Контрольная работа (41 вариант). Контрольная работа по курсу Прикладная механика
 Скачать 0.5 Mb.
|
|
Контрольная работа по курсу «Прикладная механика» (вариант 41) Задача №24, схема IV Трехступенчатый стальной брус, длины ступеней которого в миллиметрах указаны на рисунке 1, нагружен силами F1 и F2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв Е = 2 · 105 МН/м2. Числовые значения сил F1 и F2, а также площадей поперечных сечений ступеней А1, А2 и А3 приведены в таблице 1.  Рис. 1 Таблица 1 – Исходные данные
Решение: Для построения эпюр продольных сил разбиваем рассматриваемый брус на участки, границами которых являются сечения, к которым приложены внешние нагрузки. Представим это на рисунке 2.  Рис. 2 Проведем расчет методом отсечения участков, начиная от свободного конца. Определим продольные силы: N1 = – F1 = –9,9 кН N2 = –F1 + F2 = –9,9 + 22,7 = 12,8 кН Для построения эпюр нормальных напряжений, рассматриваемый брус разбивается на участки, на границе которых стыкуются участки разных диаметров. Представим это на рисунке 3.  Рис. 3 Нормальные напряжения определим по формулам: σ1 = N1 / A1 = –9900 / 180 = –55 Н/мм2 σ2 = N1 / A2 = –9900 / 320 = –30,9 Н/мм2 σ3 = N1 / A3 = –9900 / 350 = –28,3 Н/мм2 σ4 = N2 / A3 = 12800 / 350 = 36,5 Н/мм2 Знак минус нормального напряжения означает, что брус на данном участке испытывает сжатие. По полученным данным построим соответственно эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Для этого относительно базовой линии откладываем полученные значения, учитывая знак (рис. 4). Для удобства построения эпюры расположим брус горизонтально, тогда положительные значения будем откладывать выше, а отрицательные — ниже относительно базовой линии.  Рис. 4 Так как брус испытывает и сжатие, и растяжение, то происходит его укорочение и удлинение на характерных участках. Определение укорочения (удлинения) рассчитывается как алгебраическая сумма укорочений (удлинений) на каждом участке. Укорочение (удлинение) на отдельном участке определяется по формуле: ∆l = σ·l / E, где l – длина участка бруса, м; Е – модуль продольной упругости, Па. Коэффициент пропорциональности Е для сталей по условию задачи имеет значение Е = 2·105 МН/м2 или Е = 2·1011 Н/м2 = 2·105 Н/мм2. Нормальные напряжения нам известны, длины участков также, определяем укорочение (удлинение) на каждом участке: ∆l4 = σ4·150 / E = 36,5·150 / 2·105 = 0,027 мм ∆l3 = σ3·100 / E = –28,3·100 / 2·105 = –0,014 мм ∆l2 = σ2·250 / E = –30,9·250 / 2·105 = –0,038 мм ∆l1 = σ1·250 / E = –55·250 / 2·105 = –0,069 мм Знак минус означает, что первоначальная длина бруса на участке уменьшается, т.е. он сжимается, а знак плюс означает, что первоначальная длина бруса на участке увеличивается, т.е. он удлиняется. Определим полное укорочение (удлинение) бруса: ∆l = ∆l1 + ∆l2 + ∆l3 = –0,069 – 0,038 – 0,014 + 0,027 = –0,094 мм. В результате получили, что заданный брус сжимается по длине на 0,094 мм. Задача №70, схема IX Определить требуемый размер поперечного сечения стальных стержней (рис. 1), удерживающих в равновесии горизонтальный жесткий брус, шарнирно закрепленный одним концом, если [σ] = 160 МПа. Определив требуемое значение площади А, найти напряжения в поперечных сечениях обоих стержней. Исходные данные представлены в таблице 1.  Рис. 1 Таблица 1 – Исходные данные
Решение: Для определения поперечного сечения стальных стержней определим реакции этих стержней. Для этого условно покажем их направление (рис. 2).  Рис. 2 Здесь RB, RC — реакции стержней ВЕ и СF соответственно. У шарнирно-неподвижной опоры две реакции, но в нашем случае второй пренебрегаем, так как она направлена вдоль заданного бруса, а значит, равна нулю. Так как брус находится в равновесии, составим систему уравнений моментов сил относительно центров приведения В и С . ΣМВ(Fi) = 0 => М + 2,0·F – 1,4·RС = 0 ΣМС(Fi) = 0 => М + 3,4·F – 1,4·RВ = 0 Отсюда выражаем усилия, возникающие в стержнях от действия внешней нагрузки.   = 78,5 кН  = 124,5 кНПроведем проверку сил относительно оси Y: ΣFy = 0 => F – RВ + RС = 0 46 – 124,5 + 78,5 = 0 0 = 0 Реакции стержней определены правильно. Определяем требуемую площадь поперечного сечения стальных стержней по формуле: A = R / [σ] ABE = RB / [σ] = 124,5·103 / 160 = 778,125 мм2 = 7,78 см2 ACF = RC / [σ] = 78,5·103 / 160 = 490,625 мм2 = 4,9 см2 Зная требуемые значения площадей, определим расчетные напряжения в поперечных сечениях обоих стержней. Для этого по формуле Эйлера определим величину наибольшей допускаемой нагрузки: Fнд = π2·Е·Jmin / l2, где Jmin – минимальное значение момента инерции поперечного сечения стержня, мм4; Е – модуль продольной упругости (для сталей имеет табличное значение Е = 2,1·105 МПа); l – длина стержня, м. Jmin1 = (ABE)2 / 12 = (778,125)2 / 12 = 50,4·10-9 м4 Jmin2 = (ACF)2 / 12 = (490,625)2 / 12 = 20·10-9 м4 FBE = π2·Е·Jmin1 / (lBE)2 = 3,142·2,1·105·106·50,4·10-9 / 1,52 = 46379 Н FCF = π2·Е·Jmin2 / (lCF)2 = 3,142·2,1·105·106·20·10-9 / 0,82 = 64703 Н Расчетные напряжения стержней: σВЕ = FBE / ABE = 46379 / 778,125 = 59,6 МПа σCF = FCF / ACF = 64703 / 490,625 = 131,8 МПа Задача №14, схема XIV Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, форма и размеры которой в миллиметрах показаны на рисунке 1. Исходные данные представлены в таблице 1.  Рис. 1 Таблица 1 – Исходные данные
Решение: Для определения центра тяжести сечения геометрической фигуры разобьем сложную фигуру на более простые и определим в каждой из этих фигур центр тяжести, чтобы впоследствии можно было воспользоваться формулой для нахождения координат центра тяжести заданной фигуры: xc = Σ(Ai·xi) / Σ(Ai) yc = Σ(Ai·yi) / Σ(Ai) где Аi – площадь сечения, входящего в состав фигуры, см2. Разобьем фигуру так, как показано на рисунке 2 и проведем вспомогательные оси x0 и y0.  Рис. 2 Зная, что центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его меридиан, а центр тяжести прямоугольника в точке пересечения его диагоналей, определяем центр тяжести всех составных фигур. Не сложно определить, что координаты центров С1, С2 и С3 будут равны: xC1 = 130 мм = 13 см, yC1 = b– 200 + 200/2 = 430– 200 + 200/2 = 330 мм = 33 см; xC2 = 130 + 40 = 170 мм = 17 см, yC2 = 430– 200 + 80 + (200 – 80)/2 = 90 мм = 9 см; xC3 = 260 + 80 + (540 – 260 – 80)/2 = 440 мм = 44 см, yC3 = yC1 = 330 мм = 33 см; Для определения координат центра тяжести С4 воспользуемся формулой: xC4 = (xА1 + xB1 +xD1) / 3, yC4 = (yА1 + yB1 +yD1) / 3; где xА1, yА1; xB1, yB1; xD1, yD1 – координаты вершин треугольника. Определим координаты вершин треугольников из рисунка 3.  Рис. 3 Координаты вершин треугольника будут следующими: xА1 = 260 мм = 26 см, yА1 = 430 – 200 = 230 мм = 23 см; xB1 = 540 мм = 54 см, yB1 = yА1 = 230 мм = 23 см; xD1 = xB1 = 540 мм = 54 см, yD1 = 0; Теперь определяем координаты центра тяжести С4: xC4 = (26 + 54 + 54) / 3 = 44,6 см, yC4 = (23 + 23 + 0) / 3 = 15,3 см Определим площади сечений составных фигур. Площади прямоугольников будут равны: А1 = 26 · 20 = 520 см2, А2 = 12 · 8 = 96 см2, А3 = 20 · 20 = 400 см2, Площадь прямоугольного треугольника определим по формуле: А4 = ½ · а · h = ½ · 23 · 28 = 322 см2 Теперь зная координаты центров тяжести всех сечений и их площади, определим координаты центра тяжести сечения составной фигуры: xc = (A1·xС1 + A2·xС2 + A3·xС3 + A4·xС4) / (A1 + A2 + A3 + A4) xc = (520·13 + 96·17 + 400·44 + 322·44,6) / (520 + 96 + 400 + 322) = 30,16 см yc = (A1·yС1 + A2·yС2 + A3·yС3 + A4·yС4) / (A1 + A2 + A3 + A4) yc = (520·33 + 96·9 + 400·33 + 322·15,3) / (520 + 96 + 400 + 322) = 27 см Таким образом центр тяжести фигуры находится в точке С (xc; yc) = (301,6; 270) относительно вспомогательных координатных осей x0 и y0. Задача №14, схема XIV Для двухопорной балки (рис. 1) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и подобрать необходимый размер d сечения деревянной балки, составленной из двух круглых брусьев. Для дерева [σ] = 10 МПа = 10 Н/мм2. Необходимые исходные данные приведены в таблице 1.  Рис. 1 Таблица 1 – Исходные данные
Решение: Изгиб прямых брусьев вызывается парами сил или силами перпендикулярными к его продольной оси. При таком виде деформации в поперечном сечении тела (балки) возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила QX и изгибающий момент Ми. Поперечная сила равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения: Qy = ΣFi Изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов сил по одну сторону от рассматриваемого сечения: Ми = Σ М0(Fi) Для построения эпюр сначала необходимо определить реакции опор балки. В нашем случае балка расположена на двух опорах, шарнирно подвижной и шарнирно неподвижной, условно покажем направление их реакций на рисунке 2. Если реакция получится со знаком минус, то это будет означать, что мы не угадали её направление, т.е. сила в действительности будет направлена в обратную сторону.  Рис. 2 В шарнирно неподвижной опоре D возникают две реакции, но второй пренебрегаем, так как в наших расчетах она равна нулю, потому что направление вектора совпадает с осью балки и пересекается с центрами опор: ΣFx = 0 => RDx = 0. Для определения реакций опор балки RB, RD составим систему уравнений моментов относительно опоры B и D. ΣМB(Fi) = 0 => –2,0·F2 – 5,0·RD + 2,6·F1 + M = 0 ΣМD(Fi) = 0 => –2,4·F1 + М + 5,0·RB – 7,0·F2 = 0 Отсюда находим реакции опор: RD = (–2,0·F2 + 2,6·F1 + M) / 5,0 = (–2,0·22,7 + 2,6·9,9 + 1,8) / 5,0 = –3,57 кН RB = (2,4·F1 – М + 7,0·F2) / 5,0 = (2,4·9,9 – 1,8 + 7,0·22,7) / 5,0 = 36,17 кН Знак минус реакции опоры RD означает, что мы не угадали ее направление, т.е. сила в действительности направлена в обратную сторону, как показано на рисунке 3.  Рис. 3 Проведем проверку по алгебраической сумме проекций всех внешних сил на ось перпендикулярную балке: –RD + RВ – F2 – F1 = 0 –3,57 + 36,17 – 22,7 – 9,9 = 0 0 = 0 Реакции опор определены правильно. Для построения эпюры поперечных сил в соответствии с местом приложения нагрузок — пары сил с моментом М, сосредоточенных сил F1, F2 и реакций опор RD, RВ, разделим балку на три участка: I, II, III (рис. 4). Так как все участки балки свободны от распределенной нагрузки, то поперечные силы на каждом участке постоянны и эпюра Qy изобразится прямыми линиями, параллельными базовой линии.  Рис. 4 Определим значения поперечных сил на каждом участке, применяя метод сечения начиная от правого конца балки. QyIII = RD = 3,57 кН; QyII = F1 + RD = 9,9 + 3,57 = 13,47 кН; QyI = F1 + RD – RВ = 9,9 + 3,57 – 36,17 = –22,7 кН. По полученным данным строим эпюру Qy (рис. 5).  Рис. 5 Для построения эпюры изгибающих моментов Ми, применяя метод сечений, вычислим значения изгибающих моментов в характерных точках. При этом можно рассматривать равновесие как левой, так и правой отсеченной части — результаты будут одинаковы. МА = 0; МВ = –2,0·F2 = –2,0·22,7 = –45,4 кН·м; МСслева = –4,6·F2 + 2,6·RB = –4,6·22,7 + 2,6·36,17 = –10,38 кН·м; МСсправа = –4,6·F2 + 2,6·RB + М = –4,6·22,7 + 2,6·36,17 + 1,8 = –8,58 кН·м; МD = –7,0·F2 + 5,0·RB + М – 2,4·F1 = –7,0·22,7 + 5,0·36,17 + 1,8 – 2,4·9,9 = 0; По полученным данным строим эпюру Ми (рис. 6).  Рис. 6 Рассматривая эпюры и нагрузки на балку с точки зрения общих правил построения эпюр, видим, что построенные эпюры не содержат принципиальных ошибок. Например, там где Q < 0 (участок I), момент Ми убывает; где Q > 0 (участок II и III), изгибающий момент возрастает. На эпюре Q в сечениях, где приложены силы и реакции, имеет место скачок, равный значению этой силы, а на эпюре Ми — излом, острие которого направлено против действия силы. В сечении С, где приложена пара сил, на эпюре Ми наблюдается скачок, равный моменту этой пары, а в эпюре Q нет никаких изменений. Из условия прочности на изгиб через наибольший изгибающий момент в сечении балки определим её диметр, выразив его из формулы условия прочности: σ = |Миmax| / Wx ≤ [σ], где Wx = 0,1·d3 отсюда d ≥  ,Исходя из условия задачи, заданная балка состоит из двух брусьев, поэтому выражение примет вид: d ≥  ,d ≥  = 283 ммМы получили, что диаметр одного бруса составной балки для данного условия прочности не должен быть меньше 283 мм. Задача №71, схема I Для двухопорной балки, нагруженной как показано на рисунке 1, определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и подобрать необходимый размер поперечного сечения (двутавр), приняв [σ] = 160 Н/мм2. Необходимые исходные данные приведены в таблице 1.  Рис. 1 Таблица 1 – Исходные данные
Решение: Для построения эпюр внутренних силовых факторов необходимо определить реакции связей. В данной задаче будем рассматривать плоскую систему произвольно-расположенных сил. Так как по условию задачи имеем одну шарнирно-подвижную опору и одну шарнирно-неподвижную, то на первую будет действовать одна реакция, а на вторую две реакции опоры. Условно покажем реакции опор, действующих на балку, на координатной плоскости и определим их значения исходя из условия, что поперечная сила равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения: Qy = ΣFi Изгибающий момент численно равен алгебраической сумме моментов сил по одну сторону от рассматриваемого сечения: Ми = Σ М0(Fi) Как мы отметили, в шарнирно неподвижной опоре возникают две реакции, но второй пренебрегаем, так как в наших расчетах она равна нулю, потому что направление вектора совпадает с осью балки и пересекается с центрами опор: ΣFx = 0 => RAx = 0 (рис. 2).  Рис. 2 Для определения реакций опор балки RА, RD составим систему уравнений моментов сил относительно опор А и D, учитывая, что на балку действует распределенная нагрузка q. Если расчетные силы получатся со знаком минус, то это означает, что действительное направление вектора силы будет в обратную сторону. ΣМА(Fi) = 0 => 3·q·3/2 + 4·F – 5·RD + М = 0 ΣМD(Fi) = 0 => –1·F – 3·q·3,5 + 5·RA + М = 0 Отсюда определяем реакции опор: RD = (3·q·3/2 + 4·F + М) / 5 = (3·20·3/2 + 4·50 + 30) / 5 = 64 кН RA = (1·F + 3·q·3,5 – М) / 5 = (1·50 + 3·20·3,5 – 30) / 5 = 46 кН Проведем проверку по алгебраической сумме проекций всех внешних сил на ось перпендикулярную балке: RA – 3·q – F + RD = 0 46 – 3·20 – 50 + 64 = 0 0 = 0 Реакции опор определены правильно. Для построения эпюры поперечных сил в соответствии с местом приложения нагрузок разделим балку на три участка: I, II, III (рис. 3). Балка имеет участок с равномерно распределенной нагрузкой, следовательно, значение поперечной силы будет изменяться по линейному закону и ее эпюра изобразится наклонным отрезком прямой, а на эпюре изгибающих моментов изобразится дугой параболы. На участке балки свободном от распределенной нагрузки поперечная сила постоянна и эпюра Qy изобразится прямой, параллельной базовой линии.  Рис. 3 Определим значения поперечных сил Qy на каждом участке, применяя метод сечения. QyIII = –RD = –64 кН; QyII = –RD + F = –64 + 50 = –14 кН; QyI = –RD + F + x·q, где 0 ≤ x ≤ 3 при x = 0: QyI = –64 + 50 + 0·20 = –14 кН; при x = 3: QyI = –64 + 50 + 3·20 = 46 кН; По полученным данным строим эпюру Qy (рис. 4).  Рис. 4 Для построения эпюры изгибающих моментов Ми, применяя метод сечений, вычислим значения изгибающих моментов в характерных точках. При этом можно рассматривать равновесие как левой, так и правой отсеченной части — результаты будут одинаковы. МАслева = 0; МАсправа = М = 30 кН·м; МВ = 3·RA – 3·q·3/2 + M = 3·46 – 3·20·3/2 + 30 = 78 кН·м; МС = 4·RA – 3·q·2,5 + M = 4·46 – 3·20·2,5 + 30 = 64 кН·м; МD = 5·RA – 3·q·3,5 + M – 1·F = 5·46 – 3·20·3,5 + 30 – 1·50 = 0 Как видим на участке с равномерно распределенной нагрузкой эпюра поперечной силы наклонной прямой пересекает нулевую ось. Положение сечения, где Qy = 0, необходимо определить, так как исходя из дифференциальной зависимости изгибающего момента от поперечной силы dMи/dx = Q в сечении, где поперечная сила изменяет знак, переходя от Qy > 0 к Qy < 0, изгибающий момент достигает максимального значения. Для определения точки наибольшего изгибающего момента необходимо решить уравнение QyI = –RD + F + x·q = 0, так как именно на участке I эпюра поперечной силы пересекает базовую линию: x = (RD – F) / q x = (64 – 50) / 20 = 0,7 м Так как при вычислении поперечных сил методом сечения мы отсекали балку справа налево, то найденное значение x — это расстояние от точки B, на которое отстоит сечение Е, в котором Qy = 0 (рис. 5).  Рис. 5 Исходя из этого, определим изгибающий момент в экстремальном сечении, рассматривая левую отсеченную часть балки и правую для подтверждения правильности построения эпюры Ми: МЕслева = 2,3·RA – 2,3·q·2,3/2 + M = 2,3·46 – 2,3·20·2,3/2 + 30 = 82,9 кН·м; МЕсправа = 2,7·RD + 0,7·q·0,7/2 + 1,7·F = 2,7·64 – 0,7·20·0,7/2 – 1,7·50 = 82,9 кН·м; Совпадение значений МЕ подтверждает правильность расчета. Изгибающий момент есть квадратичная функция от x, поэтому на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изгибающего момента изображается параболой, выпуклость которой обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки; при этом на участке, где Q > 0 (AЕ), изгибающий момент возрастает, если Q < 0 (ЕВ), изгибающий момент убывает (рис. 6).  Рис. 6 Из условия прочности на изгиб через наибольший изгибающий момент в сечении балки определим необходимые размеры поперечного сечения двутавра для заданной балки. Из эпюры Ми следует, что в опасном сечении Ми = 82,9 кН·м = 82,9·103 Н·м. Приняв по условию задачи [σ] = 160 Н/мм2, по формуле находим необходимое значение момента сопротивления сечения при изгибе: Wи ≥ Миmax / [σ], Wи ≥ 82,9·103 / 160·106 = 0,000518 м3 = 518 см3. В соответствии с ГОСТ 8239-89 требуемому значению момента сопротивления соответствуют двутавр №33 с Wи = 597 см3, показанному на рисунке 7 [2, приложение 1]. Площадь поперечного сечения этого двутавра 53,8 см2, высота h = 330 мм, ширина полки b = 140 мм, толщина стенки s = 7,0 мм, средняя толщина полки t = 11,2 мм. Масса 1 м двутавра составляет 42,2 кг.  Рис. 7 Задача №29, схема IX Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами (рис. 1), передающего мощность Р, кВт, при угловой скорости ω, рад/с: а) определить вертикальные и горизонтальные составляющие реакций подшипников; б) построить эпюру крутящих моментов; в) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; г) определить диаметр d вала, приняв [σ] = 70 МПа и полагая Fr1 = 0,4·Ft1, Fr2 = 0,4·Ft2. Расчет производить по гипотезе наибольших касательных напряжений. Числовые значения мощности Р и угловой скорости ω представлены в таблице 1.  Рис. 1 Таблица 1 – Исходные данные
Решение: Для нахождения реакций опор составим расчетную схему вала. Обозначим точки опор и действующие на вал реакции опор в вертикальной и горизонтальной плоскости (рис. 2).  Рис. 2 Определим вращающий момент М1, приложенный к левому концу вала: М1 = Р / ω М1 = 46·103 / 18 = 2,55 кН·м Учитывая, что момент М1 в точке С равен: М1 = Ft1·(D2/2), определим касательную силу Ft1: Ft1 = 2·М1 / D2 Ft1 = 2·2,55 / 0,12 = 42,5 кН Радиальную силу определим из условия задачи: Fr1 = 0,4·Ft1 Fr1 = 0,4·42,5 = 17 кН Так как вал передает мощность Р при угловой скорости вращения ω на протяжении всего участка, то в любом сечении на этом участке крутящий момент будет иметь одинаковое значение. Исходя из этого получаем равенство моментов М1 = М2. Отсюда определим касательную силу Ft2: М2 = М1 = Ft2·(D1/2) Ft2 = 2·М1 / D1 Ft2 = 2·2,55 / 0,36 = 14,16 кН Радиальную силу определим из условия задачи: Fr2 = 0,4·Ft2 Fr2 = 0,4·14,16 = 5,6 кН Определим реакции опор Ray и Rby, исходя из условия ΣМА(Fy) = 0; ΣМB(Fy) = 0: ΣМА(Fy) => –0,3·Rby + 0,1·Fr1 + 0,42·Fr2 = 0 => ΣМB(Fy) => 0,3·Ray – 0,2·Fr1 + 0,12·Fr2 = 0 => Отсюда получаем: Rby = (0,1·Fr1 + 0,42·Fr2) / 0,3 Rby = (0,1·17 + 0,42·5,6) / 0,3 = 13,5 кН Ray = (0,2·Fr1 – 0,12·Fr2) / 0,3 Ray = (0,2·17 – 0,12·5,6) / 0,3 = 9,1 кН Для проверки правильности найденных реакций составим уравнение, исходя из условия ΣFy = 0: Ray + Rby – Fr1 – Fr2 = 0 9,1 + 13,5 – 17 – 5,6 = 0 0 = 0 Реакции определены правильно. Определим реакции опор Raz и Rbz, исходя из условия ΣМА(Fz) = 0; ΣМB(Fz) = 0: ΣМА(Fz) => –0,3·Rbz – 0,42·Ft2 + 0,1·Ft1 = 0 => ΣМB(Fz) => 0,3·Raz – 0,2·Ft1 – 0,12·Ft2 = 0 => Отсюда получаем: Rbz = (–0,42·Ft2 + 0,1·Ft1) / 0,3 Rbz = (–0,42·14,16 + 0,1·42,5) / 0,3 = –5,66 кН Raz = (0,2·Ft1 + 0,12·Ft2) / 0,3 Raz = (0,2·42,5 + 0,12·14,16) / 0,3 = 34 кН Реакция Rbz получилась со знаком минус. Это значит, что её вектор силы направлен в противоположную сторону от выбранного нами направления. Для проверки правильности найденных реакций составим уравнение, исходя из условия ΣFz = 0: Raz + Rbz + Ft2 – Ft1 = 0 34 + (–5,66) + 14,16 – 42,5 = 0 0 = 0 Реакции определены правильно. На участке от правого зубчатого колеса до левого вал скручивается моментом М2. Следовательно, в любом сечении на этом участке крутящий момент МК = |М2| = 2,55 кН·м и эпюра крутящих моментов отобразится следующим образом (рис. 3):  Рис. 3 Под действием сил Ray, Rby, Fr1, Fr2 вал изгибается на участке AD в вертикальной плоскости. Определим изгибающие моменты в характерных точках: МА = 0; МС = 0,1·Ray = 0,1·9,1 = 0,91 кН·м; МВ = 0,3·Ray – 0,2·Fr1 = 0,3·9,1 – 0,2·17 = –0,67 кН·м; МD = 0,42·Ray – 0,32·Fr1 + 0,12·Rby = 0,42·9,1 – 0,32·17 + 0,12·13,5 = 3,822 – 5,44 + 1,62 = 0 По полученным данным строим эпюру МZ.  Рис. 4 Под действием сил Raz, Rbz, Ft1, Ft2 вал изгибается на том же участке AD, но в горизонтальной плоскости. Определим изгибающие моменты в характерных точках: МА = 0; МС = 0,1·Raz = 0,1·34 = 3,4 кН·м; МВ = 0,3·Raz – 0,2·Ft1 = 0,3·34 – 0,2·42,5 = 1,7 кН·м; МD = 0,42·Raz – 0,32·Ft1 + 0,12·Rbz = 0,42·34 – 0,32·42,5 + 0,12·(–5,66) = 14,28 – 13,6 – 0,68 = 0; По полученным данным строим эпюру МY.  Рис. 5 Применяя третью гипотезу прочности (наибольших касательных напряжений), определяем эквивалентный момент МЭКВ в опасном сечении вала по формуле: МЭКВ =  МЭКВ =  = 4,35 кН·мИз условия прочности, принимая [σ] = 70 МПа = 70 Н/мм2 (для самого жесткого случая), находим требуемый момент сопротивления вала: WOC = МЭКВ / [σ] WOC = 4,35·106 / 70 = 62142,85 мм3 Из формулы момента сопротивления для круглого сечения находим диаметр вала: d =  d =  = 85,8 ммЗадача №25, схема I Проверить на устойчивость сжатую стойку (рис. 1), если [Sy] = 3,5. Данные для решения приведены в таблице 1. Размеры сечений стойки даны в миллиметрах.  Рис. 1 Таблица 1 – Исходные данные
Решение: Для того, чтобы проверить на устойчивость сжатую стойку, необходимо определить допускаемое значение сжимающей силы по формуле F = Fкр / [Sy], где Fкр – это максимальная сжимающая нагрузка, при которой стержень уже теряет устойчивость, а [Sy] – коэффициент запаса на устойчивость. По формуле Эйлера имеем: Fкр = π2·Е·Jmin / (μ·l)2, где Е – модуль продольной упругости материала (для чугуна Е = 0,75·105 МПа); Jmin – минимальное значение осевого момента инерции поперечного сечения стержня; μ – коэффициент приведения длины (способ закрепления концов стержня); l – длина стержня или балки, м. Определим момент инерции прямоугольного сечения по условию задачи по формуле: Jmin = J = b·h3/12 = 3430000 мм4 = 343·10-8 м4 Для нашего случая закрепления стержня (один конец заделан жестко, другой свободный) коэффициент μ = 2. Определяем значение критической силы: Fкр = (3,142·0,75·1011·343·10-8) / (2·42) = 39631 Н = 39,6 кН. Из формулы действительного коэффициента запаса прочности определяем допускаемое значение сжимающей силы: F = Fкр / [Sy] F = 39,6/3,5 = 11,3 кН Получили, что допускаемая нагрузка, которую может выдержать стержень, равна Fadm = 11,3 кН. |