вышмат. Кафедра Высшая математика Омгту, дисциплина Математика. Направление подготовки 10. 03. 01 10. 05. 05. Экзаменационный билет 1

• Название: Кафедра Высшая математика Омгту, дисциплина Математика. Направление подготовки 10. 03. 01 10. 05. 05. Экзаменационный билет 1
• Анкор: вышмат
• Дата: 05.11.2021
• Размер: 1.24 Mb.
• Имя файла: darysmerti (2).pdf
• Тип: Решение; #263729

Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 1.
1
Первообразная и неопределенный интеграл. Существование первообразной.
Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
2
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), порядок ОДУ. ОДУ первого порядка, решение ОДУ, общее решение. Задача Коши, начальные условия, частное решение, интегральная кривая. Теорема Коши существования и единственности решения ОДУ первого порядка, геометрическая интерпретация теоремы. Поле направлений, изоклины.
3
Найти производную функции
y
u
arctg
xz
x
=
+
в точке
(2; 2; 1)
M
−
по направлению нормали к поверхности
2 2
:
2 10
S x
y
z
+
−
=
, образующей острый угол с положительным направлением оси
Oz
4
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
1
,
0,
1,
1 ln
y
y
x
x
e
x
x
=
=
=
=
+
5
Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
2 5
2 ,
,
0.
4
x
x
y
y z
x
z
+
=
=
−
=
6
,
(1)
0.
y
y
x y
x
 = −
=
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой _ Мышлявцева М.Д.________ ______

Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 2.
1
Вывести формулу интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
Классы функций, для которых может быть применен метод интегрирования по частям.
2
Вывести формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.
3
Найти угол между градиентами функций
2 2
2 1
,
9 6
u
v
x
y
z
xyz
=
=
+
+
в точке
1 1
1; ;
3 6
M






4
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
2
,
0,
0 (
0).
x
y
x e
y
x
x
−
=
=
=

5
По формуле Грина вычислить криволинейный интеграл
2 2
2 2(
)dx (
)dy
ABCA
x
y
x
y
+
+
+

по контуру ABCA треугольника с вершинами A(1;1), B(2;2), C(1;3).
6
2 2 (y )
0
y
x


+
=
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой _ Мышлявцева М.Д.__

Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 23.
1
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Теорема существования и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор и его свойства с доказательством.
2
Приложения определенного интеграла к задачам геометрии: определение длины дуги кривой, вывод формулы для вычисления длины дуги кривой
(x), a x
b.
y
f
=
 
3
Найти уравнение касательной плоскости к поверхности
2 2
2 2
3 21
x
y
z
+
+
=
параллельной плоскости
4 6
0
x
y
z
+
+
=
4
С помощью определенного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями
2 2
2 1,
1,
3 4
9 36
x
y
z
z
z
+
−
=
= −
=
5
Двойным интегрированием найти объем тела, ограниченного координатными плоскостями, плоскостью
2 3
12 0
x
y
+
−
=
и цилиндром
2 2
y
z =
6
2 5
6 6
2 5
y
y
y
x
x



−
+
=
+
−
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой ____________ Мышлявцева М.Д.
Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 24.
1
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Доказать свойства решений такого уравнения. Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
2
Приложения определенного интеграла к задачам геометрии: вывести формулу для вычисления объемов тел по площадям параллельных сечений. Объем тела вращения.
3
В какой точке эллипсоида
2 2
2 1
4 4
1
x
y
z
+
+
=
нормаль к нему образует равные углы с осями координат.
4
Найти длину дуги кривой
5 5exp
, |
|
12 2






=





5
Двойным интегрированием найти объем тела, ограниченного координатными плоскостями, плоскостью
3 4
12 (y
0)
x
y
+
=

и цилиндром
2 9
z
y
= −
6
6 9
(16 x 24)
x
y
y
y
e



+
+
=
+
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой ____________ Мышлявцева М.Д.

Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 25.
1
Решение линейного неоднородное дифференциальное уравнения методом вариации произвольных постоянных.
2
Вывести формулу для вычисления двойного интеграла.
3
Найти направление максимального роста функции
2 2
3 2
z
x
xy
y
=
+
−
в точке
(2;1)
A
и наибольшее значение производных по разным направлениям в этой точке.
4
С помощью определенного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями
2 2
2
(
2)
,
0 3
2
x
y
z
z
−
=
+
=
5
Найти длину кривой
2 1
cos
, 0 4
y
x
x
arc
x
x
=
−
−
 
6
4
sin 2
y
y
x


+
=
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой ____________ Мышлявцева М.Д.
Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 26.
1
Рациональные дроби. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие.
Интегрирование рациональных дробей.
2
ОДУ первого порядка: с разделяющимися переменными; однородные; линейные; уравнение Бернулли; в полных дифференциалах и методы их решения.
3
Найти градиент функции
2 2
2 1
u
x
y
z
=
+
+
и его величину (модуль) в точке
0 0
0
( ;
;
)
A x y z
4
Интеграл
5 5
1 2
d x
x
x

+
+

исследовать на сходимость.
5
Двойным интегрированием найти объем тела, ограниченного цилиндрами
2 2
3 1,
x
y
z
x
+
=
=
и плоскостью
0 (x
0)
z =

6
Для уравнения
4 4
4
x
y
y
y
y
e



−
+
−
=
найти его общее решение.
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой ____________ Мышлявцева М.Д.

Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 27.
1
Вывести формулу интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Классы функций, для которых может быть применен метод интегрирования по частям.
2
Вывести формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.
3
Функцию
2 2
3 6
z
x
xy
y
x
y
=
+
+
−
−
исследовать на экстремум. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
2 2
:
3 6
S z
x
xy
y
x
y
=
+
+
−
−
в точках локального экстремума.
4
С помощью определенного интеграла найти объем кругового конуса
2 2
2 2
2
R
x
y
z
h
+
=
, у которого радиус основания равен R, а высота равна h.
5
Вычислить криволинейный интеграл
2 2
2 2
4 4
x
y
xdy
ydx
x
y
+ =
−
+

в положительном направлении.
Можно ли для вычисления интеграла применить формулу Грина?
6
Для уравнения
2 5
10cos
y
y
y
x


+
+
=
найти общее решение неоднородного уравнения.
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой ____________ Мышлявцева М.Д.
Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 28.
1
Доказать свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами.
2
Работа силового поля. Криволинейный интеграл по координатам. Теорема существования. Вычисление криволинейного интегралов по координатам. Вывод формулы для вычисления криволинейного интеграла в случае, когда кривая заданы уравнением
( ),
y
f x
a
x
b
=
 
3
Найти угол между градиентами функций
2 2
2 1
,
9 6
u
v
x
y
z
xyz
=
=
+
+
в точке
1 1
1; ;
3 6
A






4
С помощью определенного интеграла найти объем шара радиуса R.
5
Показать, что криволинейный интеграл
(3,4)
2 3
2 2
(2,3)
(6 xy
4
) dx (6 x y 3
) dy
x
y
+
+
+

не зависит от пути интегрирования и найти его.
6
2
,
(0)
0 1
x
y
y
x y y
x
 +
=
=
−
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой ____________ Мышлявцева М.Д.

Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 29.
1
Доказать основные свойства определенного интеграла.
2
Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Доказать теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.
3
Найти угол между градиентами функций
(ln )
y
z
arctg
x
=
в точках
( )
1; 1
A
и
( )
2;2
B
4
Найти длину кривой ln sin ,
3 2
y
x
x


=
 
5
Найти заряд пластинки, ограниченной линиями
2 2
2 2
x
4 , x
6 ,
,
3 3
x
y
x
y
x y
y
x
+
=
+
=
=
=
, если поверхностная плотность зарядов равна:
2 2
q(x, y)
x
y
=
+
6
2 4
5
cos
x
e
y
y
y
x


−
+
=
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой ____________ Мышлявцева М.Д.
Кафедра «Высшая математика» ОмГТУ, дисциплина «Математика».
Направление подготовки: 10.03.01; 10.05.05.
Экзаменационный билет № 30.
1
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (с выводом). Определение определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.
Интегрируемые функции. Необходимое условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
2
Доказать Формулу Грина.
3
Найти производную функции
y
u
arctg
xz
x
=
+
в точке
(2; 2; 1)
M
−
по направлению нормали к поверхности
2 2
10
:
2
x
y
S
z
+
−
=
в этой точке, образующей острый угол с положительным направлением оси
Oz
4
Исследовать интеграл
4 3
0 1
x arctg x
dx
x

+

на сходимость.
5
Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
2 2
2 2
2
,
6
,
0 (z
0)
x
y
z
x
y
z z
+
=
+
= −
=

6
2 1
5 6
1
x
y
y
y
e


+
+
=
+
Экзаменатор Степанов В.Н. _____________ Июнь 2021г.
Утверждаю: Зав. кафедрой ____________ Мышлявцева М.Д.