Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Конт раб 3. Контрольная работа 3 Дифференциальные уравнения Задача Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

• Название: Контрольная работа 3 Дифференциальные уравнения Задача Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка
• Анкор: Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка
• Дата: 23.12.2020
• Размер: 59.53 Kb.
• Имя файла: Конт раб 3.docx
• Тип: Контрольная работа; #163345

Контрольная работа № 3

Дифференциальные уравнения

Задача 1. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка.

7. y'ctgx + y=2 y(0)= -1

Решение

Решим уравнение ctg(x) + y(x) = 2 так, чтобы y(0) = -1

Решим :

= -(y(x) – 2) tg(x)

Упростим:

= (-y(x) + 2) tg(x)

Разделим обе стороны –y(x) + 2:

= tg(x)

Проинтегрируем обе части

dx =

-log(-y(x)+2) = -log(cos(x)) + , где произвольная постоянная

Решим y(x):

y(x) = - cos(x) + 2

Упростим произвольную константу:

y(x) = cos(x) + 2

Решим используя начальные условия:

Заменим y(0) = -1 на y(x) = cos(x) + 2:

+ 2 = -1

= -3

Заменим = -3 на y(x) = cos(x) + 2:

y(x) = -3 cos(x) + 2

Задача 2. Найти общее решение дифференциального уравнения высшего порядка, допускающее понижение порядка.

7. y= 2sin5x + 3

Решение

Решим = 2sin5x + 3

= dx = 3x - cos5x +

= dx = - sin5x + x + +

y(x) = dx = + cos5x + + +

Ответ: y(x) = + cos5x + + +

Задача 3. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

7. y'' + 3y' + 2y = 2 , y(0) = 1, y'(0) = -1

Решение

Решим + 3 + 2y(x) = 2 так, чтобы y(0) = 1 и y'(0) = -1

Общее решение будет суммой дополнительного решения и частного решения.

Найдем дополнительное решение:

+ 3 + 2y(x) = 0

Подставим y(x) = в дифференциальное уравнение:

( + 3 + 2 = 0

Заменим ( = и ( ) = :

+ 3 + 2 = 0

Исключим :

( + 3 + 2) = 0

Поскольку ≠ 0 для любой конечной , нули должны происходить от многочлена:

+ 3 + 2 = 0

( + 1)( + 2) = 0

Решение для

= -2 или = -1

Корень = -2 дает (x) = , где - произвольная постоянная.

Корень = -1 дает (x) =

Общее решение это сумма выше перечисленных решений:

y(x) = (x) + (x) = +

Определим частное решение + 3 + 2y(x) = 2 методом неопределенных коэффициентов

(x) =

Найдем неизвестную константу :

= ( ) = 2

= ( ) = 4

Подставим частное решение (x) в дифференциальное уравнение:

+ 3 + 2 (x) = 2

4 + 3(2 ) + 2( ) = 2

Упростим:

12 = 2

Приравняем коэффициенты в обеих частях уравнения:

12 = 2

=

Заменим на (x) = :

(x) =

y(x) = (x) + (x) = + +

Решим неизвестную константу, используя начальные условия

= ( + + ) = - 2 -

Заменим y(0) = 1 на y(x) = + +

+ + = 1

Заменим y'(0) = -1 на = - 2 -

-2 - + = -1

=

=

Заменим = и = на y(x) = + +

y(x) = ( + + 3)

Ответ: y(x) = ( + + 3)

Задача 4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле. Сделать чертѐж области интегрирования



Построим область интегрирования ограниченную кривыми
0≤y≤4, ≤x≤ , где
- парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вверх;
 - прямая, которая проходит через начало координат O(0;0).



x= -

x=

Найдем точки перечения:

x= =

= 0 ; = 4

= 0; = 32 -

Расставим пределы в заданной области:

D: 0≤ x ≤ 32 - , ≤ y ≤

Выполняем изменение порядка интегрирования

=