матем. 5176157 вар 5 исправ 15. Контрольная работа Дискретная математика и Теория вероятностей

• Название: Контрольная работа Дискретная математика и Теория вероятностей
• Анкор: матем
• Дата: 22.01.2023
• Размер: 0.76 Mb.
• Имя файла: 5176157 вар 5 исправ 15.doc
• Тип: Контрольная работа; #899018

Контрольная работа 4. Дискретная математика и Теория вероятностей

I. КОМБИНАТОРИКА и СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

01-09. С помощью диаграмм Эйлера-Венна проиллюстрировать справедливость алгебраических формул ( и – произвольные события):

05. .

Решение.

Проиллюстрируем по отдельности левую и правую части равенства диаграммами Эйлера-Венна.

События иллюстрируются закраской соответствующих зон:



«Отрицание» события иллюстрируется «обращением» закраски всех участков на исходной иллюстрации:



«Сложение» событий, завершающее иллюстрацию правой части равенства, показывается равноправным учётом любой (хотя бы одной) предшествующей штриховки на исходных иллюстрациях.



«Умножение» (наложение) иллюстрируется учётом только тех участков, которые одновременно закрашены на всех исходных иллюстрациях.



Для иллюстрации правой части равенства складываем и полученное произведение .



Так как иллюстрации идентичны и , равенство доказано.

15. Брошена игральная кость. Событие – выпадение НЕ менее 3-х очков, событие – выпадение четного числа очков. – выпадение более четырех очков. Указать множество элементарных результатов, благоприятных к этим событиям. Выразить через , и событие – выпадение более трех очков.

Решение.

1. Запишем элементарные исходы, благоприятные к указанным событиям:

= [не менее 3 очков] = {𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔}

= [четное количество очков] = {𝟐; 𝟒; 𝟔}

= [более 4 очков] = {𝟓; 𝟔}

= [выпадение более трех очков] = {4; 5; 6}

2. Рассмотрим искомое событие.

Так как событию благоприятствует несколько вариантов, ожидаем, что ответ будет получен отрицанием, умножением и сложением событий.

Рассмотрим данное событие и попробуем выполнить элементарные действия с указанными событиями:

{4; 6}

{5; 6}

Тогда желаемый состав элементарных результатов:



Ответ: выделено в тексте решения.

21-49. Решить задачи, применяя формулы комбинаторики и элементарной теории вероятностей.

25. Сколько разных шестибуквенных слов можно составить из набора букв {М, О, Л, О, К, О}?

Решение.

В слове «МОЛОКО» букв, причем буква «О» встречается 3 раза, остальные буквы встречаются один раз.

Используем формулу перестановок с повторениями:

.

Тогда получим:



Ответ: 120 разных шестибуквенных слов.

35. В цветочном магазине имеются пятнадцать роз, двадцать тюльпанов и десять гвоздик. Покупатель попросил составить букет из пяти наугад выбранных цветов. Какова вероятность, что в букете будет ровно три розы?

Решение.

Событие А – {в букете ровно три розы}.

По классическому определению вероятности, ,

где - общее число исходов испытания,

- число благоприятных исходов.

Общее число исходов испытания – число способов, которыми из 15+20+10=45 цветов можно выбрать 5.

Используя формулу сочетаний , получим:



Найдем число благоприятных исходов, т.е. число способов, которыми из 15 роз можно выбрать 3 и из оставшихся 30 цветов можно выбрать 5-3=2:



Так как безразлично, в какую подгруппу попадут юноши, то получим:



Ответ: 0,162.

45. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятности попаданий при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,6, 0,7, 0,9. Найти вероятность того, что в результате этих трёх выстрелов в мишени будет хотя бы одна пробоина.

Решение.
Событие А – {в мишени хотя бы одна пробоина}.

Пусть событие - попадание получено при первом, втором и третьем выстрелах соответственно, .

По условию, , , ,

тогда , ,

.

Так как события независимы, то используем формулу вероятности хотя бы одного события:



Ответ: 0,988.

51-59. Решить задачи с помощью «формулы полной вероятности» и «формулы Байеса».

55. Студент, заготовивший шпаргалку, будет сдавать экзамен с равной вероятностью одному из двух преподавателей. Первый обнаруживает шпаргалку с вероятностью – 0,9, второй – с вероятностью 0,8. Какова вероятность обнаружения шпаргалки? Какова вероятность того, что именно первый преподаватель выгнал студента с экзамена, если шпаргалка обнаружена?

Решение.

Событие - {шпаргалка обнаружена}.

Возможны гипотезы:

- студент сдавал экзамен первому преподавателю,

- студент сдавал экзамен второму преподавателю.

Экзамен сдается с равной вероятностью одному из двух преподавателей, тогда вероятности гипотез равны:



Контроль: .

По условию, вероятность события при каждой гипотезе равна:



Тогда по формуле полной вероятности получим:



Вероятность того, что первый преподаватель выгнал студента с экзамена, если шпаргалка обнаружена, (т.е. при гипотезе ), найдем, используя формулу Байеса:



Ответ: 0,85; 0,529.

61-69. Решить задачи с использованием формулы Бернулли.

65. В штате фирмы работают десять сотрудников, каждый из которых оказывается на рабочем месте в течение 65% всего рабочего времени. Каково наиболее ожидаемое количество сотрудников? Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени работают шесть сотрудников?

Решение.

1. Установим значения вероятностей частных успехов и неудач и формализуем условие:

, тогда .





,

2. Найдем наиболее ожидаемое число успехов при попытках всё угадать в тесте:



3. Воспользуемся формулой Бернулли для серии независимых испытаний с равной вероятностью успеха:

.

Получим:



Ответ: , .

II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

75. Величина может принимать только три значения: с вероятностью , с вероятностью и . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение . Изобразить график функции распределения вероятности . Найти вероятности того, что при единичном испытании примет (включая граничные) значение: от до ; от до ; от до .

Решение.

1. Найдем неуказанную в условии вероятность появления :

.

2. Составим ряд случайной величины :

	4	6	9
	0,6	0,1	0,3

3. Математическое ожидание.



4. Дисперсия (по определению).



Дисперсия (по расчетной формуле, для контроля):



Результаты совпадают.

5. Среднеквадратичное отклонение:

.

6. График функции распределения – накопительный.





7. В указанный диапазон значений не входит ни одно из возможных значений , поэтому .

Для контроля проверим по графику накопительной функции распределения, на сколько изменилась эта функция на указанном отрезке: , что подтверждает найденный результат.

В диапазон значений входят два возможных значения и с суммарной вероятностью

.

Для контроля проверим по графику накопительной функции распределения, на сколько изменилась эта функция на указанном отрезке: при .



Это подтверждает найденный результат.

В диапазон значений входят два возможных значения и с суммарной вероятностью

.

Для контроля проверим по графику накопительной функции распределения, на сколько изменилась эта функция на указанном отрезке: при .



Это подтверждает найденный результат.

Ответ: выделенные элементы и график в решении.

85. Величина распределена равномерно на интервале от до . Найти среднее значение (математическое ожидание), дисперсию и среднеквадратичное отклонение . Аналитически записать и изобразить графики функции плотности вероятности и функции распределения вероятности . Определить вероятности того, что при единичном испытании примет значение: от до ; от до ; от до .

Решение.

1. Математическое ожидание (по свойствам равномерно распределенной величины):



2. Дисперсия (по свойствам равномерно распределенной величины):



3. Среднеквадратичное отклонение:

.

4. График функции распределения –накопительный.





5. График функции плотности распределения.



6. С помощью накопительной функции распределения определим вероятности:



Ответ: выделенные элементы и графики в решении.

95. Величина распределена по показательному закону с параметром . Найти среднее значение (математическое ожидание), дисперсию и среднеквадратичное отклонение . Аналитически записать и изобразить графики функции плотности вероятности и функции распределения вероятности . Определить вероятность того, что при единичном испытании примет значение: от до ; от до ; от до .

Решение.

1. Математическое ожидание (по свойствам показательно распределенной величины):



2. Дисперсия (по свойствам показательно распределенной величины):



3. Среднеквадратичное отклонение:

.

4. График функции распределения –накопительный.

	0
	0

5. График функции плотности распределения.

	0

6. Вероятность того, что при единичном испытании примет значение от до :



Вероятность того, что при единичном испытании примет значение от до :



Вероятность того, что при единичном испытании примет значение от до :



Ответ: выделенные элементы и графики в решении.

105. Величина распределена по нормальному закону с параметрами и . Найти среднее значение (математическое ожидание), дисперсию и среднеквадратичное отклонение . Аналитически записать и изобразить графики функции плотности вероятности и функции распределения вероятности . Определить вероятности того, что при единичном испытании примет значение: от до ; от до ; от до .

Решение.

1. Математическое ожидание (по свойствам нормально распределенной величины):



2. Дисперсия (по свойствам нормально распределенной величины):



3. Среднеквадратичное отклонение:

.

4. График функции распределения (по свойствам нормально распределенной величины).

,

где .



5. График функции плотности распределения.

, где .

Прим.	Линия практически горизонтальна	Точки перегиба	максимум

6. Найдем вероятности:



Ответ: выделенные элементы и графики в решении.