геометрический смысл производных. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
 Скачать 1.16 Mb.
|
|
Геометрический смысл производной Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, который основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке. 1646г – 1716г Готфрид Вильгельм фон Лейбниц y=kx k = x y = противолежащий катет прилежащий катет = tg a a y x y x o k = tg a k – угловой коэффициент прямой а –угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс a x o a y y=f(x) a x y x M B C A x+h f(x) f(x+h) f(x+h) – f(x) h k(h) = tg < MAC = MC AC = f(x+h) – f(x) x x+h – a o y=f(x) a x y x M B C A x+h f(x) f(x+h) f(x+h) – f(x) h Если h 0, тогда М А Прямая MA стремиться занять положение некоторой прямой, которую называют касательной к графику функции y=f(x) f(x+h) – f(x) x x+h – = lim k (h) f ' (x) k = tg a f ' (x) = h 0 Значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке k =tga = f'(x ) < 0 k =tga = f'(x ) = 0 k =tga = f'(x ) > 0 Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует. y=f(x) x0 y x B М f(x0) a o Выведем уравнение касательной к графику дифференцированной функции в точке (х0; f(x0)) y=kx +b k = tg a f ' (x) = y=f' (x0 )x+ b Т.к. касательная проходит через точку с координатами (х0; f(x0)) , подставим ее координаты в уравнение (2) и найдем b (1) (2) f(x0)=f' (x0 )x0+ b b =f(x0) – f' (x0 )x0 Подставьте в уравнение (2) значение b и сделав соответствующие преобразования получите: у = f(x0) + f '(x0)(х – х0) Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0
у = f(x0) + f '(x0)(х – х0) |