ЛР1 Определение центра тяжести плоской фигуры. Лабораторная работа 1 определение положения центра тяжести плоских фигур цель лабораторной работы

• Название: Лабораторная работа 1 определение положения центра тяжести плоских фигур цель лабораторной работы
• Дата: 15.03.2023
• Размер: 1.25 Mb.
• Имя файла: ЛР1 Определение центра тяжести плоской фигуры.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #990876

Лабораторная работа № 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
ПЛОСКИХ ФИГУР
1. Цель лабораторной работы
1.1. Ознакомление с методами определения центра тяжести твердого тела, основными понятиями и теоретическими положениями данной темы.
1.2. Расчет координат центра тяжести плоской фигуры и сопоставление с результатами эксперимента.
2. Задача лабораторной работы
Приобретение практических навыков определения положения центра тяжести плоских фигур.
3. Краткие теоретические сведения
При рассмотрении движения тел, особенно таких как самолеты, ракеты, космические корабли, большое значение имеет понятие центра тяжести. Для введения понятия центра тяжести разобьем мысленно рассматриваемое тело на достаточно большое число малых, по сравнению с телом, элементарных его частей произвольной формы.
На каждую частицу тела, находящегося вблизи земной поверхности, действует направленная приближенно к центру Земли сила, которую называют силой тяжести. Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с размерами Земли, силы тяжести, действующие на частицы тела, считаются параллельными друг другу и сохраняющими для каждой частицы постоянное значение при любых поворотах тела. Силовое поле, в котором выполняются указанные два условия, называется однородным полем тяжести.
Модуль равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы данного тела, называется весом тела. Равнодействующая сил тяжести проходит через точку, которая называется центром
тяжести тела.

Таким образом, центром тяжести твердого тела (точка С)
называется центр системы параллельных сил тяжести частиц
данного тела (рис. 1.1).
Точка С – это геометрическая точка, она может находиться и вне тела, но она неизменно с ним связана, например, центр тяжести мяча, кольца и др.
В твердом теле центр тяжести занимает вполне определенное положение, которое не зависит от расположения рассматриваемого тела в пространстве.
Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил.
Обозначим модуль силы тяжести элементарной частицы тела с индексом i через P
i
, а вес всего тела – через Р (



n
i
i
P
P
1
).
Рис. 1.1. Сила тяжести
Положение центра параллельных сил в векторной форме определяется следующей формулой:




n
i
i
i
c
P
r
P
r
1 1
, (1.1) где
i
r – радиус-вектор i-й части тела.
Из (1.1) следуют формулы для определения координат центра тяжести (точки С) как центра параллельных сил:




n
i
i
i
c
x
P
P
x
1 1
,




n
i
i
i
c
y
P
P
y
1 1
,




n
i
i
i
c
z
P
P
z
1 1
(1.2)
Вес P
i
элементарной части однородного тела прямо пропорционален ее объему V
i
: P
i
= γ∙V
i
Вес однородного тела Р прямопропорционален его объему V:
Р = γ∙V, где γ – вес единицы объема тела (удельный вес).
После подстановки значений P
i
и Р в выражения (1.2) получим формулы для определения координат центра тяжести однородного тела – центра тяжести объема:





n
i
i
i
c
x
V
V
x
1 1
,




n
i
i
i
c
y
V
V
y
1 1
,




n
i
i
i
c
z
V
V
z
1 1
(1.3)
Из полученных формул видно, что положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы.
Если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то координаты ее центра тяжести – центра тяжести
площади – определяются следующим образом:




n
i
i
i
c
x
S
S
x
1 1
,




n
i
i
i
c
y
S
S
y
1 1
,




n
i
i
i
c
z
S
S
z
1 1
(1.4) где S – площадь всей пластины; S
i
– площади ее частей.
Координаты центра тяжести однородного длинного тонкого тела – центра тяжести линии – можно найти по формулам:




n
i
i
i
c
x
L
L
x
1 1
,




n
i
i
i
c
y
L
L
y
1 1
,




n
i
i
i
c
z
L
L
z
1 1
, (1.5) где L – длина всей линии; l
i
– длины ее участков.
4. Методы определения координат центра тяжести тела
4.1. Метод симметрии
При определении положения центра тяжести широко используется симметрия тел. Теорема о положении центра тяжести симметричного тела: если однородное тело имеет плоскость, ось
или центр материальной симметрии, то его центр тяжести
лежит соответственно в этой плоскости, на этой оси, в этом
центре.
4.2. Метод разбиения на части (метод группировки)
Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны или предварительно могут быть определены. В таких случаях центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам (1.2)–(1.5), определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито
Разновидностью метода разбиения является
метод
отрицательных масс (площадей или объемов). Этот метод применяется к телам, имеющим вырезы (полости). В этом случае также используются формулы (1.2)–(1.5), но вес (объем, площадь, длину) вырезанной части необходимо брать со знаком «минус».

Пример. Определить координаты цента тяжести плоской фигуры, представленной на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Плоская фигура
Решение
1. Разбиваем плоскую фигуру на четыре простые части: два прямоугольника 1 и 3, треугольник 2 и круг 4 (рис. 1.3).
На рис. 1.4 показано положение центров тяжести некоторых плоских фигур. Например: центр тяжести прямоугольника находиться в его геометрическом центре (точке пересечения его диагоналей).
Рис. 1.3. Разбиение на простые части

2. Выбираем систему координат. Вычисляем площадь и координаты центра тяжести каждой части:
1 – прямоугольник: S
1
= 19 · 15 = 285 см
2
; координаты точки C
1
: x
1
= 9,5 см; y
1
= 7, 5 см.
2 – треугольник: S
2
= 15 · 5· 1/2·= 37,5 см
2
; координаты точки C
2
: x
2
= 19 + 5/3 = 20,7 см; y
2
= 7,5 см.
3 – прямоугольник: S
3
= 4 · 5 = 20 см
2
; координаты точки C
3
: x
3
= 2 см; y
3
= 15 + 5/2 = 17,5 см.
4 – круг: S
4
= 3,14·2,5 2
= 19,6 см
2
; координаты точки C
4
: x
4
= 12 см; y
4
= 5 см.
3. Находим координаты центра тяжести всей фигуры.
Площадь выреза (круга 4) берем со знаком минус.












4 3
2 1
4 4
3 3
2 2
1 1
S
S
S
S
x
S
x
S
x
S
x
S
x
c
2
,
10 6
,
19 20 5
,
37 285 12 6
,
19 2
20 7
,
20 5
,
37 5
,
9 285












см;












4 3
2 1
4 4
3 3
2 2
1 1
S
S
S
S
y
S
y
S
y
S
y
S
y
c
3
,
8 6
,
19 20 5
,
37 285 5
6
,
19 5
,
17 20 5
,
7 5
,
37 5
,
7 285












см.
4.3. Метод интегрирования (аналитический)
Если тело нельзя разбить на несколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемы Δv
i
, для которых формулы
(1.3) принимают вид





n
i
i
i
c
x
v
V
x
1 1





n
i
i
i
c
y
v
V
y
1 1





n
i
i
i
c
z
v
V
z
1 1
(1.6) где x
i
, y
i
, z
i
– координаты некоторой точки, лежащей внутри объема
Δv
i
Затем в равенствах (1.6) переходят к пределу, устремляя все
Δv
i
к нулю, то есть, стягивая эти объемы в точки. Тогда стоящие в равенствах суммы обращаются в интегралы, распространенные на весь объем тела, и формулы (1.6) дают в пределе:
dv
x
V
x
V
c


)
(
1
,
dv
y
V
y
V
c


)
(
1
,
dv
z
V
z
V
c


)
(
1

Аналогично для координат центров тяжести площадей и линий получаем в пределе из формул (1.4) и (1.5):
ds
x
S
x
S
c


1
,
ds
y
S
y
S
c


1
;
dl
x
L
x
L
c


1
,
dl
y
L
y
L
c


1
,
dl
z
L
z
V
c


1 4.4. Положение центра тяжести некоторых линий, плоских
фигур и тел
Рис. 1.4. Центры тяжести:
а) площади прямоугольника; б) площади круга; в) площади треугольника;
г) объема конуса; д) дуги окружности; е) площади кругового сектора;
ж) площади полукруга

4.5. Центр тяжести неоднородных тел сложной конфигурации
(самолет, локомотив, трактор и т.п.) можно определить
экспериментально.
Одним из экспериментальных методов нахождения положения центра тяжести является метод подвешивания, заключающийся в том, что тело подвешивают за различные его точки на тросе или нити. При этом нить будет указывать направление, на котором находится центр тяжести тела. Точка пресечения этих направлений определяет положение центра тяжести тела.
Другим экспериментальным методом определения положения центра тяжести является метод взвешивания.
5. Оборудование
5.1. Установка для определения центра тяжести плоских фигур М5.
5.2. Набор плоских фигур, карандаш.
К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с
ее устройством, принципом действия и порядком проведения работ
6. Устройство и принцип работы установки
6.1. Внешний вид установки М5 приведен на рис. 1.5.
Технические характеристики представлены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Технические характеристики установки М5
Габаритные размеры установки, мм, не более длина
210 ширина
210 высота
350
Масса установки, кг, не более
4

Рис. 1.5. Внешний вид установки М5 для определения центра тяжести плоских фигур
6.2. Схема установки М5 изображена на рис. 1.6. Установка выполнена в настольном исполнении и состоит из основания 1 с вертикальной стойкой 2. Сверху на стойке закреплена головка 3 с двумя осями: на верхней оси закреплен отвес с прорезью 4 и грузом
5 на конце, на нижней – подвешивается плоская фигура из комплекта сменных фигур. В свободном состоянии отвес может поворачиваться относительно своей оси в вертикальной плоскости.
Для того, чтобы установить отвес в вертикальном положении используются регулируемые опоры 6. В средней части стойки установлен регулируемый по высоте упор 7, который позволяет прижать плоскую фигуру к отвесу. После этого на фигуре можно карандашом провести вертикальную линию по пазу отвеса.

Рис. 1.6. Схема установки М5 для определения центра тяжести плоских фигур
7. Подготовка и порядок выполнения лабораторной
работы
7.1.
Поместите установку на ровной горизонтальной поверхности стола.
7.2. С помощью регулируемых опор 6, установите отвес 4 в вертикальном положении так, чтобы острый конец отвеса был совмещен с конической стрелкой на основании 1.

7.3. Поверните отвес 4 вокруг своей оси на некоторый угол.
Подвесьте фигуру, центр тяжести которой необходимо определить, на нижнюю ось за одно из трех предусмотренных отверстий и медленно верните отвес в исходное положение.
7.4.
Дождитесь прекращения колебаний фигуры.
Зафиксируйте положение фигуры, зажав ее между упором 7 и отвесом 4, для чего медленно и осторожно подвиньте отвес вдоль оси от себя.
7.5. Вдоль центрального паза отвеса 4 проведите карандашом средней твердости вертикальную линию на плоской фигуре.
7.6. Отведите отвес 4 от плоской фигуры, двигая его вдоль оси на себя.
7.7. Снимите фигуру.
7.8. Подвешивая фигуру за каждое из двух остальных отверстий, произведите манипуляции по пунктам 7.4–7.7.
7.9. Точка пересечения трех линий и будет являться центром тяжести данной фигуры. Определите ее координаты
экс
C
X
и
экс
C
Y
7.10. Определите положение центра тяжести расчетным способом. Вычислите координаты
рас
C
X
и
рас
C
Y
7.11.
Сравните результаты, полученные расчетным
(аналитическим) и экспериментальным способами:
0 0
100



экс
рас
экс
C
С
С
X
X
X
X

,
0 0
100



экс
рас
экс
C
С
С
Y
Y
Y
Y

7.12. В отчете по лабораторной работе на эскизе фигуры отметьте точки с координатами (
экс
C
X
и
экс
C
Y
) и (
рас
C
X
и
рас
C
Y
).
8. Содержание и оформление отчета
8.1. Название лабораторной работы.
8.2. Цель лабораторной работы.
8.3. Схема установки.
8.4. Эскиз рассматриваемой фигуры с указанием размеров, а также расчеты координат центра тяжести и результаты эксперимента.
8.5. Вывод по лабораторной работе.
8.6. Лабораторная работа оформляется на сброшюрованных листах формата А4.

Варианты заданий для самостоятельного решения
Найти координаты центра тяжести заштрихованной части изображенной плоской фигуры, если a = 4 см.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

25 2
6 27 28 29 30 31 32 33

Контрольные вопросы
1. Что называется центром тяжести тела?
2. В каких случаях центр тяжести располагается вне рассматриваемого тела? Приведите примеры.
3. Изменится ли положение центра тяжести тела от замены материала?
4. Приведите формулы для определения координат центра тяжести тела.
5. Приведите формулы для определения координат центра тяжести однородных тел.
6. Назовите методы определения положения центра тяжести тела.
7. Сформулируйте теорему о расположении центра тяжести симметричного тела.
8. Приведите формулы для определения положения центра тяжести простейших однородных тел и плоских фигур.
9. В чем заключается метод разбиения при нахождении центров тяжести тел?
10. Поясните способ отрицательных масс.
11. Как экспериментально определить положение центра тяжести неоднородного объекта сложной конфигурации
(автомобиль, самолет и т.п.)?
12. Объяснить порядок работы с установкой М5.
Критерии оценки результатов выполнения
лабораторной работы
1. Степень ознакомления с вопросами темы «Центр тяжести.
Методы определения положения центра тяжести тела».
2.
Степень овладения практическим и расчетным
(аналитическим) методами определения положения центра тяжести плоской фигуры.
3. Степень соответствия результатов работы заданным требованиям.