Интегрирование способом подстановки. Интегрирование способом подстановки
 Скачать 96.89 Kb.
|
|
Интегрирование способом подстановки Если заданный интеграл простейшим преобразованием трудно привести (или нельзя привести) к табличному интегралу, то для его отыскания применяют особые приемы. Один из них – интегрирование способом подстановки. Еще этот метод называют способом замены переменной. Прежде чем перейти к рассмотрению способа подстановки, вспомним понятие дифференциала функции. О  пределение. Если функция y(x) в точке  имеет производную  , то произведение  является дифференциалом функции у(х) в точке и обозначается dy(  . Таким образом dy( dx.
Интегрирование способом подстановки заключается в том, что выражение заменяется новой переменной. Например в интеграле  необходимо произвести замену переменной. Обозначим  . Найдем дифференциал обеих частей равенства: d(  Дифференциал данного в интеграле переменного значения необходимо выразить через дифференциал введенной нами переменной. Имеем:  (таким образом вторую часть подынтегрального выражения выразили через dt).Замену подставляем в интеграл, и под знаком интеграла получаем выражение, зависящее только от введенной новой переменной t. Если замена проведена правильно, то полученный интеграл должен быть табличным. Таким образом, получаем:  - ответ выражен через вспомогательную переменную t.Чтобы получить окончательный ответ, сделаем обратную замену  : =  Подстановка должна выбираться так: если одна часть подынтегрального выражения обозначается за t, то другая должна соответствовать dt с каким-нибудь коэффициентом. В нашем примере t  dt
Подстановки приводящие к Пример 1:  .Произведем замену переменной: 2+x=t, dx=dt. Пример 2.  . Произведем замену:   . Пример 3.  . Произведем замену:   Тогда интеграл примет вид:  Пример 4.  Произведем замену:   Пример 5.  . Произведем замену:    = -3  Пример 6.  Произведем замену: sinx=t; cosxdx=dt Пример 7.  . Произведем замену: lnx=t;   +C.Задание №11.
|
4)- 
