Курсовая Использование аттракторов. Использование аттракторов
 Скачать 367.67 Kb.
|
|
Министерство образования и науки Украины ГВУЗ «Приазовский государственный технический университет» Кафедра высшей и прикладной математики Курсовая работа по дисциплине «Основы нелинейного анализа» на тему «Использование аттракторов» Мариуполь, 2018 РЕФЕРАТ Пояснительная записка к курсовой работе ___с., ___рисунков, ___таблиц, ___приложений. Работа, посвящена решению задачи разложения сложных математических уравнений в иерархию бинарного дерева с последующим вычислением результата на электронной вычислительной машине. ОглавлениеАттрактор Рёсслера 4 Аттрактор Лоренца 7 Осциллятор Ван дер Поля 9 Аттрактор Уэды 11 Алгоритм и программа 12 Аттрактор РёсслераА  ттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера: Где a, b, c — положительные постоянные. При величине параметров a=b=0,2 и 2,6≤с≤4,2, уравнения Рёсслера имеют устойчивый предельный цикл. При данных значениях параметров период и форма предельного цикла совершают очередность удвоения периода. Сразу же за точкой с=4,2 появляется фактор хаотического аттрактора. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным счетным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала. Сам Рёсслер изучал систему при постоянных а=0,2, b=0.2 и с=5.7, но также часто используются и значения а=0.1, b=0.1, и c=14. Иногда аттракторы Рёсслера строятся для плоскости, то есть с z=0.  Устойчивые решения для х, у могут быть найдены с помощью вычисления собственного вектора матрицы Якоби вида  для которой  Вывод: Найдём собственные значения матрицы  Определитель равен –λа+  , отсюда Таким образом, видно, что когда 0<a<2, собственные вектора являются комплексными и имеют положительные вещественные компоненты, что и делает аттрактор неустойчивым. Теперь будем рассматривать плоскость Z в том же диапазоне а. До тех пор, пока х меньше с, параметр с будет удерживать траекторию, находящуюся близко к плоскости х, у. Как только х станет больше с, z - координата увеличится, а чуть позже параметр - z будет тормозить рост х в  .Т  очки равновесияДля того, чтобы найти точки равновесия, три уравнения Рёсслера приравниваются нулю и x, y, z-координаты каждой точки равновесия находятся путём решения полученных уравнений. В итоге:  Как показано в общих уравнениях аттрактора Рёсслера, одна из этих фиксированных точек находится в центре аттрактора, а другие  сравнительно далеко от центра.Изменение параметров a, b и c Поведение аттрактора Рёсслера существенно зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра влечёт за собой определённый эффект, в следствие чего система может сойтись к периодической орбите, к неподвижной точке или устремиться в бесконечность. Численность периодов аттрактора Рёсслера определяется числом его витков вокруг центральной точки, которые возникают перед серией петель. Бифуркационные диаграммы представляют собой стандартный инструмент для анализа поведения динамических систем, в которые включён и аттрактор Рёсслера. Они строятся методом решения уравнений системы, в которых закрепляются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются практически полностью «закрашенные» области; это и есть область динамического хаоса. Изменение параметра a Зафиксируем c=0.2, c=5.7 и будем менять a. В итоге путём эксперимента получим такую таблицу: а≤0: Сходится к устойчивой точке. а=0.1Крутится с периодом 2. а=0.2: Хаос (стандартный параметр уравнений Рёсслера). а=0.3: Хаотичный аттрактор. а=0.35: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее. а=0.38: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее. Изменение параметра b Запечатлеем a=b=0.1, с=5.7 и теперь начнем изменять параметр c. Как показывает рисунок, при стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда b станет больше a и с, система уравновесится и перейдёт в станционарное состояние. Изменение параметра c Зафиксируем a=b=0.1 и будем изменять c. Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких показателях c система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной.  |