Гомоморфизмы. Гомоморфизмы групп
 Скачать 176.35 Kb.
|
|
Гомоморфизмы групп Гомоморфизм алебраических структур – это отображение, перестановочное с операциями на этих структурах. То есть если мы сначала применяем операцию, а потом к ее результату применяем отображение, результат получается такой же, как если бы мы сначала выполнили отображение, а потом к полученным образам применили бы операцию (уже в другой структуре). Например, линейное отображение – это гомоморфизм линейных пространств. Для групп это, в частности, означает, что если в группе 𝐺 определена операция ∗, а в группе 𝐻 – операция ⨀, и 𝑓 – гомоморфное отображение из 𝐺 в 𝐻, то для любых элементов 𝑢 и 𝑣 группы 𝐺 верно равенство 𝑓(𝑢 ∗ 𝑣) = 𝑓(𝑢)⨀𝑓(𝑣). Если гомоморфизм является помимо прочего еще и биекцией, он называется изоморфизмом, а структуры, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. Фактически эти структуры отличаются только обозначениями элементов, все алгебраические свойства этих структур полностью одинаковы. Например, изоморфны любые пространства заданной размерности над одним и тем же полем (если зафиксировать в этих пространствах базисы, в качестве изоморфизма можно выбрать отображение, которое сопоставляет каждому вектору одного пространства вектор другого пространства с теми же координатами). Ядром гомоморфизма называют множество элементов группы 𝐺, образ которых равен нейтральному элементу группы 𝐻 (вспомните ядро линейного отображения). Легко проверить, что и ядро, и образ группы являются группами (подгруппами, соответственно 𝐺 и 𝐻 ). При этом ядро обязательно является нормальной подгруппой, а образ может быть нормальной подгруппой, а может и не быть. Справедлива следующая теорема (ее часто называют первой теоремой о гомоморфизме). Теорема. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе отображаемой группы по ядру гомоморфизма: 𝑓(𝐺) ≅ 𝐺 ∕ 𝐾𝑒𝑟𝑓. В качестве примера рассмотрим гомоморфизмы циклических групп. Пусть 𝐺 – это группа порядка 𝑛 с образующей 𝑎 и операцией ∗, а 𝐻 – группа порядка 𝑚 с образующей 𝑏 и операцией ⨀. Для начала заметим, что образ гомоморфизма – это подгуппа группы 𝐺, следовательно, порядок образа должен делить порядок группы 𝐺. В то же время, образ изоморфен факторгруппе группы 𝐺, следовательно, его порядок должен делить и порядок группы 𝐺. Теперь вспомним, что всякая подруппа циклической группы сама является циклической. Отсюда следует, что образующая группы 𝐺 должна под действием гомоморфизма переходить в элемент группы 𝐻, порядок которого делит порядок этой группы. В итоге мы видим, что порядок образа гомоморфизма должен быть общим делителем порядков 𝐺 и 𝐻, пусть это будет число 𝑑. В группе 𝐻 есть только одна подгруппа порядка 𝑑: это подгруппа 𝑈, состоящая из степеней элемента 𝑐 = 𝑏 𝑚 𝑑 . Этот элемент (или какой-нибудь другой образующий элемент подруппы 𝑈) и должен быть образом образующего элемента группы 𝐺, то есть все возможные гомоморфизмы выбранных групп устроены так: 𝑓(𝑎) = 𝑐 𝑘 , где 𝑘 – произвольное целое число, взаимно простое с (то есть любая образующая группы 𝑈), для всех остальных элементов группы 𝐺 образ определяется по правилу : 𝑓(𝑎 𝑡 ) = 𝑐 𝑡𝑘 . Заметим, что если 𝑒 и 𝑒 1 – нейтральные элементы групп 𝐺 и 𝐻 соответственно, то верно равенство 𝑓(𝑎 𝑛 ) = 𝑓(𝑒) = 𝑐 𝑛𝑘 = 𝑏 𝑚𝑛𝑘 𝑑 = 𝑒 1 , то есть при построенном нами гомоморфизме, как и положено, нейтральный элемент перешел в нейтральный. Ядро у всех этих гомоморфизмов одно и то же – это множество элементов вида 𝑎 𝑑𝑡 , они, очевидно, образуют подгруппу порядка 𝑛 𝑑 В завершение заметим, что любой гомоморфизм из группы 𝐺 в группу 𝐻 однозначно определяется выбором элемента 𝑏 𝑚𝑘 𝑑 , и это определение будет корректно тогда и только тогда, когда число 𝑑 является общим делителем порядков групп 𝐺 и 𝐻. Обратите внимание: число 𝑘 при этом может быть любым, но если оно взаимно просто с 𝑑, то мы получим гомоморфизм с образом порядка 𝑑, а если 𝑘 и 𝑑 имеют обшие делители, то порядок образа будет делителем числа 𝑑. Итак, количество разных гомоморфизмов циклических групп 𝐺 и 𝐻, образ которых состоит из 𝑑 элементов (где 𝑑 – общий делитель порядков групп 𝐺 и 𝐻), равно количеству натуральных чисел, меньших 𝑑 и взаимно простых с ним (напомним, что это число называется функцией Эйлера от 𝑑). Мультипликативная группа кольца вычетов Напомним, что мультипликативной группой поля или коммутативного кольца с единицей называется множество всех его элементов, обратимых по умножению. Для начала заметим, что это множество обязательно является группой (проверьте это самостоятельно). Очевидно, что в поле это просто множество всех его элементов, отличных от 0. В произвольном кольце это не так, например, в кольце целых чисел обратимых элементов всего два ( 1 и –1), а в кольце многочленов над полем обратимыми являются все ненулевые константы. Довольно часто группу обратимых элементов кольца называют группой единиц. Основная теорема о мультипликативной группе конечного поля гласит, что эта группа обязательно является циклической. Рассмотрим в качестве примера поле классов вычетов по модулю 13. Мультипликативная группа этого поля состоит из 12 элементов: 1̅, 2̅, 3, ̅ 4̅, 5, ̅ 6, ̅ 7, ̅ 8, ̅ 9, ̅ 10, ̅̅̅̅ 11, ̅̅̅̅ 12. ̅̅̅̅ Образующим элементов в этой группе является например, , 2̅. Ниже приведен список последовательных степеней этого элемента: 2̅ 2 = 4̅, 2̅ 3 = 8̅, 2̅ 4 = 3̅, 2̅ 5 = 6̅, 2 ̅ 6 = 12 ̅̅̅̅, 2̅ 7 = 11 ̅̅̅̅, 2̅ 8 = 9̅, 2̅ 9 = 5̅, 2̅ 10 = 10 ̅̅̅̅, 2̅ 11 = 7̅, 2̅ 12 = 1̅. Из этого списка, в частности, видно, что образующими в этой группе также являются элементы 2̅ 5 = 6̅, 2̅ 7 = 11 ̅̅̅̅ и 2̅ 11 = 7̅. Все остальные элементы имеют порядок строго меньше, чем 12. Рассмотрим теперь кольцо вычетов по модулю 12. В этом кольце 12 элементов: 1̅, 2̅, 3, ̅ 4̅, 5, ̅ 6, ̅ 7, ̅ 8, ̅ 9, ̅ 10, ̅̅̅̅ 11, ̅̅̅̅ 0, ̅ причем обратимыми из них являются только 4: 1̅, 5, ̅ 7, ̅ 11 ̅̅̅̅ . Действительно, если класс 𝑎̅ обратим по модулю 12, это значит, что найдется класс 𝑏̅, такой, что разность 𝑎𝑏 − 1 делится на 12, но если число 𝑎 имеет нетривиальный общий делитель с 12, эта разность при любом 𝑏 будет взаимно проста с 12. Поэтому обратимыми элементами кольца являются только те классы, представители которых взаимно просты с модулем, то есть те, которые мы перечислили. Теперь легко проверить, что что эта группа не является циклической: 5̅ 2 = 7̅ 2 = 11 ̅̅̅̅ 2 = 1̅. Заметим, что это самая маленькая нециклическая группа, она носит название четверная группа Клейна (в память о немецком математике Феликсе Клейне, который первым ее описал). Эта группа является прямым произведением двух циклических подгрупп (например, {1̅, 5 ̅̅̅ } и {1̅, 7 ̅̅̅ }). Также она изоморфна группе самосовмещений ромба (тождественное преобразование, поворот на 180 градусов и два поворота вокруг диагоналей). Каждое из этих самосовмещений, кроме тождественного, имеет порядок 2, и произведение любых двух из них равно третьему. |