).
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Функции и отображения тип
Взаимно-однозначное соответствие
Соответствие называется взаимно-однозначным, если оно всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно.
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
тип
Мощность множеств
Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов.Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Если между множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то мощности этих множеств равны, т.е. А=В. В таком случае говорят, что множества А и В равномощны.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Мощность множеств Этот факт позволяет: установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А|=n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1,2,...,n.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя этих множеств;
вычислить мощность множества, установив его взаимно-однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляема.
Счетные множества Любое множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным. Мощность счетного множества обозначают 0 (читается „алеф нуль"). Если некоторое множество М равномощно множеству натуральных чисел N, то между М и N можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию) : N М, которое называют нумерацией счетного множества М.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Счетные множества Если элемент множества М есть (n) для некоторого n N, то этот элемент множества М обозначаем через an, называя натуральное число n номером элемента аn относительно данной нумерации . Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Таким образом, элементы счетного множества можно перенумеровать, записав их в виде последовательности а1, ..., аn, ...
Счетные множества Пример. Множество всех нечетных натуральных чисел счетно. Нумерацию можно задать так: (n) = 2n-1, N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} M2n-1- счетно. M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
M2n-1={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} Получили: M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
M2n-1 N;
M2n-1=N.
Счетные множества
Пример. Множество Z всех целых чисел счетно. Расположим элементы множества целых чисел в определенном порядке: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Счетные множества
Нумерацию можно было установить так: Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}
Z={0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, … }
Z={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Получили: N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
N Z;
N=Z.
Счетные множества
Примеры счетных множеств: Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Счетные множества
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
Счетные множества
Теорема . (а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно. Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Множество рациональных чисел счетно;
Множество периодических дробей счетно;
Множество всех натуральных чисел, делящихся на заданное число к 2, счетно.
Докажем, что Множество пар натуральных чисел счетно.
(а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.
(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.
(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.
Несчетные множества
Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел интервала (0,1) числовой оси несчетно.Всякое множество, эквивалентное множеству всех действительных чисел интервала (0,1), называется континуальным или множеством мощности континуума.
Примеры континуальных множеств: Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.
Множество действительных,
Множество иррациональных чисел ;
Множество точек на отрезке [0,5];
Множество точек квадрата [1,10]×[1,10];
Множество (М) всех подмножеств некоторого счетного множества М
Множество точек пространства R3.