Индивидуальный_проект_на_тему_“Графическое_решение_уравнений_и_н. "Графическое решение уравнений и неравенств"

• Название: "Графическое решение уравнений и неравенств"
• Дата: 25.05.2023
• Размер: 395.71 Kb.
• Имя файла: Индивидуальный_проект_на_тему_“Графическое_решение_уравнений_и_н.docx
• Тип: Пояснительная записка; #1158224

Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Георгиевский региональный колледж «Интеграл»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»
На тему: “Графическое решение уравнений и неравенств”

Выполнил студент группы ПК-61, обучающийся по специальности

«Программирование в компьютерных системах»

Целлер Тимур Витальевич

Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.

Дата сдачи: « » 2017г.

Дата защиты: « » 2017г.

Георгиевск 2017г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

Цель: Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.

Задачи:

• 
  Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.
  
• 
  Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества.
  
• 
  Рассмотреть решение уравнений с модулем и параметром.
  

Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого графическому решению уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.

Содержание
Введение

1. Уравнения с параметрами

1.1. Определения

1.2. Алгоритм решения

1.3. Примеры

2. Неравенства с параметрами

2.1. Определения

2.2. Алгоритм решения

2.3. Примеры

3. Применение графиков в решении уравнений

3.1. Графическое решение квадратного уравнения

3.2. Системы уравнений

3.3. Тригонометрические уравнения

4. Применение графиков в решении неравенств

5.Заключение

6. Список литературы

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем.

1. Уравнения с параметрами

1. 
   Основные определения
   

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, x = x₀,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2. 
   Алгоритм решения
   

1. 
   Находим область определения уравнения.
   
2. 
   Выражаем a как функцию от х.
   
3. 
   В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
   

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

4. 
   Записываем ответ.
   

3. 
   Примеры
   

I. Решить уравнение
(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .
Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

и .

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.


Ответ:

Если а  (-;-1](1;+) , то ;

Если а  , то , ;

Если а  , то решений нет.
II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.
Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде


Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений



имеет решения.
Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители



Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы



В этом случае уравнение



имеет один корень, откуда находим :



Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] ( ;+).
IV. Решить уравнение



Решение.

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде



Это уравнение равносильно системе



Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям



Пусть , тогда . Система примет вид



Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид



Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

если а (-;3), то решений нет;

если а=3, то х [3;5);

если a (3;7), то ;

если a [7;), то решений нет.
V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)
Решение.

1. 
   При любом а :
   
2. 
   Если , то ;
   

если , то .

3. 
   Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .
   
4. 
   По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.
   

Ответ:

если , то

если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?
Решение.

С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом

Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.
При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде



Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

0. 
   если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;
   
1. 
   если , то система (3) имеет три решения;
   
2. 
   если , то система (3) имеет четыре решения.
   

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда .

Ответ:

2. 
   Неравенства с параметрами
   

1. 
   Основные определения
   

Неравенство

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а₀, b = b₀, c = c₀, …, k = k₀, при некоторой функции

(a, b, c, …, k, x) и

(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

(a, b, c, …, k, x) и

(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х₀ называется частным решением неравенства (1), если неравенство

(a, b, c, …, k, x₀)>(a, b, c, …, k, x₀)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x) и (1)

(a, b, c, …, k, x)>(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

2. 
   Алгоритм решения
   

1. 
   Находим область определения данного неравенства.
   
2. 
   Сводим неравенство к уравнению.
   
3. 
   Выражаем а как функцию от х.
   
4. 
   В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
   
5. 
   Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
   
6. 
   Исследуем влияние параметра на результат.
   

• 
  найдём абсциссы точек пересечения графиков.
  
• 
  зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+
  

7. 
   Записываем ответ.
   

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

3. 
   Примеры
   

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство


Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств



данное неравенство равносильно системе неравенств



Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система


Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен



сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы



а значения и находятся из системы



Решая эти системы, получаем, что



Ответ:
III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.
Решение.

1. 
   Находим область допустимых значений –
   
2. 
   Построим график функции в системе координат хОу.
   

• 
  при неравенство решений не имеет.
  
• 
  при для решение х удовлетворяет соотношению , где
  

Ответ: Решения неравенства существуют при

, где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство


Решение.

1. 
   Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
   

2. 
   Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
   

Разложим числитель на множители.



т. к. то



Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .







3. Строим в ПСК хОа графики функций



и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.

№	точка	неравенство:	вывод
1			-
2			+
3			-
4			+
5			-
6			+
7			-
8			+
9			-

5. Найдем точки пересечения графиков



6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от - до +.
Ответ.

при

при

при

при решений нет

при

3. 
   Применение графиков в решении уравнений.
   

3.1 Графическое решение квадратного уравнения:

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение : x²+px+q=0;

Перепишем его так:x²=-px-q.(1)

Построим графики зависимостей:y=x² и y=-px-q.

График первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость- линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с абциссой х.

Отсюда следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу у=х², чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.

Если прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.

Примеры:

1.Решить уравнение:4x²-12x+7=0

Представим его в виде x²=3x-7/4.

П
остроим параболу y=x² и прямую y=3x-7/4.

Рисунок 1.

Для построения прямой можно взять, например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x₁=0.8 и x₂=2.2 (см. рисунок 1).

2.Решить уравнение : x²-x+1=0.

Запишем уравнение в виде: x²=x-1.

Построив параболу у=х² и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит уравнение не имеет корней.
Р
исунок 2.

Проверим это. Вычислим дискриминант:

D=(-1)2-4=-3<0,

А поэтому уравнение не имеет корней.

3. Решить уравнение: x²-2x+1=0

Рисунок 3.

Если аккуратно начертить параболу у=х² и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).

3.2. Системы уравнений.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения 2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х² –2 –парабола, уравнения х² +у²=4 – окружность, и т.д..

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль. Рассмотрим графический способ решения.

Пример1:решить систему ⌠ x² +y² =25 (1)

⌠y=-x²+2x+5 (2)

Построим в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):

Построим в одной системе координат графи)


х² +у²=25 и у=-х²+2х+5

Координаты любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы. Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:

х1≈-2,2 , у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;

х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.

Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.

III)Тригонометрические уравнения:

Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере.

Рисунок5.

Пример1:sinx+cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5) И
з графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ(Обязательно проверить это вычислениями). Рисунок 6.

Пример2:Решить уравнение:tg2x+tgx=0. Решать это уравнение будем по принципу решения предыдущего. Сначала построим графики(См. рисунок 6)функций: y=tg2x u y=-tgx. По графику видно что уравнение имеет 2 решения: х=πп, пЄZ u x=2πk/3, где kЄZ.(Проверить это вычислениями)

4. 
   Применение графиков в решении неравенств.
   

1)Неравенства с модулем.

Пример1.

Решить неравенство |x-1|+|x+1|<4.

На интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство равносильно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2. Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1] исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.

Рисунок 7.
Н
а интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II)Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство √а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство |х-а|+|х+а|0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.

Очевидно, что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при –b/2
Ответ: Если b<=2|a| , то решений нет,

Если b>2|a|, то x €(-b/2;b/2).
III) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

sin x
Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2πп, пЄZ.

Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x=-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<=x<= -π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x>sin(-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<=x<7π/, то sin x>sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є[7π/6;3π/2] имеем sin x<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .

Ответ: -π/6+2πn


Заключение

Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали такие свойства функций, как монотонность и четность. Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы решения уравнений и неравенств. В работе представлен графический метод решения уравнений и неравенств и примеры, в которых используются данные методы. Результатом проекта можно считать творческие задания, как вспомогательный материал для развития навыка решения уравнений и неравенств графическим методом.

Список использованной литературы

1. 
   Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
   

1. 
   Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
   

1. 
   Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
   

1. 
   Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
   

1. 
   Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
   

1. 
   Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.
   

1. 
   Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.
   

Интернет ресурсы

http://www.bymath.net/studyguidHYPERLINK "http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun10.htm"eHYPERLINK "http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun10.htm"/fun/sec/fun10.htm

httpsHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"://HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"xreferatHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm".HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"comHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"/54/202-3-HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"graficheskoeHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"-HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"reshenieHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"-HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"uravneniiyHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"-HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"neravenstvHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"-HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"sistemHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"-HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"sHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"-HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"parametromHYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm".HYPERLINK "https://xreferat.com/54/202-3-graficheskoe-reshenie-uravneniiy-neravenstv-sistem-s-parametrom.htm"htm

https://xreferat.com/54/2620-1-graficheskoe-resHYPERLINK "https://xreferat.com/54/2620-1-graficheskoe-reshenie-uravneniiy.htm"hHYPERLINK "https://xreferat.com/54/2620-1-graficheskoe-reshenie-uravneniiy.htm"enie-uravneniiy.htm