Комплексные числа
 Скачать 451.57 Kb.
|
|
Тема: Комплексные числа. Комплексным числом zназывается пара действительных чисел ( , ) a b , взятых в определенном порядке, так что z a ib , где i – мнимая единица, которая определяется соотношением: 2 1; 1. i i При этом, число a называется действительной частью числа z ( a Re z , от французского слова reel – действительный), b – мнимой частью ( b Im z , от французского слова imaginaire – мнимый). Если 0 a Re z ,то число z будет чисто мнимым, если 0 b Im z , то число z будет действительным. Числа z a ib и z a ib называются комплексно-сопряженными. Два комплексных числа 1 1 1 z a ib и 2 2 2 z a ib называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: 1 2 1 2 ; a a b b Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. 0. a b Существуют различные формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная. Рассмотрим эти формы. Алгебраической формой записи комплексного числа z называется его представление в виде z a ib , где , a b R , a действительная часть, b мнимая часть, i мнимая единица. Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел. Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная – мнимой осью. Таким образом, на оси Ох располагаются действительные числа, а на оси Оy – чисто мнимые. С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме. Тригонометрическая форма числа Из геометрических соображений видно, что cos ; sin a r b r Тогда комплексное число можно представить в виде: cos sin (cos sin ) z a ib r ir r i Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона – аргументом комплексного числа. ; r z Arg z Из геометрических соображений видно: 2 2 ; ; b r a ib a b Arg z arctg a Очевидно, что комплексно-сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы. ; z z Arg z Arg z Действия с комплексными числами Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами. 1) Сложение и вычитание. 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) z z z a ib a ib a a i b b 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) z a a b b 2) Умножение. 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) z z z a ib a ib a a ia b ib a i b b 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) z z z a a b b i a b b a В тригонометрической форме: 1 1 1 1 (cos sin ) z r i , 2 2 2 2 (cos sin ). z r i 1 2 1 2 1 2 1 2 (cos( ) sin( )) z z z r r i В случае комплексно-сопряженных чисел: 2 2 2 2 ( )( ) zz a ib a ib a b z z 3) Деление. 1 1 1 2 2 2 z a ib z x iy z a ib 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) a ib a ib a a b b i a b a b z a ib a ib a b 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b b a b a b z i a b a b В тригонометрической форме: 1 1 1 2 1 2 2 2 (cos( ) sin( )) z r z i z r 4) Возведение в степень. Из операции умножения комплексных чисел следует, что 2 2 (cos 2 sin 2 ) z zz r i В общем случае получим: (cos sin ) n n z r n i n , где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик) Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов. Пример. Найти формулы sin2 и cos2 Рассмотрим некоторое комплексное число (cos sin ). z r i Тогда с одной стороны 2 2 2 2 (cos 2 cos sin sin ) z r i По формуле Муавра: 2 2 (cos 2 sin 2 ) z r i Приравнивая, получим 2 2 cos2 sin 2 cos sin 2 cos sin i i Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то 2 2 cos 2 cos sin , sin 2 2sin cos 5) Извлечение корня из комплексного числа. (cos sin ) (cos sin ) n n z r i i Возводя в степень, получим: (cos sin ) (cos sin ) n n i n r i Отсюда: ; 2 ; n r n k k Z 2 2 (cos sin ) cos sin n n n k k z r i r i n n Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Показательная форма комплексного числа Рассмотрим показательную функцию ; z w e z x iy Можно показать, что функция w может быть записана в виде: (cos sin ) x iy x w e e y i y Данное равенство называется уравнением Эйлера. Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства: 1) 1 2 1 2 ; z z z z e e e 2) 1 1 2 2 ; z z z z e e e 3) ( ) ; z m mz e e где m – целое число. Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем: cos sin iy e y i y Для комплексно-сопряженного числа получаем: cos sin iy e y i y Из этих двух уравнений получаем: cos , 2 sin 2 iy iy iy iy e e y e e y i Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов. Если представить комплексное число в тригонометрической форме: (cos sin ) z r i и воспользуемся формулой Эйлера: cos sin i e i i z re Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа. |