Математика контрольная работа. Математика. Контрольная работа. Контрольная работа по дисциплине Математика. Вариант 4
 Скачать 79.99 Kb.
|
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Уральский государственный экономический университет Кафедра политической экономииКонтрольная работа по дисциплине: Математика. Вариант 4 Вариант № 4 1. Для изготовления двух видов компота ассорти используются слива, груша и яблоки. Общее количество фруктов: сливы - 75 кг, груши -55 кг, яблоки - 60 кг. На ассорти 1 вида идет каждого вида фруктов, соответственно 0; 1; 1,5 кг, на ассорти 2 вида, соответственно 0,5; 0,5; 0,5 кг. Найти план производства компотов ассорти, обеспечивающий максимальную прибыль, если прибыль от одной банки компота 1 вида равна 80 руб., для 2 вида - 30 руб. а) Записать математическую модель задачи. б) Решить задачу графическим методом Решение. Внесём исходные данные в таблицу.
а) Обозначим:  количество банок компота I вида, количество банок компота II вида. Составляем математическую модель по заданным условиям - задачу линейного программирования.  – общий расход сливы (кг), по условию должно выполняться:   – общий расход груши (кг), по условию должно выполняться:   – общий расход яблок (кг), по условию должно выполняться:  Общая прибыль от реализации компота:  , эту функцию нужно максимизировать при заданных ограничениях. Итак, математическая модель (включаем также условие неотрицательности переменных  и  ):   б) Решим задачу графическим методом. Для каждого неравенства в системе ограничений область решения – полуплоскость, лежащая по определённую сторону от соответствующей прямой. Строим прямую  - прямая параллельна оси  и проходит через точку (0; 150). Область решения неравенства  - это полуплоскость, лежащая ниже этой прямой.Строим прямую  по точкам (55; 0) и (0; 110). Область решения неравенства  - это полуплоскость, содержащая точку (0; 0), т.к. её координаты удовлетворяют неравенству.Строим прямую  по точкам (40; 0) и (0; 120). Область решения неравенства  - это полуплоскость, содержащая точку (0; 0), т.к. её координаты удовлетворяют неравенству.                    C BA AM O  Пересечение всех полуплоскостей с учётом  определяет область допустимых решений (ОДР). Видим, что это область 4-угольника OABC. Определим координаты вершин этого 4-угольника.Точка О – начало координат: О(0; 0). Точка А – точка пересечения прямой с осью  : A(0; 110).Точка B – точка пересечения прямых и   Точка C – точка пересечения прямой с осью : C(40; 0).Строим вектор градиента функции   Перпендикулярно ему через начало координат проводим линию уровня (пунктиром). Если двигать эту линию параллельно самой себе по направлению вектора , то точка, в которой линия выйдет из ОДР при этом движении, будет точкой максимума функции  .По графику видим, что это будет точка B. Но чтобы точно это определить, сравним по модулю угловые коэффициенты линии уровня и прямых AB и ВС. Угловой коэффициент линии уровня по модулю равен 8/3. Угловой коэффициент АВ по модулю равен 2 ( ), угловой коэффициент ВC по модулю равен 3 ( ). Видим, что по модулю угловой коэффициент линии уровня принимает значение между значениями модулей угловых коэффициентов АВ и ВС, значит выход из ОДР линии уровня произойдёт в точке В. Эта точка (её координаты) даёт решение задачи: Таким образом, план производства двух видов компотов ассорти, обеспечивающий максимальную прибыль: компота 1 вида выпускать 10 банок, компота 2 вида выпускать 90 банок. Тогда будет достигнута максимальная прибыль от реализации продукции, равная  2. Монета бросается до тех пор, пока не выпадает герб. Вычислить вероятность того, что опыт закончится на четвертом бросании. Обозначим события:    Событие  равно произведению событий  .Поскольку вероятность выпадения цифры при любом подбрасывании монеты равна  (как и вероятность выпадения герба), то вероятность события  равна: Вероятность события  – это есть условная вероятность  , поскольку событие может наступить только при наступлении события . Поскольку вероятность выпадения герба при любом подбрасывании монеты равна , то: Применяем теорему умножения вероятностей. Искомая вероятность того, что опыт закончится на четвертом бросании:  3. В прямоугольник с основанием 5см, высотой 10 см наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до точки пересечения диагоналей прямоугольника будет меньше 2 см.        Пусть ABCD – заданный прямоугольник, AB = 10см, AD = 5 см, O – точка пересечения диагоналей. Все точки, расстояния от которых до точки пересечения диагоналей прямоугольника – точки О - будет меньше 2 см, - это точки круга радиуса 2 с центром в точке О (без границы – окружности). Этот круг лежит целиком в прямоугольнике АВСD, поскольку точка О (центр прямоугольника) удалена от AD и BC на 5 см, а от AB и CD на 2,5 см (оба этих значения меньше радиуса круга). Площадь круга радиуса 2 равна  см2, площадь прямоугольника равна  см2. Поделив площадь круга на площадь прямоугольника, получим искомую вероятность того, что расстояние от поставленной наудачу точки до точки пересечения диагоналей прямоугольника будет меньше 2 см (в данной задаче это геометрическая вероятность): | ||||||||||||||||||||||||||||