Лекции Элементы Высшей маьтематики. Лекции. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. В результате изучения темы студент должен
 Скачать 208.61 Kb.
|
Перечень информационного обеспечения: основной и дополнительной литературы, учебно-методических пособий, электронных ресурсов
Тема лекции: Математическая статистика План: Основные понятия математической статистики Графическое изображение выборки Точечные оценки параметров распределения Основные понятия математической статистики На практике функция распределения случайной величины бывает неизвестна и ее определяют по результатам наблюдений или, как говорят, по выборке. Выборкой объема n для случайной величины называется последовательность независимых наблюдений этой величины, где  – совокупность значений, принятых независимыми случайными величинами  , имеющими тот же закон распределения  , что и величина X. В этом случае говорят, что выборка взята из генеральной совокупности величины X, а под законом распределения генеральной совокупности понимают закон распределения случайной величины X. Значения называют выборочными значениями или вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом. Число, указывающее, сколько раз наблюдается данная варианта, называется частотой варианты, а отношение частоты варианты к объему выборки – относительной частотой.Если – вариационный ряд, а x – произвольное число, и nx – количество выборочных значений, меньших x, то  – частота попадания выборочных значений левее точки x в данной выбоке объема n, т. е. частота события  .Эта частота является функцией от x и называется эмпирической функцией распределения случайной величины X, полученной по данной выборке. Если обозначить эту функцию через  , то по определению .Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами функции распределения . Так как частота события в n независимых опытах является оценкой вероятности этого события, то значение эмпирической функции распределения в точке x есть оценка вероятности события , то есть оценка теоретической функции распределения : .Статистическим рядом распределения называется таблица, которая содержит вариационный ряд и соответствующие частоты или относительные частоты членов этого ряда (табл. 1).  , ,  .Таблица 1 Таблица 2
В случае непрерывного распределения величины X статистический ряд распределения представляет собой таблицу, в которой заданы интервалы значений величины X и соответствующие им частоты или относительные частоты, причем интервалы располагаются в порядке возрастания величины X (табл. 2). Второй случай легко сводится к первому, если в качестве вариант брать середины интервалов:  ,  .Графическое изображение выборки Графически табл. 1 изображается полигоном частот, представляющим собой ломаную, отрезки которой соединяют на плоскости соседние точки  и  или  и  , если строится полигон относительных частот. В случае табл. 2 исходный интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на определенное количество равных интервалов длины  . После этого строится гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых равны h, а высоты равны отношению  (или  для гистограммы относительных частот). Гистограмма относительных частот является аналогом функции плотности, так как площадь под ней равна единице. Число интервалов разбиения находят по формуле  , где n – объем выборки. Тогда длина каждого интервала  , где  и  – максимальное и минимальное значение выборки соответственно.Точечные оценки параметров распределения По аналогии с такими числовыми характеристиками случайной величины, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, для выборки случайной величины X и для статистического ряда определяются следующие числовые характеристики:выборочная средняя  ,где k – число вариант и  ;выборочная дисперсия  или  ,  ;выборочное среднее квадратическое отклонение  Во многих случаях бывает заранее известно, что функция распределения принадлежит к определенному классу функций распределения, зависящих от одного или нескольких параметров:  . В этом случае определение неизвестной функции распределения сводится к оценке неизвестных параметров по результатам выборки. Следует заметить, что ни при каких n нельзя определить по выборке точное значение неизвестного параметра, а можно найти его приближенное значение, которое называется оценкой по выборке неизвестного параметра. Всякая оценка по выборке является функцией  от выборочных значений , так как она меняется от выборки к выборке. Функцию подбирают так, чтобы случайная величина  по возможности более точно аппроксимировала неслучайное неизвестное число a. Для выполнения данного условия накладывают следующие требования на оценку: несмещенность оценки, ее эффективность и состоятельность. Наиболее часто применяемыми метода получения оценок являются метод моментов и метод максимального правдоподобия. Несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания  является выборочная средняя  . Несмещенная и состоятельная оценка  дисперсии  вычисляется по формуле: .где – исправленная дисперсия.Для оценки среднего квадратического отклонения используется величина S, равная квадратному корню из исправленной дисперсии, которая называется исправленным средним квадратическим отклонением. Рассмотренные оценки характеризуются одним числом и называются точечными. Пример 1. По заданному статистическому ряду (табл. 1) требуется: а) построить гистограмму относительных частот; б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот; в) построить эмпирическую функцию распределения. Таблица 1
Решение а) Объем выборки  .Определяем относительные частоты и составляем табл. 2 с относительными частотами:Таблица 2
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладываются частичные интервалы длины  , а над ними проводятся горизонтальные отрезки на расстоянии  (рис. 1). б) Перейдем к вариантам, положив их равными серединам частичных интервалов  , где  ,  – концы интервалов. Тогда табл. 2 превратится в табл. 3:Таблица 3
Отметим на плоскости точки  и, соединив соседние точки, получим полигон относительных частот (рис. 2). в) Эмпирическая функция распределения строится по закону: В нашем случае получаем:  График функции представлен на рис. 3. Пример 2.В условиях примера 1 найти статистические оценки. Решение Обратимся к табл. 3:  ;  ; .Контрольные вопросы: Что такое выборка? Что такое варианта выборки и частота? Как графически изображается выборка? Точечные оценки выборки. Задачи на закрепление материала Статистический ряд задан таблицей. Требуется: а) построить гистограмму относительных частот; б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот; в) записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график; г) найти точечные оценки ,  ,  ;
Тема лекции: Интервальные оценки параметров распределения План: Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения. Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения. Интервальная оценка вероятности события Определение: Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Так как любая оценка есть некоторое приближение оцениваемой величины a, то возникает вопрос об оценке точности данного приближения, т. е. можно ли утверждать, что  для некоторого  .Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству . Можно лишь говорить о вероятности наступления события, заключающегося в том, что мы получили оценку с точностью :  . Эта вероятность называется доверительной вероятностью (или надежностью), а интервал  – доверительным интервалом. Вероятность того, что интервал  заключает в себе неизвестный параметр a, равна . Обычно надежность выбирают близкой к единице (0,95; 0,99; 0,999).Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения Если случайная величина распределена нормально и среднее квадратическое отклонение известно, то доверительный интервал для оценки математического ожидания a  , (1)где n – объем выборки, t находится из равенства  по таблице значений функции Лапласа  .Если неизвестно, то в формуле (1) оно заменяется на исправленное среднее квадратическое отклонение S, t заменяется на  , которое находится по таблице (приложение ) . (2)Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения с заданной надежностью находится по формуле  , (3)где  находится по таблице (приложение ).Пример 1. Дано распределение частот выборки (табл. 1). Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону Таблица 1
Решение Имеем: ,  ,  . Так как объем выборки  , то находим .По таблице приложения находим  .Подставляя полученные значения S и t в формулу (2), получим  или  .По таблице приложения найдем  .Подставляя значения S и q в формулу (3), получим  или  .3.Интервальная оценка вероятности события Интервальной оценкой (с надежностью  ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте  служит доверительный интервал (с приближенными концами р1 и р2)  ,где  n- общее число испытаний; m- число появления события; - относительная частота, равная отношению m/n;t- значение аргумента функции Лапласа, при котором . ( - заданная надежность).Замечание: При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала  Пример: Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз. Решение: По условию, n=60, m=15, =0.95. Найдем относительную частоту появления события А:  .Найдем t из соотношения  . По таблице функции Лапласа находим t=1,96.Найдем границы искомого доверительного интервала: Подставив в эти формулы n=60,  , t=1,96, получим р1=0,16, р2=0,37.Итак, искомый доверительный интервал  .Пример: Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью =0.999.Решение: Найдем относительную частоту появления выигрыша  .Найдем t из соотношения  . По таблице функции Лапласа находим t=3,3.Учитывая, что n=400 велико, используем для отыскания границ доверительного интервала приближенные формулы:  Подставив в эти формулы n=400,  , t=3,3, получим р1= -0,0058, р2= 0,0308. Итак, искомый доверительный интервал  . |
