Комплексные числа. Лекция. Тема 3. Комплексные числа. Комплексным числом называется выражение вида

• Название: Комплексным числом называется выражение вида
• Анкор: Комплексные числа
• Дата: 23.10.2022
• Размер: 2.04 Mb.
• Имя файла: Лекция. Тема 3. Комплексные числа.pdf
• Тип: Документы; #749775

Комплексные числа.

Определение
Комплексным числом называется выражение вида z = x+ iy, где x, y – действительные числа

Комплексные числа
(
) (
) (
) (
)
(
)(
)
(
)
(
) (
) (
)
1 2
2 1
2 1
2 1
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1
1 2
1
y
x
y
x
i
y
y
x
x
y
x
y
x
i
y
y
i
x
x
iy
x
iy
x
z
z
y
y
i
x
x
iy
x
iy
x
z
z
+
+
-
=
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
Сложение и
умножение комплексных чисел удовлетворяет правилам действий с
обычными многочленами
i
- мнимая единица
Не существует в
множестве действительных чисел
1 2
-
=
i
x=Rez
-действительная часть,
y=lmz
- мнимая часть.

Определение
Два комплексных числа
называются сопряженными числами.
iy
x
z
и
iy
x
z
-
=
+
=

Операции над сопряженными числами
—
Деление на число 0+i0 невозможно
2 2
2
y
x
z
z
x,
z
z
+
=
=
+
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
1 1
2 2
1 1
2 1
y
x
y
x
y
x
i
y
x
y
y
x
x
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
iy
x
z
z
+
-
+
+
+
=
-
+
-
+
=
+
+
=
Сложение и произведение
сопряженных чисел приводит в результате к действительным числам
Деление комплексных чисел выполняют с помощью умножения числителя и знаменателя дроби на число, сопряженное к знаменателю по правилу:

Комплексные числа
Рис.1. Геометрическое изображение комплексного числа
Y
X
j
r
i
1 0
x
y
iy
x
z
+
=

Определение
Расстояние от точки z до начала координат называется модулем (относительной величиной)
числа z.
2 2
y
x
iy
x
r
+
=
+
=

Определение
Угол между осью Ox и направлением Oz
называется аргументом комплексного числа.
j
2 2
2 2
sin
,
cos
,
y
x
y
y
x
x
x
y
tg
+
=
+
=
=
j j
j

Тригонометрическая форма комплексного числа
(
)
j j
sin i
cos r
z
×
+
=

Геометрический смысл сложения комплексных чисел
—
Комплексные числа складываются по правилу параллелограмма: на слагаемых числах, как на сторонах, строится параллелограмм, диагональ которого обнаруживает сумму.
Рис. 2. Геометрический смысл сложения комплексных чисел
y
x
2
y
1
y
0 2
x
1
x
2
y
2
z
1
z
2
x
2 1
z
z
+

Геометрический смысл умножения комплексных чисел
Рис. 3. Геометрический смысл умножения комплексных чисел
y
x
2 1
z
z
2 1
r
r
2 1
j j
+
2
z
2
j
1
z
1
r
1
j
2
r

Комплексные числа, заданные в тригонометрической форме
—
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:
—
При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:
(
)
(
)
[
]
2 1
2 1
2 1
2 1
sin cos j
j j
j
+
+
+
=
i
r
r
z
z
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
1 1
2 1
sin cos sin cos sin cos j
j j
j j
j j
j
-
+
-
=
+
+
=
i
r
r
i
r
i
r
z
z

Степенная функция z p
—
Возведение в n-ю степень (p = n) комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, производится по формуле Муавра, вытекающей из геометрического смысла умножения:
—
т.е. модуль возводится в n-ю степень, а аргумент умножается на n
—
Извлечение корня из m-й степени (p = 1/m) производится как действие , обратное возведению в степень
—
где k = 0, 1, 2,…, m-1.
( )
( )
[
]
j j
n
i
n
r
z
n
n
sin cos
+
=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
×
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
=
k
m
m
i
k
m
m
r
z
m
m
p j
p j
2
sin
2
cos

Определение
Функция вида e
z
называется показательной
функцией.

Показательная функция e z
(
)
y
i
y
e
e
e
x
iy
x
z
sin cos
+
=
=
+
x
z
e
e
=
j
i
re
z
=
y с
совпадает
Формула
Эйлера позволяет ввести показательную форму для комплексного числа:
(
)
y
i
y
r
z
sin cos
+
=
В основе показательной функции лежит формула
Эйлера:
y
i
y
e
iy
sin cos
+
=