ирр. Лаба+1-1. Лабораторная работа 13 по физике " Определение момента инерции твёрдых тел методом трифилярного подвеса"

• Название: Лабораторная работа 13 по физике " Определение момента инерции твёрдых тел методом трифилярного подвеса"
• Дата: 27.03.2022
• Размер: 178.5 Kb.
• Имя файла: Лаба+1-1.doc
• Тип: Лабораторная работа; #418879

Нижегородский Государственный Технический Университет Выксунский Филиал Лабораторная работа №1-3 по физике “Определение момента инерции твёрдых тел методом трифилярного подвеса” Выполнила: Проклова Е.А. Группа: ПТК-07 Проверил: Маслов В.П. г. Выкса 2007г.

Введение Актуальность работы. В природе и технике весьма распространенный является вращательное движение, которое описывается, в физике основным законом динамики вращательного движения. Этот закон в случае неподвижной оси вращения можно рассматривать как аналог II закона Ньютона, в котором роль меры инертности играет момент инерции абсолютно твердого тела. Расчет момента инерции твердого тела относительно произвольной оси является в общем случае сложной математической задачей. Для решения этой задачи часто удобнее использовать экспериментальные методы. Цель работы. Экспериментальное определение момента инерции диска, цилиндр, кольца и параллелепипеда относительно главных осей инерции этих твёрдых тел; исследование зависимости момента инерции от распределения массы тела относительно оси вращения;экспериментальная проверка теоремы Штейнера. Практическая ценность. В работе изучается используемый в практике метод измерения момента инерции твердых тел. В процессе работы студенты получают навыки измерения момента инерции твердых тел методом крутильных колебаний трифилярного подвеса и умение рассчитывать момент инерции, относительно осей симметрии тела. Экспериментальная часть В нашей работе момент инерции тела определяется при помощи трифилярного повеса (рис. 1), который представляет собой круглую платформу, подвешенную на трех симметрично расположенных проволоках, укрепленных у краев платформы. Наверху эти проволоки также симметрично прикреплены к трем точкам треноги, расположенным по окружности меньшего радиуса. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее середину: центр тяжести платформы при этом перемещается по оси вращения. Период колебаний определяется моментом инерции платформы. Он будет другим, если платформу нагрузить каким-либо телом. Этим и пользуются в данной работе. Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то ее потенциальная энергия в крайнем положении: где g - ускорение свободного падения тела. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия с кинетической энергией: , Рис. 1 Где I- момент инерции платформы; - угловая скорость платформы в момент достижения ею положения равновесия. Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем: Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можно написать зависимость угла поворота платформы от времени:

, где: - мгновенное значение угла поворота платформы - амплитудное значение угла поворота Т - период полного колебания t - время Угловая скорость является первой производной от угла поворота по времени: В момент прохождения через положение равновесия абсолютное значение угловой скорости будет максимальным: Подставляя это значение в уравнение получим: . Чтобы найти момент инерции I платформы из этого соотношения подставляя значение h, получим: , откуда По этой формуле может быть определен момент инерции платформы и тела, положенного на нее, так как все величины в правой части могут быть непосредственно измерены. В случае нагруженной платформы массу m берут равной сумме масс платформы и тела. Вычисленный момент инерции системы Iсист складывается из момента инерции пустой платформы и тела: Iсист = I0+IT, где I0 - момент инерции платформы, IT - момент инерции тела. Отсюда получаем: IT = Iсист - I0 Определение моментов инерции тел опытным путем Усредняем результаты измерений: = кг = = = кг = == = Имеем: mплатф=0,4170,001 кг mпаралл=0,4250,001 кг mкольца=1,1030,001 кг mдиска=1,1030,001 кг hплатф=0,00347м hкольца=0,00270м hдиска=0,00270м hпар-пед=0,0028м r=0,0350,001 м Экспериментом измерено: N=3 - кол-во измерений для каждого тела n=30 - кол-во полных колебаний

Тело	Измеренное время, с	Параметры тела, м
пустая платформа	139,2 136,2 134,2	R=0,1501 h=0,00347
кольцо	90,7 88,8 87,5	R1=0,0521 R2=0,0364 h=0,0027
диск	73,1 70,4 70,1	R=0,0543 h=0,0027
параллелепипед	84,6 87,8 86,8	a=0,155 b=0,122 с=0,048

Находим средний результат измерения по формуле:



Находим средний период колебаний:



=——,с

n
Результаты расчетов заносим в таблицу:

Тело	,c	,c
пустая платформа	136,5	4,55
кольцо	88,9	2,97
диск	71,2	2,37
параллелепипед	84,6	2,88

Рассчитаем момент инерции

пустой платформы:
J₀=m·g·h·²/2·(π·a₀)², кг·м²

где h=0,00347 м – высота подъема платформы при повороте на угол a₀, определяем с помощью индикатора с точностью до 1,0·10^-2мм.

g=9,81м/с² ‑ ускорение свободного падения

π=3,14;

a₀=π/2 – угол поворота платформы

m=0,417кг – масса платформы


J₀=0,417·9,81·0,00347·((4,55)²)/(2·(3,14·(3,14/2))²)=0,025кг·м²;
нагруженной платформы J_сист по формуле:
J_сист=m_сист·g·h·²/2·(π·a₀)²,


диска, кольца и параллелепипеда по формуле:

J_T=J_сист- J₀, кг·м²;
Диск

J_сист=((0,417+1,103)·9,81·0,0027·(2,37)²)/(2·((3,14·(3,14/2))²)=0,056 кг·м²

J_T=J_сист-J₀=0,056-0,025=0,031 кг·м²;
Кольцо

J_сист=((0,417+1,103)·9,81·0,0027·(2,97)²)/(2·((3,14·(3,14/2))²)=0,01064 кг·м²;

J_T=J_сист-J₀=0,0073-0,025=0,012 кг·м²;
Параллелепипед

J_сист=((0,417+0,425)·9,81·0,0028·(2,88)²)/( 2·((3,14·(3,14/2))²)=0,11кг·м²

J_T=J_сист-J₀=0,11-0,025=0,085кг·м²;

Тело	Iсист , кг м2	Iт , кг м2
пустая платформа		0,025
кольцо	0,01064	0,012
диск	0,056	0,031
параллелепипед	0,11	0,085

Рассчитываем абсолютную и относительную погрешности измерения:

-стандартная случайная погрешность

tp,N=2,8 tp,=2,0-соответствующие коэффициенты

Стьюдента

при N=5(доверительная вероятность 95%)

=0,01-точность секундомеров

Определение момента инерции тел теоретическим путём

Пустая платформа:

R1,м	R2,м	R3,м	R4,м	R5,м
0,1501	0,1501	0,1500	0,1502	0,1502

=(R₁+R₂+R₃+R₄+R₅)/5=0,1501 м.


Параллелепипед:

a1,м	a2,м	a3,м	a4,м	a5,м
0,155	0,155	0,154	0,155	0,156

=(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅)/5=0,1536 м

b1,м	b2,м	b3,м	b4,м	b5,м
0,122	0,122	0,121	0,122	0,123

=(b₁+b₂+b₃+b₄+b₅)/5=0,122 м



Диск:

R1,м	R2,м	R3,м	R4,м	R5,м
0,0543	0,0542	0,0542	0,0544	0,0542

=(R₁+R₂+R₃+R₄+R₅)/5=0,0543 м.


Кольцо:



R_внеш:

R1,м	R2,м	R3,м	R4,м	R5,м
0,0521	0,0522	0,0521	0,0521	0,0522

=(R₁+R₂+R₃+R₄+R₅)/5=0,0521

r_внутр:

r1,м	r2,м	r3,м	r4,м	r5,м
0,0365	0,0363	0,0365	0,0363	0,0366

=(r₁+r₂+r₃+r₄+r₅)/5=0,0364 м.


Обработка результатов эксперимента

Статистическая обработка результатов прямых измерений.

Определяем абсолютную погрешность Δt измерения времени


-

Определяем относительную погрешность ε_t измерения времени для каждого тела:
ε_t=∆t/<t>,
Пустая платформа

S_t =√ ((139,2-136,5)²+(136,2-136,5)²+(134,2-136,5)²)/ 3*(3-1)=0,59;



ε_t=(2,6/136,5)=0,019; ε_t= 1,9%

Диск

S_t=√ ((73,1-71,2)²+(70,4-71,2)²+(70,1-71,2)²)/ 3*(3-1)=0,42;



ε_t=1,8/71,2=0,025 ε_t= 2,5%
Параллелепипед

S_t=√ ((84,6-84,6)²+(87,8-84,6)²+(86,8-84,6)²)/3*(3-1)=0,65;



ε_t=(2,8/84,6)=0,033; ε_{t= 3,3}%
Кольцо

S_t=√ ((90,7-88,9)²+(88,8-88,9)²+(87,5-88,9)²)/3*(3-1)=0,47;



ε_t=2,1/88,9=0,023; ε_t=2,3%

Тело	St	t, c	t
пуст. платформа	0,59	2,6	0,019
кольцо	0,47	2,1	0,023
диск	0,42	1,8	0,025
паралл. на торце	0,47	2,1	0,023

4.Статистическая обработка

результатов косвенных измерений.
Определяем относительную погрешность ε_T измерения периода колебаний:

ε_T=√ε_t²+ε_n²,
где ε_n – относительная погрешность измерения числа полных колебаний n

ε_n=∆n/<n>,

n1=139,2/30=4.64

n2=136,2/4.64=29.4

n3=134,2/4.64=29.8 ∆n=t*S_n ,

S_n=√∑(n_i-‹n›)²/N*(N-1)
S_n=√2*(30-29,4)²+(29,8-29,4)²/3*(3-1)=0,005

∆n=4,3*0,005=0,02

ε_n=0,02/29,4=0,0007

Определяем абсолютную погрешность ∆T измерения периода колебаний:

∆T=ε_T·<T>, с ε_T=√ε_t²+ε_n²,

Пустая платформа :ε_T=√(0,019)²+(0,0007)²=0,019;

∆T=0,019*4,55=0,09 с;
Диск:ε_T=√(0,025)²+(0,025)²=0,04;

∆T=0,04*2,37=0,09 с;
Кольцо: ε_T=√(0,023)²+(0,023)²=0,057;

∆T=0,057*2,97=0,17с;
Параллелепипед: ε_T=√(0,023)²+(0,023)²=0,03;

∆T=0,03*2,88=0,09 с;
Определяем относительную и абсолютную погрешности полученного экспериментального момента инерции платформы:


ε_m=∆m/m=0,001/0,417=0,0024;

ε_h=∆h/=0,01/0,00347=0,03

ε_J0=√(0,0024)²+(2*0,019)²+(0,03)²=0,073 ; ε_J0=7,3%
∆J₀= J₀· ε_J0, кг·м²

∆J₀=0,025·0,073=0,00322кг·м²;

Аналогично определяем относительную и абсолютную погрешности момента инерции системы (платформы с телом).

ε_Jсист=√ε_mсист²+ε_h²+(2*ε_T)²

ε_h=∆h/

Определяем относительную погрешность измерения высоты подъема

нагруженной платформы:

∆h=k*S_h,

где k – соответствующий коэффициент Стьюдента; k=2,8

S_h – среднеквадратичное отклонение.

S_h=√∑(h_i-‹ h ›)²/N’*(N’-1)

где N’=5 - количество измерений высоты подъема системы.

∆J_сист= J_сист* ε_Jсист,кг·м²

Диск

=0,0027

S_h=0,000038

∆h=k*S_h=2,8*0,000038=0,0001

ε_h=∆h/=0,01/0,0027=0,037

ε_Jсист=√(0,001/(0,417+1,103))²+0,037²+(2*0,025)²=0,16

∆J_сист=0,031*0,16=0,0049 кг·м²

Кольцо

ε_Jсист=√(0,001/(0,417+1,103))²+0,037²+(2*0,023)²=0,5

∆J_сист=0,012*0,5=0,0056 кг·м²

Параллелепипед

ε_Jсист=√(0,001/(0,417+0,425))²+ 0,042²+(2*0,023)²=0,3

∆J_сист=0,085*0,3=0,002 кг·м²

Определяем относительную и абсолютную погрешности момента инерции тела.

∆J_т=√(∆J₀)²+( ∆J_сист)² , кг·м²
ε_Jт=∆J_т/J_т

Диск

∆J_т=√(0,00322)²+(0,0049)²=0,044 кг·м²

ε_Jт=(0,044/0,031)*100%=1,4%
Кольцо

∆J_т=√(0,00322)²+(0,0056)²=0,051 кг·м²

ε_Jт=(0,051/0,012)*100%=4,25%
Параллелепипед

∆J_т=√(0,00322)²+(0,002)²=0,04 1кг·м²

ε_Jт=(0,041/0,085)*100%=1,48%
Определение абсолютной и относительной погрешности.
Параллелепипед
ε_JT(теор)=√(∆m/m)²+[∆(<b>²+<c>²)/(<b>²+<c>²)]² , инстр. Погр=0.01 мм

где ∆(²+²)=2√(*∆b)²+ (*∆c)²;

∆b=k*S_b

S_b=√∑(b_i-<b>)²/N’*(N’-1)

S_b=√2*(0,121-0,122)²+(0,123-0,122)²/5*(5-1)=0,00004

∆b=2,8*0,00004=0,0001

∆c= k*S_c

S_c=√∑(c_i-<c>)²/N’*(N’-1)

S_c=√2*(0,048-0,049)²/5*(5-1)=0,00003

∆c=2,8*0,00003=0,00008

∆(²+²)=2*√(0,122*0,0001)²+(0,048*0,00008)²=0,00002

ε_JT(теор)=(√(0,001/0,425)²+(0,00004/(0,0138+0,002)²)*100%=0,19 %
∆J_{парал. (теор)}= ε_JT(теор)* J_парал

∆J_{парал. (теор)}=0,19*0,00225=0,43
Пустая платформа
ε_J(теор)=√ (∆m/ m )²+ [ ∆R²/<R>²]²

ε_J(теор)=(√ (0,001/0,417)²+(0,0001²/0,1501²)²)*100%=0,4%

∆J_{платф (теор)}= ε_JT(теор)* J_{пл(теор)}=0,4%*0,0045=1,8
Диск

ε_J(теор)=√ (∆m/<m>)²+ [ ∆R² / <R>² ]²

ε_J(теор)=(√ (0,001/1,103)²+(0,0001²/0,0543²)²)*100%=0,07 %

∆J_{диск (теор)}= ε_JT(теор)* J_{диск(теор)}=0,07%*0,0068=0,49

Кольцо

ε_J(теор)=√ (∆m/<m>)²+ [∆(<r>²+<R>²)/(<r>²+<R>²)]²

∆(²+²)=2*√(∆r*)²+(∆R*)²

∆(²+²)=2*√(0,00009*0,0364)²+(0,00009*0,0521)²=0,00007

ε_J(теор)=(√(0,001/1,103)²+(0,00007)/(0,0013+0,0027)²)*100%=0,03%

∆J_{кол (теор)}= ε_JT(теор)* J_{кол(теор)}=0,03%*0,00157=0,047

Результаты расчетов сведем в таблицу:

Тело	JT,кг/м2	∆JT кг/м2	εJ%	JTтеор кг/м2	∆JTтеор кг/м2	εJ(теор) %	JT - JTтеор ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯*100%, JT
Пустая платформа	0,025	32,2*103	7,3	0,0045	1,8	0,4	82
Диск	0,031	4,4*10*2	1,4	0,0068	0,49	0,07	77,4
Кольцо	0,012	5,1*10*2	4,25	0,00157	0,047	0,03	87
Паралле- лепипед	0,085	4,1*10*2	1,48	0,00225	0,43	0,19	97,4

Вывод: Мы экспериментально и теоретически определили момент инер­ции параллелепипеда, кольца и диска. При сравнении практических и теоре­тических значений мы обнаружили, что практические результаты оказались завышенными, правда в пределах погрешностей. Это объясняется тем, что на платформу с телом, при крутильных колебаниях, действовали неучтен­ные нами силы трения и сопротивления воздуха.