Рябушко вариант 6. Идз 2 Вариант 6 Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. 6
 Скачать 108.5 Kb.
|
|
ИДЗ 9.2 – Вариант 6 1. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. 1.6 ρ = 3cos2φ В случае, когда непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ(φ)  Найдем пределы интегрирования ρ ≥ 0 cos2φ ≥ 0  Используем ранее полученную формулу для вычисления площади:   2. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии. 2.6 x2/3 + y2/3 = 42/3 Данная линия – гипоциклоида. Её уравнение удобнее записать параметрически. x = 4cos3t, y = 4sin3t В случае, когда кривая задана параметрически уравнениями x = φ(t), y = ψ(t), где φ(t), ψ(t) − непрерывно дифференцируемые функции, длина дуги l вычисляется по формуле  Здесь α, β − значения параметра t. Учитывая симметрию l = 4l1 Найдем подынтегральную функцию:    учли тригонометрическое тождество  и формулу двойного угла  Запишем пределы интегрирования  Окончательно имеем, учитывая 4 кривые длина дуги равна   3. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат. 3.6 Ф: x = 3cos2t, y = 4sin2t, (0 ≤ t ≤ π/2), Oy Находим объем фигуры, образованного вращением вокруг оси Оy  Запишем пределы интегрирования 0 ≤ t ≤ π/2 Найдем y′(t):  Тогда объем тела вращения   4. Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой L вокруг указанной оси. 4.6 L: y =  , отсеченная прямой y = x, OxПусть кривая АВ задана уравнением y = f(x), а ≤ х ≤ b, и пусть функция y = f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей первой производной на отрезке [а, b]. Тогда поверхность, образованная вращением кривой АВ вокруг оси ОХ, имеет площадь S, которая может быть вычислена по формуле  Найдем f′(x):  Находим абсциссы точек пересечения ветви параболы y = и прямой y = x: При x1 = 0; y1 = 0; при x2 = 1; y2 = 1 Запишем пределы интегрирования 0 ≤ x ≤ 1 Вычисляем площадь поверхности:  По графику видно, что  |