задача динамика. Исследование плоского движения твердого тела
 Скачать 139.04 Kb.
|
|
Задание Д12. Исследование плоского движения твердого тела. Определить значение постоянной силы  , под действием которой качение без скольжения колеса массой m носит граничный характер, т.е. сцепление колеса с основанием находится на грани срыва.Найти также для этого случая уравнение движения центра масс колеса С, если в начальный момент времени его координата  и скорость  .Исходные данные вариант 17:  , радиус инерции колеса относительно оси, перпендикулярной его плоскости, радиус большой окружности, радиус малой окружности, , , коэффициент сцепления (коэффициент трения покоя),  коэффициент трения качения. Решение На колесо действует сила тяжести  , нормальная сила  , сила , сила сцепления  . Силу сцепления направляем условно в сторону положительного направления оси х.  Дифференциальные уравнения плоского движения колеса:  В нашем случае:  Положительным направлением отсчета угла поворота колеса принимаем направление по часовой стрелке, что соответствует движению центра колеса в положительном направлении х. В соответствии с этим направлением по часовой стрелке принято положительным и при определении знаков моментов внешних сил в уравнении (3). К дифференциальным уравнениям плоского движения колеса (1), (2), (3) добавим уравнения связей:   Уравнение (5) выражает условие качения колеса без скольжения. Из (4) следует, что  .Дифференцируем (5) по времени:  Подставляем (6) и (7) в (2) и (3) и учитывая, что  получаем:      Значение  из (1) подставляем в (9):         График зависимости  показан на рисунке.График пересекает ось Р в точке  .При Р >   > 0 – сила сцепления направлена, как показана на первом рисунке, в положительном направлении оси х. При Р < < 0 – сила сцепления направлена в противоположную сторону. Модуль силы сцепления, обеспечивающий качение колеса без скольжения, подчиняется следующему ограничению:  (11) принимаем, что  всегда.Предельное значение модуля силы сцепления по выражению (11) и (8)  Граничные значения силы Р находим, используя (10) и (12) из условий:     Точка А  Точка В  Дифференциальное уравнение движения центра колеса находим после исключения из (1) и (9). Для этого умножаем уравнение (1) на R и складываем полученное уравнение с (9):     При   Интегрируем это дифференциальное уравнение дважды по времени:   Учитывая начальные условия (  ) имеем  .Окончательно получаем уравнение движения центра масс колеса С:  колесо катиться влево;При   Интегрируем это дифференциальное уравнение дважды по времени:   Учитывая начальные условия ( ) имеем .Окончательно получаем уравнение движения центра масс колеса С:  колесо катиться вправо. |