Исследование характеристик сигналов во временной и частотной областях
 Скачать 54.5 Kb.
|
|
Лабораторная работа 1. Исследование характеристик сигналов во временной и частотной областях. Цель работы - исследование свойств характеристик сигналов во временной и частотной областях при моделировании в среде пакета MATLAB.Общие сведения. Для описания различных сигналов используют два типа представлений: во временной области и в частотной области. Во временной области непрерывный по времени сигнал х(t), заданный на интервале (0, Т) аналитической функцией времени, может быть представлен также последовательностью отсчетов x(ndt)=x(n), разделенных интервалом дискретизации по времени dt. При этом число отсчетов в реализации N=T/dt, n=0..N-1. Эквивалентность непрерывного и дискретного описаний определяется теоремой Котельникова, в соответствии с которой накладываются ограничения на интервал дискретизации dt1/(2Fmax) или частоту дискретизации fs=1/dt=2Fmax,где Fmax- верхняя частота спектра непрерывного сигнала x(t). В частотной области сигнал представляется с помощью набора спектральных коэффициентов, полученных путем разложения исходного сигнала по системе базисных функций. Используют различные базисные функции, но наибольший практический интерес представляет разложение по комплексным функциям Фурье (преобразование Фурье): ехр(j2fkt) - для непрерывных сигналов (fk k-я гармоника); exp(j2kn/N) - для последовательностей. Если непрерывный сигнал xp(t) периодический и задан в пределах периода T, то последовательность xp(n) также будет периодической с периодом в N отсчетов. В этом случае спектр сигнала Xp(fk) для xp(t) и Xp(k) для xp(n) будет в силу периодичности базисных функций периодической комплексной функцией своего аргумента. Поэтому достаточно ограничиться одним периодом для спектра, приняв диапазон изменения k=0, N-1. При этом максимальная частота спектра Fmax будет определяться частотой выборки Fmax= fs/2=1/(2dt), а интервал дискретизации по частоте df=fs/N=1/T. С помощью преобразования Фурье можно вычислять спектр и непериодических сигналов, полагая, что период сигнала равен времени его наблюдения. В задачах обработки сигналов особый интерес представляет операция дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Основные соотношения, описывающие прямое и обратное преобразования Фурье для последовательности x(n) имеют обычно следующий вид: прямое (ДПФ) X(k)=[x(n)exp(-j2nk/N)], n,k=0,..,N-1; обратное (ОДПФ) x(n)=1/N {[X(k)exp(j2kn/N)]}, k,n=0,..,N-1. Спектр X(k) представляет собой комплексную функцию аргумента и для действительной последовательности x(n) выполняются следующие условия симметрии: для k=0.. N/2-1; Re[X(k)]=Re[X(N-k)]; Im[X(k)]= -Im[X(N-k)]; abs[X(k)]=abs[X(N-k)]. Если последовательность x(n) четная, т.е. x(n) = x(N-n) для n=0..N/2-1 ДПФ для x(n) представляет действительную четную функцию аргумента; если последовательность x(n) нечетная, т.е. x(n)= -x(N-n) для n=0..N/2-1 ДПФ для x(n) представляет мнимую нечетную функцию аргумента. Эквивалентность описания сигнала во временной и спектральной областях определяется равенством Парсеваля, отмечающим неизменность средней мощности сигнала независимо от формы его описания: p=(1/N){[x (n)] 2}=(1/N2){[abs(X (k))] 2} . Основные задачи исследований в данной работе. Предлагается исследовать гармонический сигнал, а также сигнал сложного вида: x(n)= x1(n)+ x2(n)+ x3(n), содержащий следующие составляющие: x1(n), x2(n) – гармонические составляющие с частотами F1 и F2; x3(n) – случайная составляющая. При этом задается интервал дискретизации dt (сек), варьируется длина реализации T (сек), значит меняется число отсчетов в реализации N=[T/dt]. Рекомендуется задавать T таким образом, чтобы в реализации содержалось: - целое число периодов частоты F1, - нецелое число периодов частоты F1. Для сформированной последовательности x(n) определяют ДПФ и выясняют условия симметрии для составляющих комплексного спектра (действительной и мнимой частей и модуля) с учетом свойств исходной последовательности. Затем выполняется ОДПФ вычисленного на предыдущем этапе спектра, при этом необходимо убедиться в том, что восстановленная последовательность содержит только действительные отсчеты. Необходимо сравнить восстановленную последовательность с исходной. Во всех исследованиях необходимо четко представлять взаимосвязь параметров сигнала и спектра, в частности связь между независимыми переменными: t=ndt и f=kdf. Эквивалентность описания сигналов во временной и частотной областях в каждом случае оценивается равенством Парсеваля. Для реализации операций преобразований Фурье используется алгоритм БПФ с основанием 2. Принятая в пакете MATLAB нумерация элементов вектора приводит к следующей форме записи соотношений ДПФ: X(k)=[x(n)Wnk]; и ОДПФ: x(n)=(1/N)[X(k)W-nk]; где: W=exp(-j2/N); n,k=1,..,N; Для прямого преобразования Фурье могут использоваться два типа операторов: fft(x) и fft(x,m). В первом случае число отсчетов спектра равно числу отсчетов последовательности. Во втором случае размер преобразования задается параметром m. При m Обратное преобразование Фурье выполняется операторами вида: ifft(X). Для действительных отсчетов восстановленной по спектру последовательности xv(n) необходимо использовать операторы real(ifft(X)). После ввода исходных данных (dt,F1,F2,T) и расчета параметров (fs=1/dt; N=fix(T/dt)) формируют вектор независимой переменной t=0:dt:(N-1)·dt, векторы отсчетов x1, x2, x3, выполняют ДПФ и ОДПФ: X=fft(x); XX=[f real(X) imag(X) abs(X)]; pause; p=sum(x.^2)/N P=sum(abs(X).^2)/(N^2); pause; xv=ifft(X); xxv=[t x xv] pause; clc; clg; subplot(221), plot(t,x,'g'), title('x(t)'); subplot(222), plot(f,real(X),'g'), title('real(X(f)'); subplot(223), plot(f,imag(X),'g'), title('imag(X(f)'); subplot(224), plot(f,abs(X),'g'), title('abs(X(f)'); pause; clg; subplot(211), plot(x,'g'), title(' x(n)'); subplot(212), plot(real(xv),'g'), title('xv(n)'); pause; Порядок выполнения работы. Сформировать гармонические сигналы с частотами f1<(fs/2), (fs/2) Сформировать четную и нечетную гармонические последовательности, получить их спектры. Вывести в графической форме исходные сигналы, а также их спектры. Объяснить полученные результаты. Повторить п.2 с изменением времени наблюдения на полпериода входной последовательности. Сформировать сигнал сложной формы, получить его спектр и восстановить сигнал по его спектру. Вывести в графической форме исходный и восстановленный сигналы, а также спектр. Объяснить полученные результаты. Отчет о работе должен содержать: программы исследования, результаты исследований в виде соответствующих графиков, выводы по этим результатам, отражающие свойства ДПФ и ОДПФ Контрольные вопросы: 1. Каким будет спектр, соответствующий единичному импульсу, синусоидальной и косинусоидальной последовательностям (проверьте при N=8)? 2. Каким должно быть соотношение между частотой периодического сигнала и длиной реализации, что лучше иметь больше периодов сигнала в реализации или больше отсчетов на один период, равный длине реализации? 3. О чем свидетельствует равенство Парсеваля (покажите на примерах, полученных в работе)? Варианты заданий к лабораторной работе:
|