Озз. Занятие 1. Корреляционный анализ (1). Корреляционный анализ

• Название: Корреляционный анализ
• Дата: 15.05.2023
• Размер: 37.7 Kb.
• Имя файла: Занятие 1. Корреляционный анализ (1).docx
• Тип: Контрольные вопросы; #1130644

Корреляционный анализ
В результате изучения темы студент должен:

знать

- формы (виды) связей между процессами и явлениями в природе и обществе;

- сущность корреляционной связи, её виды по направлению и силе;

- методику вычисления коэффициента корреляции по методу квадратов (Пирсона) и рангов (Спирмена), ошибки и достоверности коэффициентов корреляции;

уметь

- рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона);

- рассчитать коэффициент корреляции по методу рангов (Спирмена);

- определить направление и силу корреляционной связи;

- рассчитать ошибку и достоверность коэффициента корреляции.
Контрольные вопросы

1. Какие формы (виды) связей между процессами и явлениями существуют в природе и обществе?

2. Что такое функциональная связь, и для каких явлений она характерна?

3. Что такое корреляционная связь, и для каких явлений она характерна?

4. Что понимается под прямой и обратной корреляционной связью?

5. Каким образом оценивается сила корреляционной связи между явлениями?

6. Какие существуют методы вычисления коэффициента корреляции?
Логическая структура темы: Корреляционный анализ (приложение 7).
Задача-эталон

Исходные данные

Таблица 1

Температура тела и частота пульса

t тела (x)	Частота пульса (y)
36	60
36	65
36	70
38	80
40	90
40	100

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.


Решение
1. Метод квадратов (Пирсона)

Таблица 2

t тела (x)	Частота пульса (y)	dx	dy	dxdy	dx2	dy2
1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.
36	60	–1,7	–17,5	29,75	2,89	306,25
36	65	–1,7	–12,5	21,25	2,89	156,25
36	70	–1,7	–7,5	12,75	2,89	56,25
38	80	+0,3	+2,5	0,75	0,09	6,25
40	90	+2,3	+12,5	28,75	5,29	156,25
40	100	+2,3	+22,5	51,75	5,29	506,25
x = 226 Mx=37,67	y = 465 My=77,5			 = 145,0	 = 19,34	 = 1187,5

1) определяем средние величины (средние арифметические) для двух вариационных рядов (температуры тела и частоты пульса) – графы 1 и 2:

226 465

Mx = ------- = 37,7 My = ------- = 77,5

6 6

2) находим d – отклонение каждой варианты от средней величины для ряда x (d_x = x – M_x) и для ряда y (d_y = y – M_y). Полученные результаты заносим в таблицу 2 (графы 3 и 4).

3) вычисляем произведение отклонений каждой варианты от средней величины (d_x  d_y) и его суммируем ( d_xd_y ); полученные результаты заносим в таблицу 2 (графа 5).

4) каждое отклонение (d_x и d_y) возводим в квадрат и суммируем по ряду x – d_x² и по ряду y – d_y². Полученные результаты заносим в таблицу (графы 6 и 7).

5) рассчитываем коэффициент корреляции (r_xy) по формуле:

d_х х d_y

r_xy = ------------------, подставив в неё полученные результаты из таблицы 2:

 d_x² x d_y²
 d_xxd_y 145,0 145,03 145,03

r_xy = ----------------- = ---------------------- = ------------- = ------------ = +0,96

d_x²xd_y² 19,34 х 1187,5 22966,25 151,55
6) рассчитываем ошибку коэффициента корреляции (m_rxy) по формуле:
1- r_xy² 1 – 0,96² 1 – 0,92 0,08

m_rxy = ---------- = ------------ = ------------ = -------- =  0,04

√ n – 1 √ 6 – 1 √ 5 2,24
7) рассчитываем достоверность коэффициента корреляции (t) по формуле:

r_xy 0,96

t = ------ = --------- = 24,0

m_r 0,04


Вывод

Между температурой тела и частотой пульса существует прямая и сильная корреляционная связь, так как коэффициент корреляции равен +0,96. Коэффициент корреляции достоверен (р > 99 %), так как утроенная ошибка, равная 0,04, меньше коэффициента корреляции.*
*С достаточной для медико-социальных исследований надежностью о наличии той или иной степени связи можно утверждать только тогда, когда величина коэффициента корреляции превышает или равняется величине трёх своих ошибок (r _xy  3m_r).
2. Метод рангов (Спирмена)

Таблица 3

to тела (х)	Частота пульса (у)	Порядковый номер – ранги		Разность рангов (d)	d2
		х’	у’
1.	2.	3.	4.	5.	6.
36	60	2	1	+1	1
36	65	2	2	0	0
36	70	2	3	-1	1
38	80	4	4	0	0
40	90	5,5	5	+0,5	0,25
40	100	5,5	6	-0,5	0,25
					 = 2,5

1. Для рассчёта коэффициента методом рангов определяем порядковый номер (ранг) вариант, который cоответствует каждому значению температуры тела и частоты пульса (таблица 3).

При обозначении ранга (порядкового номера) варианты, ранжировать начинают с её меньшего значения в обоих рядах (графы 3 и 4).

Если варианты имеют одинаковое значение (температура тела 36^o и 40^o), то ранги распределяются следующим образом: температура тела 36^o встречается трижды, занимая 1-е, 2-е и 3-е места, следовательно, порядковые номера в этом случае будут равны средней арифметической, занимаемых этими значениями температуры мест (1+2+3) / 3 = 2, т.е. против каждого показателя температуры 36^o будет проставлен ранг 2. Для температуры тела 38^о ранг равен – 4. Ранги для температуры тела 40^o будут равны (5+6) / 2 = 5,5.
2. Определяем разность между рангами (d) по каждой строке – графа 5, возводим её в квадрат (d²) и находим сумму () – графа 6.
3. Коэффициент ранговой корреляции определяем по формуле:

6 х d²

_ху = 1 – ----------- , подставив в неё полученные результаты из таблицы 3:

n(n²–1)

6 х 2,5 15 15

_ху= 1 – ----------- = 1 – ----------- = 1 – --------- = 1 – 0,07 = +0,93

6(6²- 1) 6(36-1) 210
4. Рассчитываем ошибку коэффициента корреляции (m_ху) по формуле:

1-_ху² 1 – 0,93² 1 – 0,86 0,14 0,14

m_ху =  --------- =  ------------ = ----------- = --------- = ----------- =  0,063

√ n – 1 √6 – 1 √ 5 √ 5 2,24

5. Рассчитываем достоверность коэффициента корреляции (t) по формуле:

_xy 0,93

t = ------ = --------- = 14,8

m_ху 0,063



Вывод

Коэффициент корреляции равный + 0,93 позволяет заключить о наличии прямой и сильной связи между температурой тела и частотой пульса. Утроенная ошибка, равная  0,063 меньше коэффициента корреляции, следовательно коэффициент корреляции достоверен (р > 99%).
Задачи для самостоятельного решения
Задачи для студентов, обучающихся по программам специалитета 31.05.01 Лечебное дело, 31.05.02 Педиатрия, 31.05.03 Стоматология, программе бакалавриата 34.03.01 Сестринское дело
Задача 1

Исходные данные
Уровень молочной кислоты в крови и длительность охлаждения организма

Дни охлаждения (х)	Молочная кислота, в мг% (у)
1	7,0
2	7,0
3	7,2
4	7,1
5	8,5
6	8,9
7	8,7
8	9,0
9	9,5
10	9,3

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 2

Исходные данные
Средняя температура сезона и заболеваемость дизентерией

Годы	Средняя температура сезона, С о (х)	Заболеваемость дизентерией в условн. ед. (у)
2009	14,3	88
2010	15,0	77
2011	14,6	60
2012	13,2	67
2013	15,2	117
2014	15,0	67
2015	14,1	68
2016	13,2	59
2017	17,7	31
2018	14,8	70
2019	17,8	75

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 3

Исходные данные
Уровни систолического и диастолического давления (в мм рт. ст.) у 9 здоровых юношей в возрасте 18 лет

Систолическое давление (х)	Диастолическое давление (у)
105	65
115	70
115	65
110	65
110	70
120	75
120	75
120	70
125	75

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 4

Исходные данные
Результаты измерения длины и массы тела студентов в возрасте 20 лет

Длина тела, см (х)	Масса тела, кг (у)
157	56
158	55
160	57
165	57
167	58
162	60
171	63
174	65
168	67
176	72
170	79
180	82

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.

Задача 5

Исходные данные
Частота пульса у студентов до и после экзаменов

Порядковый номер студента	Частота пульса до экзаменов (х)	Частота пульса после экзаменов (у)
1	96	80
2	104	88
3	76	56
4	108	106
5	88	76
6	98	90
7	100	92
8	105	95

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 6

Исходные данные
Возраст матери и количество грудного молока

Возраст матери, годы (х)	Количество молока, г (у)
15	110
18	110
21	115
24	110
27	105
30	90
33	95
39	90
39	85
42	80

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 7

Исходные данные
Длина и масса тела у девочек в возрасте 5 лет

Длина тела, см (х)	Масса тела, кг (у)
87	13
95	14
115	20
89	12
90	14
90	15
101	17
95	15
110	18
110	21
88	14
93	16

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.

Задача 8

Исходные данные
Частота раннего прикорма и желудочно-кишечных инфекций у детей в возрасте до 1 года

Районы	Частота раннего прикорма (на 100 детей до 1 года)	Заболеваемость желудочно-кишечными инфекциями (на 100 детей до 1 года)
А	8,0	15,0
Б	12,0	20,0
В	16,0	30,0
Г	20,0	25,0
Д	25,0	35,0
Е	24,0	34,0
Ж	24,0	35,0
З	28,0	38,0

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 9

Исходные данные
Длина и масса тела у новорожденных детей

Длина тела, см (х)	Масса тела, кг (у)
35	4,5
48	3,6
52	4,1
50	4,0
47	3,2
53	3,8
52	3,9
50	3,9
51	4,0
54	4,3

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 10

Исходные данные
Длина и масса тела девочек в возрасте 6 лет

Длина тела, см (х)	Масса тела, кг (у)
95	15
93	14
98	15
108	19
106	16
101	15
110	16
105	15
107	17
112	21

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 11

Исходные данные
Длина и масса тела у 9 девочек в возрасте 8 лет

Длина тела, см (х)	Масса тела, кг (у)
106	18
110	19
114	21
120	22
122	22
126	24
127	24
128	25
128	25

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.
Задача 12

Исходные данные
Активность щелочной фосфатазы лейкоцитов (ФАЛ) и день начала острого нарушения коронарного кровообращения

ФАЛ в услов. ед. (х)	Дни от начала приступа (у)
100	1
125	2
125	3
160	4
200	5
215	6
215	7

Задание

На основании исходных данных:

1) рассчитать коэффициент корреляции по методу квадратов (Пирсона) и методу рангов (Спирмена);

2) определить направление и силу связи;

3) рассчитать ошибку коэффициента корреляции;

4) рассчитать достоверность коэффициента корреляции.

Задания в тестовой форме:

Выберите один или несколько правильных ответов.
Вариант 1

1. Функциональная связь характеризуются тем, что

1) значению одного признака соответствует несколько значений другого признака

2) каждому значению одного признака соответствует строго определённое значение другого признака и изменение величины одного признака неизбежно вызывает совершенно определённое изменение величины другого признака

3) каждому значению одного признака соответствует строго определённое значение другого признака и проявляется она при массовом сопоставлении признаков в качественно однородной совокупности

4) значению одного признака соответствует несколько значений другого признака и проявляется она при массовом сопоставлении признаков в качественно однородной совокупности
2. Корреляционная связь характерна

1) для социально-гигиенических процессов

2) для физико-химических процессов

3) для медико-биологических процессов

4) для медико-статистических процессов
3. Коэффициент корреляции позволяет оценить

1) значимость взаимосвязи между изучаемыми признаками

2) направление взаимосвязи между изучаемыми признаками

3) силу взаимосвязи между изучаемыми признаками

4) достоверность взаимосвязи между изучаемыми признаками
4. В зависимости от численного выражения коэффициента корреляции различают связь

1) слабую

2) среднюю

3) сильную

4) очень сильную
5. Слабой корреляционной связи соответствует величина коэффициента корреляции

1) от 0,0 до 0,2

2) от 0,0 до 0,3

3) от 0,1 до 0,4

4) от 0,1 до 0,3
6. Достоверность коэффициента корреляции определяется

1) величиной ошибки коэффициента корреляции

2) величиной коэффициента вариации

3) доверительным интервалом соответствия

4) доверительным коэффициентом
7. Для вычисления коэффициента корреляции по методу Спирмена используется формула

1) 6 х ∑d² ρ = ---------- n(n² - 1)

2) 6 х ∑d ρ = 1 ̶ ---------- n(n² - 1)

3) 6 х ∑d² ρ = 1 ̶ ---------- n(n² - 1)

4) 6 х ∑d² ρ = ---------- (n² - 1)

8. Ошибка коэффициента корреляции, вычисленного по методу квадратов определяется по формуле

1) 1 – r mr= ± ----------- √n – 1

2) 1 – r² mr= ± ----------- √n + 1

3) 1 – r² mr= ± ----------- √n² – 1

4) 1 – r² mr= ± ----------- √n – 1

9. С достаточной для медико-социальных исследований надежностью о наличии той или иной степени связи можно утверждать только тогда, когда величина коэффициента корреляции превышает или равняется величине

1) двух своих ошибок (r _xy  2m_r)

2) трёх своих ошибок (r _xy  3m_r)

3) четырёх своих ошибок (r _xy  4m_r)

4) пяти своих ошибок (r _xy  5m_r)
10. При большом числе наблюдений (более 30 единиц) для вычисления коэффициента корреляции целесообразно применять

1) метод корреляционной решётки

2) метод квадратов или метод Пирсона

3) метод рангов или метод Спирмена

4) метод множественной корреляции
Вариант 2

1. Формами проявления количественных связей являются

1) статистическая

2) функциональная

3) медико-статистическая

4) корреляционная
2. Корреляционная связь характеризуются тем, что

1) значению одного признака соответствует несколько значений другого признака

2) каждому значению одного признака соответствует строго определённое значение другого признака и изменение величины одного признака неизбежно вызывает совершенно определённое изменение величины другого признака

3) каждому значению одного признака соответствует строго определённое значение другого признака и проявляется она при массовом сопоставлении признаков в качественно однородной совокупности

4) значению одного признака соответствует несколько значений другого признака и проявляется она при массовом сопоставлении признаков в качественно однородной совокупности
3. Функциональная связь характерна

1) для социально-гигиенических процессов

2) для физико-химических процессов

3) для медико-биологических процессов

4) для медико-статистических процессов
4. По направлению корреляционная связь между явлениями может быть

1) прямой

2) сопряжённой

3) обратной

4) динамичной
5. Средней корреляционной связи соответствует величина коэффициента корреляции

1) от 0,2 до 0,6

2) от 0,3 до 0,6

3) от 0,3 до 0,7

4) от 0,3 до 0,8
6. Для вычисления коэффициента корреляции используются

1) метод квадратов или метод Пирсона

2) метод рангов или метод Спирмена

3) метод соответствия или метод Фишера

4) метод корреляционной решётки

5) метод множественной корреляции
7. Для вычисления коэффициента корреляции по методу Пирсона используется формула

1) ∑dх х dу r = ------------- √ dх² х dу²

2) 6 х ∑d r = 1 ̶ ---------- n(n² - 1)

3) ∑dх х dу r = ------------- √ dх х dу

4) 6 х ∑d² ρ = ---------- (n² - 1)

8. Метод рангов применяется в тех случаях, когда

1) число наблюдений меньше 30

2) число наблюдений больше 30

3) признаки имеют не только количественное, но качественное выражение

4) ряды распределения имеют открытые варианты
9. Ошибка коэффициента корреляции, вычисленного по методу рангов определяется по формуле

1) 1 – ρ mρ= ± ----------- √n – 1

2) 1 – ρ² mρ= ± ----------- √n + 1

3) 1 – ρ² mρ= ± ----------- √n² – 1

4) 1 – ρ² mρ= ± ----------- √n – 1

10. При определении взаимосвязи одновременно между 3 и более признаками для вычисления коэффициента корреляции целесообразно применять

1) метод корреляционной решётки

2) метод квадратов или метод Пирсона

3) метод рангов или метод Спирмена

4) метод множественной корреляции