Опорный конспект на тему : текстовые задачи с целочисленными неизвестными. Опорный конспект_ теория+задачи. Конспект текстовые задачи с целочисленными неизвестными
 Скачать 355.27 Kb.
|
|
ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ Текстовые задачи с целочисленными неизвестными. Текстовые задачи - описание некоторой ситуации на естественном языке, с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами и определить вид этого отношения Задачи с целочисленными неизвестными отличаются тем, что в ответе должны получиться целые числа. Либо это оговаривается в условии, либо соответствует смыслу задачи. o При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая оставшаяся за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют. o При записи натуральных чисел в десятичной системе исчисления первая стоящая справа цифра называется цифрой единиц, вторая справа – цифрой десятков, третья-цифрой сотен и так далее. Для записи числа в общем виде используют прописные латинские буквы с чертой сверху. Пример: общий вид: 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑎 𝑛 ⋅ 10 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 ⋅ 10 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 2 ⋅ 10 2 + 𝑎 1 ⋅ 10 + 𝑎 0 вид 9375 ̅̅̅̅̅̅̅ = 9 ⋅ 10 3 + 3 ⋅ 10 2 + 7 ⋅ 10 + 5 = 9000 + 300 + 70 + 5 Пример задачи: Крокодил Гена купил сим-карту для своего модельного телефона и решил запомнить ее шестизначный номер. Он заметил, что в номере совпадают первая, третья и четвертая цифры, а также вторая и шестая. При этом если из трехзначного числа, составленного из последних трех цифр, вычесть трехзначное число, составленное из первых трех цифр, получится 42, а сумма первых двух цифр числа равна 6. Определите новый номер мобильного телефона крокодила Гены. Решение: ХХ-ХХ-ХХ – номер телефона 𝑎𝑏𝑎𝑎𝑐𝑏 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ – номер по условию задачи 𝑎𝑐𝑏 ̅̅̅̅̅ − 𝑎𝑏𝑎 ̅̅̅̅̅ = 42 𝑎𝑐𝑏 ̅̅̅̅̅ = 100 ⋅ 𝑎 + 10 ⋅ 𝑐 + 𝑏 𝑎𝑏𝑎 ̅̅̅̅̅ = 100 ⋅ 𝑎 + 10 ⋅ 𝑏 + 𝑎 (100 ⋅ 𝑎 + 10 ⋅ 𝑐 + 𝑏) – (100 ⋅ 𝑎 + 10 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ) = 42 10 ⋅ 𝑐 − 9 ⋅ 𝑏 − 𝑎 = 42 По условию задачи сумма первых двух цифр равна 6. a + b = 6 , (a = 6 – b) 10 ⋅ 𝑐 − 9 ⋅ 𝑏 − (6 − 𝑏) = 42 10⋅ 𝑐 − 8 ⋅ 𝑏 = 48 𝑐 = 24 + 4 ⋅ 𝑏 5 24 + 4 ⋅ 𝑏 5 ≤ 9 24 + 4 ⋅ 𝑏 ≤ 45 4𝑏 ≤ 21 𝑏 ≤ 5,25 𝑏 ≤ 5,25 – b должно быть натуральным числом или нулем, т. к. является цифрой b = 4, c = 8, a = 2 Ответ: 24-22-84 – новый номер мобильного телефона крокодила Гены. o Для любых целых чисел a и n существует единственная пара чисел q и r, для которых выполняется равенство: a = n⋅q + r, где q и r – неотрицательные числа причем 𝑟 < |𝑛|. o Основная теорема Арифметики: Любое натуральное число можно разложить на простые числа, причем это разложение единственное. o НОК и НОД НОД нескольких натуральных чисел называется наибольшее число, на которое делится каждое из натуральных чисел. НОК нескольких натуральных чисел называется наименьшее число, которое делится на каждое из натуральных чисел. o Свойства признаки и делимости: Все целые числа делятся на единицу. 2. Каждое целое число, неравное нулю делится на натуральное число равное модулю от данного целого. 3. Все натуральные числа являются делителями нуля. 4. Если целое число a делится на натуральное число b и модуль числа a меньше b, то a равно нулю. 5. Если целое число a отлично от нуля и делится на натуральное число b, то модуль числа a не меньше числа b. 6. Единственный делитель единицы – сама единица. 7. Чтобы целое число a делилось на натуральное число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на b. 8. Пусть целое число a делится на натуральное число m, а число m в свою очередь делится на натуральное число k, тогда a делится на k (свойство транзитивности деления). 9. Если натуральные числа делятся друг на друга без остатка, то они равны. Признаки делимости на натуральные числа: • Признак делимости на 2 Число делится на 2, если его последняя цифра четная • Признак делимости на 3 Если сумма цифр любого натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3. • Признак делимости на 4 Если в записи числа последние две цифры образуют число, которое делится на 4, то такое число делится на 4. • Признак делимости на 5 Если запись числа оканчивается на цифру либо 0, либо 5, такое число делится на 5. • Признак делимости на 6 Если число делится на 2 и на 3 одновременно, то оно делится на 6. • Признак делимости на 8 Если в записи числа последние три цифры образуют число, которое делится на 8, то такое число делится на 8. • Признак делимости на 9 Этот признак делимости похож на 3. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9. • Признак делимости на 25 Если в записи числа последние две цифры нули или образуют число, которое делится на 25, то такое число делится на 25. • Признак делимости на 10 Если число оканчивается на 0 то, оно делится на 10. • Признак делимости на 11 Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число делится на 2, то оно должно быть четным. • Признак делимости на 13 Число делится на 13 когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13 Пример задачи Тринадцать пиратов делят клад золотых монет на палубе шхуны. При попытке разделить клад поровну оказалось, что остаётся 8 монет. Налетевшим штормом двух пиратов смыло за борт. Когда оставшиеся пираты снова стали поровну делить клад, то лишними оказались 3 золотые монеты. Затем в перестрелке погибли ещё три пирата. Когда уцелевшие пираты опять стали делить клад, то на этот раз оказалось, что остаётся 5 монет. Из какого количества монет состоял клад, если для его переноски достаточно сундука, вмещающего 500 золотых монет? Решение. Пусть S ≤ 500 – количество монет, из которых состоит клад, k, m и n – число монет, которые достались бы каждому пирату при первом, втором и третьем делении соответственно. Согласно условиям задачи имеем следующую систему уравнений: { 𝑆 = 13𝑘 + 8 𝑆 = 11𝑚 + 3 𝑆 = 8𝑛 + 5 Решим эту систему в целых числах. Рассмотрим сначала уравнение: 11𝑚 + 3 = 8𝑛 + 5 11𝑚 − 8𝑛 = 2 Найдем частное решение уравнения, им будет, например, m 0 = 6, n 0 = 8. Вычитая из равенства 11𝑚 − 8𝑛 = 2 равенство 11·6 – 8·8 = 2, мы получим однородное уравнение: 11( m − 6) = 8(n – 8). Общее решение этого однородного уравнения в целых числах имеет вид: m − 6 = 8l, n − 8 = 11l, где l Z. Соответственно, общее решение исходного уравнения в целых числах имеет вид: m = 8l + 6, n = 11l + 8, где l Z. Следовательно, 𝑠 = 11𝑚 + 3 = 11(8𝑙 + 6) + 3 = 88𝑙 + 69. Рассмотрим теперь уравнение 13𝑘 + 8 = 88𝑙 Или 13𝑘 = 88𝑙 + 61 Применим к этому уравнению алгоритм последовательного уменьшения модулей коэффициентов при неизвестных. Имеем: 1. 13k = 88l + 61 = (13 ⋅ 6 + 10)l +61 = 78l +10l +61, 13k – 78l = 10l +61 Левая часть последнего уравнения делится на 13. Следовательно, и правая часть должна делиться на 13, то есть 10l + 61 = 13p, 𝑝𝜖𝑍 . 2. 10l = 13p-61 = 10p + 3p – 6 , 10l -10p = 3p -61, 3p – 61 = 10q, q 𝜖𝑍 3. 3p = 10q + 61 = 10q +61 = 9q +q +61, 3p – 9q = q+61, q+61 = 3r, r𝜖𝑍, q + 3r - 61 10l = 13p -61 = 13(10r – 183) – 61 = 130r – 2379 – 61 = 130r – 2440, Вернёмся теперь к исходным переменным: 1.3p = 10q + 61 + 10(3r-61) +61 = 30r – 610 +61 = 30r -549, p = 10r -183 2. 10l = 13p -61 = 13(10r – 183) – 61 = 130r – 2379 – 61 = 130r – 2440, l = 13r – 244. 4. S = 88l + 69 = 88(13r -244) + 69 = 1144r – 21472 + 69 = 1144r - 21403 1144r -21403 < 500 1144r < 500 + 21403 1144r < 21903 𝑟 < 21903 1144 , r < 19 167 1144 При r = 19 имеем S = 1144 * 19 – 21403 = 21736 – 21403 = 333, при r = 18 имеем S = 1144*18 – 21403 = 20592 – 21403 = -811 - не является натуральным числом. Значит, в кладе было 333 монеты. Ответ: 333 монеты. o Целочисленность неизвестного обычно является дополнительным условием, позволяющим выбрать однозначно из некоторого множества значений, удовлетворяющим остальным условиям задачи. Уравнения с целочисленными коэффициентами и значениями неизвестных обычно называют диофантовыми. |