Отчёт по 1 л.р. (1). Лабораторная работа 1 Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям 2 и Колмогорова
![]()
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра прикладной математике Лабораторная работа № 1 Подбор закона распределения по опытным данным и проверка его согласия по критериям χ2 и Колмогорова Работу выполнил Гр. РНГМв-12 Работу принял Карандашов В.П. Пермь 2012 Исходные данныеВ таблице 1 приведена выборка результатов измерения веса 100 студентов обучающихся на 1ом курсе в педагогическом институте. Измерения проводились с точностью до 1 кг: Таблица 1 Выборка случайной величины объёмом n=100
1.1 Исключение ложных результатов в выборкеДля исключения из экспериментальных данных грубых ошибок (ложных результатов) воспользуемся критерием Стьюдента ![]() где ![]() ![]() ![]() Поскольку, выборка объёмом 100, то для исключения ложных результатов удобней воспользоваться методом вычисления максимального относительного отклонения: ![]() где ![]() ![]() ![]() Максимальное значение в данной выборке равняется Xmax=94, а минимальное значение Xmin=63. Рассчитаем математическое ожидание: ![]() И среднее квадратичное отклонение: ![]() Для ![]() ![]() ![]() Далее из ![]() ![]() ![]() ![]() Из таблицы распределения Стьюдента: ![]() ![]() Подставляя найденные значения τ при ![]() Оценка числовых характеристик распределения:Среднее арифметическое рассчитывается по формуле (2) и принимает значение равное 77.78 Эмпирическая дисперсия: ![]() Среднеквадратическое отклонение рассчитывается по формуле (3) и принимает значение ![]() Выборочное значение коэффициент вариации, является мерой относительной изменчивости наблюдаемой случайной величины в %, вычисляют по формуле: ![]() Выборочный коэффициент асимметрии (скошенности) это количественная характеристика показывающая сходство с нормальным распределением и рассчитываемая по формуле: ![]() Коэффициент асимметрии положителен, т.е. плотность распределения обладает положительной асимметрией Выборочный коэффициент эксцесса (островершинности) это количественная характеристика островершинности распределения, которая вычисляется по формуле: ![]() Эксцесс отрицателен, следовательно, вершина более пологая. Статистическая проверка случайности и независимости результатов наблюденийРассмотрим критерий серий, основанный на медиане выборки. Так как значение n – чётное, то выборочное значение медианы принимает вид ![]() В исходной выборке вместо каждого хi будем ставить "+", если хi>xmed(n), "-", если хi < xmed(n). Если хi = xmed(n), то не ставится никакой знак. Полученная последовательность "+" и "-" может характеризоваться количеством серий (n) и длиной самой длинной серии (n). При этом под серией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-". Если выборка стохастически независима (выборка случайна), то чередование плюсов и минусов в последовательности должно быть случайно. Таким образом, в данном критерии рассматриваются две критические статистики ![]() ![]() где в квадратных скобках неравенства обозначена […] – целая часть, ![]() ![]() Рассмотрим второй критерий - Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий. По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии «восходящих» и «нисходящих» серий также формируется последовательность серий "+" и "-". Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности xi, i = ![]() При уровне значимости q=0.05 количественное выражение этого правила примет вид: ![]() где ![]() ![]() ![]() Проверка нормальности распределенияКритерий, основанный на вычислении среднего абсолютного отклонения (САО).Для выборки n > 120 среднее абсолютное отклонение вычисляется по формуле: ![]() Для выборки, имеющий приближенно нормальный закон распределения, должно быть справедливо выражение: ![]() Подставляя значения в данное неравенство получаем ![]() Критерий, основанный на анализе показателей асимметрии и эксцесса.В случаи нормального распределения характеристики асимметрии и эксцесса должны быть нулевыми. Вычислим выборочные характеристики асимметрии ![]() ![]() ![]() Далее определим среднеквадратическое отклонение выборочных асимметрий и эксцесс соответственно: ![]() ![]() Если выполняются два неравенства, ![]() то гипотеза о нормальном законе распределения рассматриваемой случайной величины принимается. Подставляя полученные значения в неравенство (9) получаем: ![]() Гипотеза о нормальном законе может быть принята. Построение гистограммы, полигона и кумулянты.Разделим данные выборки на классы и построим полигон, гистограмму и кумулянту частот. Гистограмма и полигон дают графическое представление об эмпирической функции плотности этой переменной, а кумулятивная кривая – о её эмпирической функции распределения. Для этого выполним следующие преобразования: 1) находим xmin=63 и xmax=94, Размах выборки R= xmax- xmin = 31; 2) n=100 наблюдений; 3) Определяем длину интервала разбиений: ![]() Длину интервала принимаем равной 4.0, число интервалов возьмём 8. 4) Разбиваем массив данных на интервалы и вычисляем частоту. Результаты этой операции представлены в таблице 2. Таблица 2.
5) После составления таблицы строим полигон, гистограмму и кумулянту распределения результатов наблюдения: ![]() Рис.1. Полигон распределения ![]() Рис.2. Гистограмма распределения ![]() Рис. 3. Кумулянта распределения По виду гистограммы подбираем закон распределения случайной величины. В данной работе имеем гистограмму близкую к гистограмме нормального закона распределения. Нормальный закон: ![]() ![]() ![]() Проверим по критериям согласия, будут ли опытные данные согласоваться с нормальным законом распределения. Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию Условие: ![]() где r – число интервалов, на которые разбиты исходные опытные данные; ni – число опытных данных, попавших в i-ый интервал (абсолютная частота); ![]() ![]() где n- объём выборки. В случае нормального закона распределения ![]() где ![]() Для первого интервала левый конец изменим на - ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таблица 3
Таблица 4
Таблица 5
Столбцы ![]() ![]() ![]() ![]() По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α=0.01 и числу степеней свободы k=S-3=8-3=5 (S-число интервалов, 3-количество неизвестных параметров нормального закона распределения), находим критическую точку ![]() Имеем ![]() Проверка согласия опытных данных с нормальным законом распределения по критерию Колмогорова.λ=D ![]() ![]() где ![]() ![]() Расчёты согласия по критерию Колмогорова приведены в таблице 6, где nx и ![]() Таблица 6
D = 0.0788; при n=100; λ=D ![]() ![]() Имеем λ < λкр , следовательно, по критерию Колмогорова имеем, что опытные данные согласуются с нормальным законом распределения. Графики функций плотности и распределения.![]() ![]() ![]() ![]() |