Интерполяция функций.doc. Интерполяция функций

• Название: Интерполяция функций
• Дата: 15.03.2022
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: Интерполяция функций.doc.doc
• Тип: Документы; #397505

интерполяция функций

Обсуждаются постановка задач интерполяции таблично заданных функций, интерполяция полиномами Лагранжа, квадратичными и кубичными сплайнами. Приводятся способы вычисления таблично заданной функции, используя различные способы интерполяции. Рассматриваются примеры, которые показывают область применения интерполяции функций.

Постановка задач об интерполяции функции

При трактовке понятия "приближение" в широком смысле окажется, что большая часть методов вычислений окажется предметом изучения теории приближения. В данном разделе учебного пособия под теорией приближения будет пониматься узкий круг вопросов, касающихся приближения функций одного или нескольких переменных с помощью других функций. Иначе данный круг задач называются задачами аппроксимации функций.

Рассмотрим ряд прикладных задач, которые приводят к аппроксимации функций. Одна из них связана с сокращением времени вычисления значений функции на ЭВМ. Допустим, что требуется проводить многократное вычисление функции в различных точках интервала . Она задана некоторым громоздким аналитическим выражением, например

, .

(2.2.1)

Естественным образом возникает стремление заменить функцию другой близкой в каком-то смысле функцией (иначе говоря, аппроксимировать ) так, чтобы

,

(2.2.2)

где величина определяет точность аппроксимации. При этом естественно на вычисление значения функции должно уходить значительно меньше времени ЭВМ, нам для функции .

Другая задача, которая приводит к аппроксимации функций, связана с экономией оперативной памяти ЭВМ. Предположим, что функция задана таблично (известны ее значения в узлах , , интервала ):

.

(2.2.3)

Далее в вычислительном процессе используется эта таблица и при большом значении хранение всей таблицы (2.2.3) может потребовать большого объема оперативной памяти. Поэтому закономерно возникает задача аппроксимации близкой функцией , которая уже зависит от небольшого числа параметров. При этом в памяти ЭВМ нужно будет хранить только значения этих параметров, а в качестве значения функции будут браться вычисленные значения функции . Таким образом, от хранения всей таблицы значений функции (2.2.3) можно отказаться.

Следующая прикладная задача, которая приводит к задаче аппроксимации функции, связана поиском эмпирических зависимостей по экспериментальным данным. Как правило, экспериментальные данные обычно представляются в виде таблицы (2.2.3). На основе практического опыта исследователь предполагает, что полученная таблица является реализацией некоторого эмпирического закона с неизвестным параметром (параметр может быть и вектором). В данном случае возникает задача определения такого значения параметра , при котором эмпирическая зависимость наилучшим образом описывала бы экспериментальные данные, т. е. .

При решении задач интерполяции функций возникает проблема количественного описания того, насколько хорошо функция приближается к функции . Для этой цели применяется понятие нормы. Кроме того, это же понятие используется и для классификации задач теории приближения.

Наиболее широко применяются два вида норм:

а) равномерная непрерывная норма

,

(2.2.4)

б) среднеквадратичная интегральная норма

(2.2.5)

или ее дискретный аналог

,

(2.2.6)

которая согласована с интегральной в том смысле, что

,

(2.2.7)

когда предел существует.

Задачи интерполяции, которые используют норму а) в качестве количественного критерия близости, называются задачами равномерного приближения.

Задачи интерполяции, использующие норму б) для описания близости приближения, называются задачами среднеквадратичного приближения.

Задачи аппроксимации могут также классифицироваться по виду зависимости от параметров семейства функций . Как правило, они делятся на линейные и нелинейные задачи.

Интерполяция Лагранжа

Довольно часто приближение функции осуществляют полиномом - ой степени . Данное приближение можно выполнить различными способами.

Например, для этого можно использовать разложение в ряд Тейлора на интервале и отрезок ряда – многочлен Тейлора - ой степени является полиномом, аппроксимирующий :

.

(2.2.8)

Оценка погрешности аппроксимации следует из формулы остаточного члена отрезка ряда Тейлора

.

(2.2.9)

Та же функция может быть представлена многочленом Тейлора с центром в любой точке , а именно

.

(2.2.10)

Предположим, что известны значения в узлах интервала , , , , а именно: . Решение задачи интерполяции заключается в том, чтобы найти приближенное значение в точке (см. рис. 2.2.1). Для этого можно использовать многочлен Тейлора с центрами в узлах .

Рис. 2.2.1. Графическая иллюстрация задачи интерполяции
Положим

,

(2.2.11)

где - ближайший к точке узел. Выражение (2.2.11) является примером интерполяционных формул, основанных на многочлене Тейлора. Главный их недостаток состоит в том, что используются значения производных функции в узлах, которые, как правило, неизвестны для таблично заданных функций.

Предположим, что нам таблично задана функция (см. выражение (2.2.3)). Будем ее аппроксимировать полиномом, который определяется только значениями из условия

, .

(2.2.12)

Выполнение условий (2.2.12) означает, что график полинома - ой степени обязательно должен проходить через точки плоскости с координатами (рис. 2.2.2).

Рис. 2.2.2. Графическое представление интерполяции Лагранжа
Принимая во внимание, что полином задается выражением

(2.2.13)

соотношения (2.2.12) перепишем в развернутом виде

.

(2.2.14)

Получена система линейных уравнений относительно коэффициентов полинома . В силу того, что узлы различны определитель системы (2.2.14)

(2.2.15)

не равен нулю и поэтому она имеет единственное решение. Лагранж нашел ее решение и получил, что интерполяционный полином можно записать в виде

.

(2.2.16)

Полином (2.2.16) называется интерполяционным полиномом Лагранжа и его можно переписать в более компактной форме

.

(2.2.17)

Рассмотрим следующий пример, когда функция задана таблицей 2.2.1.
Таблица 2.2.1

Значения функции

	-1	2	3	5
	-1	3	2	4

Следуя формуле (2.2.16), находим интерполяционный полином Лагранжа

.

(2.2.18)

Требуется найти значение функции в точке , в качестве которого берется значение полинома (2.2.18). Проводя вычисления, получаем

.

(2.2.19)

Представленный пример демонстрирует то, что для формального построения интерполяционного полинома Лагранжа достаточно иметь лишь таблицу значений функции .

Вычислительная схема Эйткена

Для случая, когда нет надобности находить интерполяционный полином , а требуется вычислить лишь его значение , то применяется вычислительная схема Эйткена. Следуя этой схемы, последовательно вычисляются в точке следующие полиномы

;

(2.2.20)

;

(2.2.21)

(2.2.22)

и т.д. Можно показать, что

.

(2.2.23)

Вычисления по схеме Эйткена проводятся до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

, ,

(2.2.24)

в котором - заданная точность вычислений. Неравенство (2.2.24) показывает, что в процесс вычислений не вовлекаются лишние узлы, а используются лишь такое количество узлов, которое обеспечивает требуемую точность вычислений .

Рассмотрим технологию вычислений по схеме Эйткена на примере функции, определяемой таблицей 2.2.1. Результаты вычислений представлены в таблице 2.2.2.

Таблица 2.2.2

Вычисление значение полинома Лагранжа по схеме Эйткена

-1	-1	-	-	-	-3.5
2	3	3.666667	-	-	-0.5
3	2	2.5	2.645833	-	0.5
5	4	1.5	2.333333	2.463542	2.5

Из анализа приведенных данных видно, что процесс вычисления по схеме Эйткена дает такой же результат, который получен при вычислении значения интерполяционного полинома Лагранжа (см. выражение (2.2.19)).

Таким образом, получаем, что интерполяционный полином Лагранжа с некоторой погрешностью описывает функцию по ее табличным значениям и позволяет найти ее значения при таких , которые не совпадают с узлами . Кроме того, следует отметить, что полином Лагранжа обеспечивает глобальную интерполяцию (он аппроксимирует функцию на всем интервале ее определения). При этом если количество узлов велико, то и степень полинома высока. Он будет достаточно хорошо аппроксимировать функции, которые имеют непрерывные производные высокого порядка, как и сам аппроксимирующий полином. Если же таблично заданная функция не имеет непрерывных производных высокого порядка, то аппроксимирующий полином будет приводить к большой ошибке аппроксимации.

Интерполяция сплайнами

Если нам заранее известно, что таблично заданная функция не имеет непрерывные производные не высокого порядка, то для ее вычисления не имеет смысла применять интерполяционный полином Лагранжа, так как ошибка аппроксимации может оказаться большой. Для таких случаев применяют сплайн аппроксимацию.

Пусть дан интервал , который разбит, как и выше, на отрезков узлами , . Сплайном называется функция, определенная на и такая, что на каждом интервале , она представляет собой полином - ой степени

, .

(2.2.25)

Рис. 2.2.3. Пример сплайна дефекта 1
Дефектом сплайна называется разность между степенью, определяемых его полиномов и порядком гладкости , т.е.

.

(2.2.26)

На рис. 2.2.3 и рис. 2.2.4 приведены примеры сплайнов с дефектами равными 1 и 2 соответственно. Наиболее часто применяются сплайны дефекта 1, в частности параболические и кубические сплайны, которые будем рассматривать в данном разделе учебного пособия.

Рис. 2.2.4. Параболический сплайн дефекта 2
Первой рассмотрим параболическую интерполяцию. Предположим, что известна функция , которая задана таблично в узлах , , сплайном дефекта 1. Определим таким образом:

(2.2.27)

на каждом интервале . Выражение (2.2.27) задает полином второй степени, графиком которого является парабола. Для определения неизвестных коэффициентов полиномов потребуем выполнения во всех узлах следующих условий

, , ,

(2.2.28)

которые указывают на то, что в узлах значения полиномов совпадают с табличными значениями функции . Кроме того, потребуем непрерывности первой производной сплайна во всех внутренних узлах

, .

(2.2.29)

Для того чтобы определить сплайн необходимо найти неизвестных коэффициентов:

; ; , .

(2.2.30)

Условия (2.2.28) и (2.2.29) дают уравнений для определения коэффициентов (2.2.30). Таким образом, недостает еще одного условия и в качестве него, например, можно взять такое условие

(2.2.31)

или аналогичное ему условие для правого конца интервала

.

(2.2.32)

Покажем, что условия (2.2.28), (2.2.29) и (2.2.31) дают возможность определить все коэффициенты (2.2.30). Из (2.2.31) находим

.

(2.2.33)

Из (2.2.28) имеем

, ,

(2.2.34)

Отсюда получим

.

(2.2.35)

Из (2.2.29) имеем

,

(2.2.36)

из которого находим

, .

(2.2.37)

Подставляя (2.2.37) в (2.2.36), получим формулу

,

(2.2.38)

С помощью которой последовательно можно вычислить все значения , , … , по известному коэффициенту . Далее по формуле (2.2.37) можем найти значения , , … , . В итоге из (2.2.36) находим

.

(2.2.39)

Таким образом, все коэффициенты (2.2.30) определяются однозначно через координаты узлов и соответствующие значения функции .

Интерполяция кубическими сплайнами наиболее широко применяется в настоящее время. По аналогии с параболическим сплайном (2.2.27) кубический сплайн дефекта 1 задается следующим образом:

(2.2.40)

на каждом интервале . Потребуем, чтобы во всех узлах значения сплайна совпадали со значениями функции

, , ,

(2.2.41)

а во внутренних узлах потребуем непрерывности первой и второй производных

, ,

(2.2.42)

, .

(2.2.43)

Общее число неизвестных коэффициентов , а число уравнений для их определения (см. (2.2.41) – (2.2.43)). Недостающие условия, как правило, задают на концах интервала при , , например

, .

(2.2.44)

При этом сплайн определяется единственным образом, так как систему линейных уравнений, которая задается условиями (2.2.41) – (2.2.44), можно свести к трех диагональному виду и решить методом прогонки.

Примеры задач, использующие интерполяцию функций

(2.2.45)

(2.2.46)

(2.2.47)

(2.2.48)

(2.2.49)

(2.2.50)

(2.2.51)

(2.2.52)