Изучение экспериментальных погрешностей на примере физического маятника. Лабораторная работа 1 1 изучение экспериментальных погрешностей на примере физического маятника гёлецян А. Г. 22 июля 2022 г
 Скачать 321.03 Kb.
|
|
Лабораторная работа №1.4.1 ИЗУЧЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ НА ПРИМЕРЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА Гёлецян А.Г. 22 июля 2022 г. 1 Введение Цель работы: • проверить справедливость формулы для периода колебаний физи- ческого маятника и определить значение ускорения свободного па- дения • убедиться в справедливости теоремы Гюйгенса об обратимости то- чек опоры и центра качания маятника В работе используются: • металлический стержень • опорная призма • торцевые ключи • закреплённая на стене консоль • подставка с острой гранью для определения цента масс маятника • секундомер • линейки металлические длиной 30, 50 и 100 см • штангенциркуль • электронные весы • математический маятник 1 2 Теория Рис. 1: Схема установки Напишем уравнение движения си- стемы −(m + M )gx ц sin φ = (I m + I M ) ¨ φ где m, I m это масса и момент инерции призмы соответственно, а M, I M это масса и момент инерции стержня соответственно. Из теоремы Штайнера-Гюйгенса I M = M l 2 /12 + M a 2 В наших измерениях m ≈ M/11, а расстояние центра масс призмы от оси качения составляет пример- но a m = 1.5см. В измерениях ми- нимальное значение a, которое ис- пользовалось в измерениях состав- ляет a min = 12.5см. Таким образом оценим какая доля имеет момент инереции призмы в системе. I m I M = m M a 2 m a 2 min + l 2 12 ≈ 0.02% Так как эта величина на порядки меньше относительных погрешностей всех других измерении, мы имеем полное моральное право пренебрегать I m относительно I M При приближении φ ≪ 1 наше уравнение движения переходит в уравне- ние гармонического осцилятора, откуда можно легко получить формулу периода колебания маятника T = 2π s l 2 12 + a 2 βx ц g (1) где β = 1 + m/M . 2 3 Ход работы Для начала измерим все статические величины. l = (100.1 ± 0.05)см m = (76.3 ± 0.1)г M = (870.5 ± 0.1)г Чтобы понять сколько знаков нам хранить для β для начала подсчи- таем его погрешность ∆β = r (∆m ∂β ∂m ) 2 + (∆M ∂β ∂M ) 2 = r ( ∆m M ) 2 + ( ∆M m M 2 ) 2 ≈ 0.0001 (2) Мы видим, что после запятой можем хранить 4 цифры, поэтому β = 1.0877 ± 0.0001 Для проведения серии измерении(a = const) фиксируем призму в ка- ком то положении a и несколько раз(N = 8) измеряем время n колебании. Обозначим это время t. Погрешность измерения a равна ∆a = 0.1см, т.к. a является разницой двух измерении с погреностью 0.05см (a = l/2 − x). Для краткости в работе указаны сразу a, без указания x. То же самое верно и для x ц (∆x ц = 0.1см). Период колебания считаем по формуле T = t/n, а случайную ошибку по формуле ∆T случ = 1 n r 1 N − 1 X (t i − ¯ t) 2 Систематическая ошибка ∆t сист = 0.02с (примерное время обновления экрана секундомера). Так как T = t/n, то ∆T сист = ∆t сист /n. Полная ошибкаha ∆T = q ∆T сист 2 + ∆T случ 2 3 В Таблице 1 приведены данные измерении. В Таблице 2 приведены периоды колебании с погрешностями. В Таблице 3 приведены расчетные значения g и ∆g сист . Последняя считалось по аналогичной (2) формуле. Серия 1 2 3 4 5 6 7 8 a, см 39.3 32.5 29.2 24.3 22.0 19.1 15.3 12.4 x ц , см 36.0 29.8 26.8 22.2 20.1 17.4 14.0 11.3 n 20 20 20 10 10 20 20 20 № опыта t, с 1 31.30 30.69 30.63 15.43 15.59 31.94 33.76 36.03 2 31.21 30.61 30.62 15.39 15.55 31.98 33.69 35.97 3 31.25 30.70 30.63 15.43 15.58 31.89 33.65 35.94 4 31.28 30.64 30.57 15.41 15.66 31.98 33.73 36.00 5 31.30 30.61 30.64 15.46 15.60 31.95 33.72 35.96 6 31.27 30.68 30.61 15.40 15.67 31.97 33.73 35.94 7 31.27 30.70 30.53 15.48 15.71 31.94 33.77 35.98 8 31.26 30.70 30.62 15.40 15.65 32.03 33.68 35.98 Таблица 1: Измерения времени t для n колебании a, см 39.3 32.5 29.2 24.3 22.0 19.1 15.3 12.4 T, с 1.563 1.533 1.53 1.542 1.563 1.598 1.686 1.799 ∆T, с 0.002 0.002 0.002 0.004 0.006 0.002 0.002 0.002 Таблица 2: Периоды колебании для различных a 4 № опыта g, см/с 2 1 980 979 976 981 982 984 976 983 2 986 985 977 986 988 982 980 986 3 983 979 976 981 984 987 983 988 4 981 983 980 984 974 982 978 985 5 980 985 975 977 981 984 979 987 6 982 980 977 985 972 982 978 988 7 982 979 982 975 968 984 976 986 8 983 979 977 985 975 979 981 986 ¯ g, см/с 2 981 ∆g случ , см/с 2 4 ∆g сист , см/с 2 5 6 6 7 9 7 8 9 Таблица 3: Расчетные g для каждого измерения 3.1 g методом усреднения Начнем подсчет результатов с подсчета g методом усреднения. ¯ g = 981см/с 2 , ∆g случ = 4см/с 2 Для подсчета систематических ошибок воспользуемся формулой, ана- логичной формуле (2). Для оценки полной погрешности возмем ∆g сист как средюю из Таблицы 3. ∆g сист ≈ 7см/с 2 , ∆g = q ∆g сист 2 + ∆g случ 2 ≈ 8см/с 2 Финальный ответ. g = (981 ± 8)см/с 2 , ε g ≈ 0.8% 3.2 Минимум T (a) Из графика на Рис. 2 видно, что зависимость T (a) имеет минимум, и он находится около a = 28см. Согласно приближенной формуле, где не учитывается влияние массы призмы на положение общего центра масс, минимум можно найти решив уравнение d da (a + l 2 12a ) = 0 =⇒ a = l 2 √ 3 ≈ 29см 5 так как количество вблизи минимума у нас не так уж и велико, и вы- ражение для минимума не учитывает влияние массы призмы, можно удтверждать что эксперимент соответствует теории. 3.3 g методом МНК Если ввести обозначения u = T 2 x ц и v = a 2 , то формулу периода можно переписать как u = 4π 2 gβ (v + l 2 12 ) Видим что между u и v есть линейная связь, о чем и свидетельствуют графики на Рис. 3 и 4. ∆v = 2a∆a, ∆u = p (T 2 ∆x ц ) 2 + (2T x ц ∆T ) 2 Составим таблицу данных графика 3 (Рис. 4). u, с 2 см 88.0 70.1 62.8 52.8 49.1 44.4 39.8 36.6 ∆u, с 2 см 0.3 0.3 0.3 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 v, см 2 1541 1053 850 588 482 363 233 153 ∆v, см 2 8 6 6 5 4 4 3 2 Таблица 4: Значения u, ∆u, v, ∆v Методом наименьших квадратов находим коэффиценты k и b для урав- нения u = kx + b, где k = 4π 2 gβ а b = k l 2 12 . Расчитаем также случайные ошибки k и b, которые появляются из за МНК (для краткости оставим формулы расчета погрешностей коэффицентов МНК). k = (0.0370 ± 0.0002)с 2 /см b = (100.4 ± 0.2)с 2 см Теперь рассчитаем g и l из коэффицентов. g = 4π 2 kβ , ∆g = g s ∆k k 2 + ∆β β 2 l = r 12b k , ∆l = l s ∆b 2b 2 + ∆k 2k 2 Подставив числа получаем g = (981 ± 9)см/с 2 , l = (100.4 ± 0.5)см 6 3.4 Опыт с приведенной длиной маятника Если в формуле (1) ввести обозначение l пр = l 2 /12+a 2 βx ц , то формулу пе- риода можно переписать как T = 2π s l пр g Это означает, что период математического маятника с длиной l пр будет совпадать с периодом физического маятника. Проверим это на опыте. Физический маятник имеет конфигурацию 1 (см. Таблицу 1) a = 39.3см, x ц = 36.0см. Подставив числа получаем l пр = 60.8см. Теперь измерим период математического маятника с этой длиной. t, с 31.50 31.48 31.50 31.47 31.45 T, с 1.575 1.574 1.575 1.574 1.573 Таблица 5: Периоды колебания математического маятника (n = 20) Из этих данных получаем T мат = 1.574с. Период физического маятника T физ = (1.563 ± 0.002)с. Теперь подсчитаем погрешность T мат и проверим равенство этих периодов. ∆T сист мат = ∆l пр T мат 2l ≈ 0.013с В расчете ∆l пр = 1см, т.к. установка длины маятника было довольно не точным в связи с шаровидностю груза и прогиба линейки. Как видим в пределах погрешности эти периоды совпадают, поэтому в пределах по- грешности формула приведенной длины маятника работает. Теперь проделаем опыт по переворачиванию маятника относительно точки с расстоянием l пр t, с 31.34 31.28 31.25 31.24 31.24 T, с 1.567 1.564 1.563 1.562 1.562 Таблица 6: Периоды колебания перевернутого маятника (n = 20) 7 Получаем период T пер = 1.564с, что в пределах погрешности T физ . Еще раз удтверждаемся, что формула приведенной длины работает. 4 Заключение Как видим в пределах погрешности ускорение свободного падения, расчетная длина стержня совпадают с реальными значениями, а форму- лы периода маятника и теорема об обратимости центра качения и точки опоры прпвдивы в пределах погрешности. 8 Рис. 2: График зависимости T (a ) 9 Рис. 3: График зависимости a 2 (T 2 x ц ) 10 Рис. 4: График зависимости T 2 x ц (a 2 ) 11 |