математика. Eсли A, B, x случайные события, то при каких х справедливо следующее равенство

• Название: Eсли A, B, x случайные события, то при каких х справедливо следующее равенство
• Дата: 23.03.2023
• Размер: 96 Kb.
• Имя файла: математика.docx
• Тип: Документы; #1009563

Eсли A, B, X - случайные события, то при каких х справедливо следующее равенство

(A + B)(A^с + X)(AX)^с = A^сB .

Oпределить, какому из событий 1) A^СВ 2) AВ^С 3) AB 4) A^СВ^С равносильно событие
(A + B)(A + B^с)(A^с + B) .

Eсли A\B обозначает AB^с, то какому из событий 1) A^СВ 2) AВ^С 3) A^СВ^С 4) AB равносильно событие A\(A\B) .

Пусть A, B – произвольные события, Ø – невозможное событие, Ω - достоверное событие.

Проверить образуют ли полную группу следующие пять событий: A, A^СВ, (A + B) ^с, Ø , Ω .

Если А и В – два случайных события, для которых известны вероятности р(АВ) = 0.75 и р(АВ^с) = 0.15, то найти вероятность р(А) события А.
На отрезке [0,1] случайным образом выбираются два числа: х, у. Найти вероятность Р{х + у ≥ 1, х – у ≤ 0}.
Двое студентов подбрасывают монету, загадывая: “Если (А) выпадет орел, то пойдем в кино, если (В) выпадет решка, то в интернет-кафе, а если (С) упадет на ребро, то пойдем на лекцию”. Найти, при каком отношении толщины монеты к ее диаметру все три события А, В, С будут равновероятны.

Найти вероятность того, при независимых подбрасываниях симметричной монеты, первый раз орел выпадет в четной попытке.

В группе 10 человек: 10 отличников, 7 хорошистов, 5 удовл., 3 плохо подготовленных. Отличники знают все 25 вопросов, хорошисты – 20, удовл. – 15, плохо – 10. Случайно выбранный студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности того, что этот студент относится к каждой из упомянутых групп.

Если один бомбардировщик уничтожает цель с вероятностью 1/7, то с какой вероятностью три бомбардировщика уничтожат цель? Сколько бомбардировщиков необходимо использовать, чтобы цель была уничтожена с вероятностью 0,999?
Если вероятность успеха в отдельном испытании схемы Бернулли равна р, то найти вероятность того, что k-й по порядку успех произойдет в n-м испытании (n ≥ k) .

Из ящика, содержащего три белых и два черных шара, переложено два шара в ящик, содержащий четыре белых и четыре черных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второго ящика белый шар. С какой вероятностью при этом из первого ящика во второй было переложено два белых шара?

Предположим, в ящике находятся 5 шаров белого и черного цвета; количество тех и других неизвестно, но все возможные наборы цветов можно считать равновероятными. Если из ящика вынуты два шара, то найти вероятность того, что оба они окажутся белыми.

Если случайная величина Х есть число очков, выпадающее при бросании правильной игральной кости, то найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sin (πX/3).

Плотность распределения случайной величины имеет вид p(x) = a *СOS(x), где x изменяется в промежутке [-π/2, π/2]. Найти константу а, математическое ожидание и дисперсию для случайной величины Х.

Случайная величина Х распределена по закону Р{x = - 1} = 0.2, Р{x = 0} = 0.3, Р{x = 1} = 0.5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Случайная величина Х имеет показательное распределение, . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Через данную остановку проходят маршруты двух автобусов. Среднее время ожидания первого автобуса составляет 5 минут, второго – 7 минут. Считая время ожидания экспоненциально распределенной случайной величиной и предполагая движение автобусов независимыми друг от друга, найти среднее время ожидания автобуса на этой остановке.

Пусть случайные величины независимы и имеют распределение . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Если дискретная случайная величина х имеет распределение Р{x = -2} = Р{x = 2} = p, Р{x = -1} = Р{x = 1} = Р/2, Р{x = 0} = q, а также известно, что Е│СOS(πX/2)│= 6/7, то найти, чему равны р и q.

Если случайная величина Х равномерно распределена на [-π, π], то найти дисперсию и математическое ожидание случайной величины y = SIN (x) .
Решение:
Найдем плотность распределения f(х) случайной величины X. Величина X распределена равномерно в интервале[-π, π] , поэтому в этом интервале



вне рассматриваемого интервала f(x)=0.

Функция y=sin x в интервале [-π, π] монотонна, следовательно,

в этом интервале она имеет обратную функцию   .

Найдем производную   :



Найдем искомую плотность распределения по формуле:



Учитывая, что   (следовательно,   ) и

 , получим



 Так как   , причем   , то   . Таким образом, в интервале (   1,1) имеем   ;вне этого интервала 

Контроль:

 


Дискретная случайная величина Х имеет распределение Р{x = k} = с/k(k + 1)(k + 2), k = 1, 2, …. Найти константу с и вычислить математическое ожидание Х.
Известно, что если независимые случайные величины X и Y имеют плотности распределения p(x) и q(у), то сумма X + Y распределена с плотностью

p(х) = ∫ p(x – y) q(y) dy.

Найти распределение суммы X + Y, когда и p(x) и q(y) есть плотность распределения Коши, .

Если случайные величины X и Y независимы и одинаково распределены с функцией распределения f(х), то найти функции распределения случайных величин Z = max {X, Y} и U = min {X, Y}.

Пусть случайные величины X и Y связаны соотношением Y = aX + b, причем математическое ожидание EX = 1, а дисперсия D(X) = 4, и EY = 8, D(Y) = 16. Найти числа а и в.

Найти дисперсию определителя , элементы которого Y,Z,U,V являются случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D.

Пусть случайные величины X, Y независимы и одинаково распределены с показательным распределением (его плотность равна , х ≥0). Найти плотности распределения для случайных величин X + Y и X/Y.

Устройство содержит n одинаковых блоков, работающих независимо друг от друга. Время, в течение которого блок остается работоспособным – это случайная величина, имеющая экспоненциальное распределение с параметром l. Устройство остается работоспособным, пока остаются работоспособными хотя бы k блоков, , и становится неработоспособным в противном случае. Построить функцию распределения для времени, в течение которого устройство остается работоспособным.

Пусть F(x) – функция распределения. Существуют ли такие значения λ, при которых также является функцией распределения?

Случайные величины независимы и каждая имеет нормальное распределение с мате6матическим ожиданием a и дисперсией . Построить ковариационную матрицу для двумерного случайного вектора с компонентами .

Доказать, что если последовательность случайных величин сходится по распределению к константе, то данная последовательность случайных величин сходится и по вероятности к той же константе.

Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что при 1000 бросаниях монеты число выпадений герба будет заключено между 450 и 550.

Пусть случайные величины независимы и равномерно распределены на отрезке [0,1]. С помощью центральной предельной теоремы оценить вероятность события

.

Найти вероятность того, что случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с 5 степенями свободы, принимает значение большее 1.96. Сравнить эту вероятность с вероятностью того, что случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение, принимает значение большее 1.96. Чему равна дисперсия каждой из этих случайных величин? Связано ли различие вероятностей с различием дисперсий?

Случайная величина ξ (характеризующая срок службы элементов электронной аппаратуры) имеет распределение Релея, . Найти оценку максимального правдоподобия для параметра θ.

Предполагается, что n наблюдений являются значениями независимых одинаково распределенных случайных величин , имеющих распределение с функцией плотности, равной 0 при и равной при . Методом моментов оценить .

Пусть случайная величина имеет гамма-распределение, т.е. плотность распределения имеет вид , где - гамма-функция, .

А) Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины . Б) Пусть - повторная выборка (последовательность независимых одинаково распределенных реализаций случайной величины ). Найти по методу моментов оценки параметров и .

Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [θ, θ +1], причем θ неизвестно. Имеется выборка  независимых реализаций ξ . В качестве оценки параметра θ предлагается использовать две статистики:

 и 

Доказать, что E = E = θ, то есть оценки несмещенные. Найти дисперсии D и D и показать, что при  D D .

Найдти информационное количество Фишера относительно параметра q, содержащееся n наблюдениях, если наблюдения являются значениями независимых одинаково распределенных случайных величин , имеющих распределение с функцией плотности, равной 0 при и равной при .

Случайная величина принимает значения n = 0,1,2,… с вероятностями . Найти энтропию распределения этой случайной величины. Построить график зависимости энтропии от p (0 < p < 1).

Энтропия дискретного распределения равна  . Найти энтропию, соответствующую следующему прогнозу: ”то ли дождик, то ли снег, то ли будет, то ли нет…”. Известно, что в данное время года с осадками бывает 75% всех дней, причем одновременно идти дождик и снег не могут. Предположим также, что в день с осадками снег и дождик равновероятны.

Энтропия непрерывного распределения равна  . Как изменится энтропия, соответствующая случайной величине  , в результате линейного преобразования

 ?