Методы оптимальных решений. ПКЗ мор. Для изготовления продукции двух видовАиВ фирма расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход
 Скачать 118.41 Kb.
|
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ – ФИЛИАЛ РАНХиГС ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ Кафедра бизнес-аналитики и статистики МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Письменное контрольное задание для студентов дистанционного обучения Вариант № 3
Новосибирск 2021 г. Ситуационная (практическая) задача № 1 Для изготовления продукции двух видов А и В фирма расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении фирмы, и выручки от реализации продукции приведены в таблице:
Задача фирмы заключается в том, чтобы найти план выпуска, обеспечивающий получение максимальной выручки от реализации готовой продукции. Требуется: 1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования. 2. Используя графический метод решения, найти оптимальный план выпуска продукции. 3. Составив двойственную задачу к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия «дополняющей нежесткости». Дать экономическую интерпретацию этого решения. Решение. 1. Пусть x1 – план выпуска товара А, x2 – план выпуска товара В. Тогда расход ресурсов на весь товар А составит: 5x1 кг сырья, x1 ст.-час оборудования, 9x1 чел.-час трудовых ресурсов; расход ресурсов на весь товар В составит: x2 кг сырья, 5x2 ст.-час оборудования, x2 чел.-час трудовых ресурсов. С учетом имеющихся условий имеем систему ограничений на ресурсы:  5x1 + x2 ≤ 746 x1 + 5x2 ≤ 296 9x1 + x2 ≤ 772 Целевая функция по максимизации прибыли от продажи: 705x1 + 181x2 –> max 2. Построим в системе координат прямые, соответствующие неравенствам системы: 5x1 + x2 ≤ 746 x1 + 5x2 ≤ 296 9x1 + x2 ≤ 772 Согласно знакам неравенств системы выделим соответствующие полуплоскости и найдем область допустимых решений задачи как пересечение получившихся полуплоскостей. Получили многоугольник OABC – множество допустимых решений. Построим график целевой функции F: 705x1 + 181x2 = 0.   (3) X2 Перемещаем прямую F параллельно до положения, когда весь многоугольник OABC содержится в нижней полуплоскости (т.к. решаем задачу на максимум) и когда прямая F и многоугольник OABC имеет точку касания. Это точка В, координаты которой и определяют решение задачи.  (1)     (F)   (2) A    B     X1 C O  Координаты точки В найдем из системы двух уравнений прямых, пересечением которых точка В является.  x1 + 5x2 = 296 -44x2 = -1892 x2 = 43 9x1 + x2 = 772 9x1 + x2 = 772 x1= 81 Найдем максимальное значение целевой функции в данной точке: F(81,43) = 705x1 + 181x2 = 705*81 + 181*43 = 64888. Таким образом, план выпуска, обеспечивающий получение максимальной выручки от реализации готовой продукции, составляет 81 шт. товара А и 43 шт. товара В. 3. двойственную задачу к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия «дополняющей нежесткости» Построим двойственную задачу по следующим правилам. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи. Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется. Расширенная матрица A.
Транспонированная матрица AT.
Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства-ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной. Неравенства, соединенные стрелочками (↔), называются сопряженными. 5y1+y2+9y3≥705 y1+5y2+y3≥181 746y1+296y2+772y3 → min y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0
Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1. Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.
Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:
Тогда Y = C*A-1 =
Оптимальный план двойственной задачи равен: y1 = 0, y2 = 21, y3 = 76 Z(Y) = 746*0+296*21+772*76 = 64888 Экономический смысл всех переменных, участвующих в решении.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||