Изучение многоканальной замкнутой системы. Изучение многоканальной замкнутой системы ЛР. Краткие сведения об объекте моделирования

• Название: Краткие сведения об объекте моделирования
• Анкор: Изучение многоканальной замкнутой системы
• Дата: 08.06.2022
• Размер: 215.52 Kb.
• Имя файла: Изучение многоканальной замкнутой системы ЛР.docx
• Тип: Документы; #577827

Цель работы

Изучение многоканальной замкнутой системы массового обслуживания с неогра­ниченным временем ожидания требований в системе. Входной поток требований – простейший. Он наиболее полно соответствует реалиям жизни и характеризуется следующими особенностями:

• 
  поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность прибытия двух и более требований одновременно очень мала и ею можно пренебречь (поток требований ординарный);
  
• 
  вероятность поступления последующих требований не зависит от вероятнос­тей поступления предыдущих – поток требований без последействия;
  
• 
  поток требований стационарный.
  

Краткие сведения об объекте моделирования

Функционирование многоканальной замкнутой системы массового обслужива­ния можно описать через все возможные ее состояния и интенсивности перехода из одного в другое.

Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности со­стояния системы, то есть вероятности наличия требований (покупателей, рабо­чих, заданий, машин, неполадок) в системе – . Так, вероятность характеризует состояние, когда в системе нет требований и все каналы обслуживания простаивают, – в системе находится только одно требование и т. д.

Важным параметром функционирования системы массового обслуживания яв­ляется также среднее число требований, находящихся в системе (то есть в очереди и на обслуживании), и средняя длина очереди .

Исходными парамет­рами, характеризующими СМО, являются: число каналов обслуживания N (касс, компьютеров, кранов, ремонтных бригад), число требований m (покупателей, ра­бочих, заданий, машин, неполадок), интенсивность поступления одного требова­ния на обслуживание , интенсивность обслуживания требований .

Интенсивность поступления на обслуживание одного требования определяется как величина, обратная времени возвращения требования, – :

.

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования, – .

.

Представим все возможные состояния системы массового обслуживания в виде размеченного графа состояний (рис. 2.1). Каждый прямоугольник графа опреде­ляет одно из возможных состояний, количественно оцениваемое вероятностью (наличие в системе требований). Стрелочки указывают, в какое состояние систе­ма может перейти и с какой интенсивностью. При этом в многоканальной СМО необходимо различать два случая:

- число требований , поступивших в систему, меньше числа каналов обслужи­вания N, то есть все они находятся на обслуживании 0  n < N;

- число требований , поступивших в систему, больше или равно числу каналов обслуживания N, то есть N требований обслуживаются, а остальные ожида­ют в очереди ( ).


Рис. 1. Размеченный граф состояний многоканальной замкнутой СМО

Первый прямоугольник с вероятностью определяет состояние системы массового обслуживания, при котором все каналы простаивают из-за отсут­ствия требований в ней. Из этого положения СМО может перейти только в состояние , и тогда в ней появится одно требование, потому что входной поток требований – ординарный. С интенсивностью m система может перейти также из состояния , в состояние ; когда в системе находилось одно требование, оно было обслужено раньше, чем появилось новое. Из состояния система массового обслуживания может перейти с интенсивностью в состоя­ние ; тогда в системе появятся два требования. С интенсивностью систе­ма может перейти также из состояния в состояние ; когда в системе нахо­дилось два требования, но одно из них было обслужено раньше, чем появилось новое, и т. д.

Вначале рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслу­живания, когда основные вероятностные характеристики ее постоянны во време­ни, например в течение часа. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы.

Для случая, когда число требований , поступивших в систему, меньше числа каналов обслуживания N, ­­­ – 0  n < N:



Для случая, когда число требований , поступивших в систему, больше или рав­но числу каналов обслуживания N, – N  n  m:



Обозначим величину как и раньше, через и назовем ее коэффициентом загрузки.

Рассмотрим вначале первый случай, когда число требований, находящихся в системе, меньше числа каналов обслуживания – 0  n < N.

Из первого уравнения можно найти значение :

.

Из второго уравнения найдем значение :



Но – из первого уравнения, следовательно, первый и третий чле­ны сокращаются:

.

Из третьего уравнения найдем значение :



Но , следовательно, первый и третий члены сокращаются:

и т. д.

Аналогичные выражения можно получить и для других состояний.

Анализируя полученные результаты, вычисляем рекуррентное выражение для определения вероятности состояния системы, когда число требований, находящих­ся в системе , меньше числа каналов обслуживания N:

.

Рассмотрим теперь второй случай, когда число требований, находящихся в сис­теме, больше или равно числу каналов обслуживания –
N  n  m. В этой ситуа­ции рекуррентное выражение для определения вероятности состояния системы будет записано в таком виде:

.

Используя очевидное равенство от n = 0 до m, получим:



Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы СМО, когда ее основные вероятностные характеристики зависят от времени. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме.

Для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений, опи­сывающей функционирование СМО с пуассоновским потоком, существует мнемоническое правило:

• 
  производная вероятности пребывания системы в состоянии n равна алгебраической сумме нескольких членов;
  
• 
  число членов этой суммы равно количеству стрелок на графе состояний сис­темы, соединяющих состояние n с другими;
  
• 
  если стрелка направлена в рассматриваемое состояние n, то член берется со знаком «плюс»;
  
• 
  если стрелка направлена из рассматриваемого состояния n, то член берется со знаком «минус»;
  
• 
  каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из ко­торого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.
  

В соответствии с размеченным графом состояний (рис. 1) эта система обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так:

• для случая, когда число требований n, поступивших в систему, меньше числа каналов обслуживания N, ­­­ – 0  n < N:







………………………………………………………….



• для случая, когда число требований n, поступивших в систему, больше или равно числу каналов обслуживания N, – N  n  m:



…………………………………………………………



Как можно заметить, требуется большая вычислительная работа для определе­ния основных параметров функционирования комплекта машин. Можно пойти, как и в предыдущей задаче, несколькими путями:

• 
  предварительный расчет для различного числа каналов обслуживания и для разнообразных значений коэффициента использования у (табл. 1);
  

• 
  использование системы Mathcad.
  

Обоими путями воспользуемся далее в ходе работы.

Табл. 1 – Значения коэффициента использования y

Коэф. загр.	Число требований, обслуживаемых системой, m
	3
	Вероятность простоя канала обслуживания для
0,45	0,3232

Выполнение работы

Вначале рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслу­живания, когда основные вероятностные характеристики ее постоянны во време­ни.

Рис. 2. Определение параметров функционирования
многоканальной замкнутой СМО в системе Mathcad.

Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы СМО, когда ее основные вероятностные характеристики зависят от времени. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме.

На рис. 3 представлены начальные исходные данные и система дифферен­циальных уравнений, описывающая функционирование многоканальной замкну­той СМО при неустановившемся режиме работы.

На рис. 4 дано представление системы дифференциальных уравнений в виде, доступном для решения ее в Mathcad. По существу, здесь показаны правые части системы уравнений в виде вектора-столбца. Каждый его элемент определяет зна­чение правой части соответствующего дифференциального уравнения на любом шаге интегрирования (решения).

Там же даны начальные значения искомых па­раметров в виде вектора-столбца. В нижней части рисунка определены начальное и конечное время интегрирования и число шагов решения системы дифференци­альных уравнений.

Рис. 3 - Описание функционирования многоканальной замкнутой СМО при неустановившемся режиме

Рис. 4 - Представление совокупности дифференциальных уравнений в виде, доступном для решения ее в системе Mathcad

На рис. 5 приводится решение системы дифференциальных уравнений многоканальной замкнутой СМО с использованием встроенной функции rkfixed(P,to,t1,n,D), реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Рис. 5. Решение системы дифференциальных уравнений многоканальной
замкнутой СМО

На рис. 6 приведено графическое решение системы дифференциальных уравнений для остальных четырех искомых параметров.

Рис. 6. Результаты решения системы дифференциальных уравнений
многоканальной замкнутой СМО
Выводы:

Другими словами, на рис. 6 представлено поведение искомых параметров – вероятности наличия в системе одного, двух, и трех требований соответственно в зависимости от времени протекания процесса.

Анализируя графическое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование заданной многоканальной замкнутой СМО, можно заметить, что примерно через 0,2 часа она переходит в устано­вившийся режим работы. При этом значения вероятностей состояний режима paботы системы при решении совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений практически полностью соответствуют решению системы алгебраичес­ких уравнений для установившегося режима работы:









На рис. 7 представлен фрагмент результатов решения системы обыкновен­ных дифференциальных уравнений в численном виде.

Рис. 7. Фрагмент результатов решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений в численном виде для многоканальной замкнутой СМО