ПР-08. 20_Ращенко_08. Лабораторная работа 8 Исследование простейшей демографической модели Мальтуса

• Название: Лабораторная работа 8 Исследование простейшей демографической модели Мальтуса
• Анкор: ПР-08
• Дата: 22.01.2023
• Размер: 432 Kb.
• Имя файла: 20_Ращенко_08.doc
• Тип: Лабораторная работа; #899505

Лабораторная работа № 8

Исследование простейшей демографической модели Мальтуса.

1. Постановка задачи

Исследовать простейшую модель популяции – демографическую модель Мальтуса. Модель Мальтуса – модель, описывающая изменение численности популяции со временем.

В данной работе необходимо описать динамику изменения численности популяции со временем, определить зависимость коэффициентов рождаемости и смертности от времени.

Необходимо исследовать рассматриваемую модель в двух вариантах:

• 
  Численность не зависит от равновесной популяции
  
• 
  Численность зависит от равновесной популяции (При этом использовать как полученное на лекции аналитическое решение, так и численное решение задачи Коши (см. процедуры ode23 ode45)
  

2. Рассматриваемые модели

Численность популяции может меняться во времени различным образом: расти, совершать колебания, падать, и причины этого могут быть различны. В своей работе я попробую рассмотреть модели роста популяций и математический аппарат, позволяющий описывать динамику численности разных популяций.

3. Простейшая модель Мальтуса (численность не зависит от равновесной популяции)

Всемирно известной математической моделью, в основу которой положена задача о динамике численности популяции, является классическая модель неограниченного роста - геометрическая прогрессия в дискретном представлении, или экспонента, - в непрерывном, . Здесь r в общем случае может быть функцией как самой численности, так и времени, или зависеть от других внешних и внутренних факторов.

Модель предложена Мальтусом в 1798 г. в его классическом труде "О законе роста народонаселения". Томас Роберт Мальтус (1766-1834) - известный английский демограф и экономист, обратил внимание на тот факт, что численность популяции растет по экспоненте (в геометрической прогрессии).

1. Упрощающие предположения

• 
  Численность популяции (ее изменение) не зависит от среды обитания и ресурсов (т.е. ресурсы не ограничены), вмешательства людей, экономических и других факторов;
  
• 
  Биологическая система замкнута;
  
• 
  Не учитывается равновесная популяция;
  

2. Построение математической модели

Для построения этой математической модели будем использовать аналогии с уже изученными явлениями. Проведем аналогию между динамикой популяции и радиоактивным распадом.

Пусть - численность популяции в момент времени t;

- коэффициент рождаемости;

- коэффициент смертности.

Изменение численности популяции за отдельно взятый промежуток времени dt равно разности прироста и убыли населения.

.

Мы видим, что скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N(t), умноженной на сумму коэффициентов рождаемости и смертности .

Это уравнение в значительной степени похоже на уравнение радиоактивного распада, оно совпадает с ним при ( и постоянные).

Разделим переменные и проинтегрируем уравнение:

,

где N(0) – начальная численность.



1 Изменение численности популяции со временем в Модели Мальтуса

3. Реализация задачи в MATLAB

Рассмотрим случаи, когда коэффициенты рождаемости и смертности постоянны.

Смоделируем ситуацию, когда коэффициент рождаемости больше коэффициента смертности. Для этого создадим m-файл функцию f1.m:

function [y1]=f1(t)

alfa=0.2; %Задаем характеристику рождаемости

beta=0.175; %Задаем характеристику смертности

y1=alfa*t-beta*t; % Численность населени9

Теперь смоделируем ситуацию, когда коэффициент рождаемости меньше коэффициента смертности. Создадим m-файл функцию f2.m:

function [y2]=f2(t)

alfa2=0.121;%Задаем характеристику рождаемости

beta2=0.23; %Задаем характеристику смертности

y2=alfa2*t-beta2*t; % Численность населени9

И, напоследок, рассмотрим ситуацию, когда коэффициенты рождаемости и смертности равны. Создадим m-файл функцию f3.m:

function [y3]=f3(t)

alfa3=0.3;%Задаем характеристику рождаемости

beta3=0.3; %Задаем характеристику смертности

y3=alfa3*t-beta3*t; % Численность населени9

Построим графики, иллюстрирующие зависимость численности популяции от времени ее существования при различных коэффициентах рождаемости и смертности:

clear

clc

N0=input('Введите первоначальную численность населения ');

tmax=input('Введите конечное время для исследования ');

for i=1:tmax;

N1(i)=N0*exp(quad('f1',i-1,i));

end;

plot(N1,'r-')

grid on

hold on;

for i=1:tmax;

N2(i)=N0*exp(quad('f2',i-1,i));

end;

plot(N2,'b-')

grid on

for i=1:tmax;

N3(i)=N0*exp(quad('f3',i-1,i));

end;

plot(N3,'g-')

grid on

legend('alfa>beta','alfa


2 График зависимости численности популяции от времени ее существования

Построим этот же график при помощи функции ode23

Создадим две m-файл функции:

yp2.m, где коэффициент рождаемости больше коэффициента смертности:

function dN=yp2(t,N)

alfa=0.2;

beta=0.175;

dN=(alfa-beta)*N;

yp3.m, где коэффициент рождаемости меньше коэффициента смертности:

function dN=yp3(t,N)

alfa=0.121;

beta=0.23;

dN=(alfa-beta)*N;

Построим графики и сравним их с уже ранее построенными:

N0=input('Введите первоначальную численность населения ');

tmax=input('Введите конечное время для исследования ');

[t,N]=ode23('yp2',[0 tmax],N0);

plot(t,N,'b-');

grid on

hold on

xlabel('t')

ylabel('N(t)')

for i=1:tmax;

N1(i)=N0*exp(quad('f1',i-1,i));

end;

plot(N1,'r-')

[t,N]=ode23('yp3',[0 tmax],N0);

plot(t,N,'b-');

for i=1:tmax;

N2(i)=N0*exp(quad('f2',i-1,i));

end;

plot(N2,'r-')

На графике синий цвет - решение уравнения при помощи функции ode23

4. Выводы

При _{ }=_{ } численность остаётся постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величина N(0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства _{ }=_{ } приводит с течением времени ко всё большему отклонению функции N(t) от равновесного значения N(0). При  <  численность населения убывает и стремится к нулю при , а при  >  растёт по некоторому экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при . Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасения Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Также Мальтус подметил, что в отличие от численности популяции, производство питания растет со временем линейно (в арифметической прогрессии), из чего сделал справедливый вывод, что рано или поздно экспонента обязательно "обгонит" линейную функцию, и наступит голод.

На основании этих выводов Мальтус говорит о необходимости ввести ограничения на рождаемость, в особенности для беднейших слоев общества.

В соответствии с экспоненциальным законом изолированная популяция развивалась бы в условиях неограниченных ресурсов. В природе такие условия встречаются крайне редко. Примером может служить размножение видов, завезенных в места, где имеется много пищи, и отсутствуют конкурирующие виды и хищники (кролики в Австралии).

4. Модель Мальтуса – Ферхюльста

Обсуждению важности вывода Мальтуса для популяционной динамики великий Дарвин посвятил несколько страниц своего дневника, указывая, что поскольку ни одна популяция не размножается до бесконечности, должны существовать факторы, препятствующие такому неограниченному размножению. Среди этих факторов может быть нехватка ресурса (продовольствия), вызывающая конкуренцию внутри популяции за ресурс, хищничество, конкуренция c другими видами. Результатом является замедление скорости роста популяции и выход ее численности на стационарный уровень.

Впервые системный фактор, ограничивающий рост популяции, описал Ферхюльст в уравнении логистического роста. Он ввел в уравнение Мальтуса дополнительный отрицательный член, который пропорционален квадрату скорости роста и отражает уменьшение численности за счет ограниченности ареала обитания или же количества ресурсов.



Логистическое уравнение обладает двумя важными свойствами. При малых значениях N численность возрастает экспоненциально (как в уравнении ), при больших – приближается к определенному пределу Np. Эта величина, называемая емкостью экологической ниши популяции (равновесной численностью популяции), определяется ограниченностью пищевых и других ресурсов. Таким образом, емкость экологической ниши представляет собой системный фактор, который определяет ограниченность роста популяции в данном ареале обитания.

5. Упрощающие предположения

Для построения модели, примем следующие упрощающие предположения:

• 
  Существует «равновесная» численность популяции Np, которую может обеспечить окружающая среда;
  
• 
  Скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной на величину ее отклонения от равновесного значения.
  

6. Построение математической модели

Ранее мы ввели константу , которая обозначает равновесную численность популяции и - коэффициент естественной скорости роста популяции.

Т.о.имеем



Член в этом уравнение обеспечивает механизм «насыщения» численности – при скорость роста положительна (отрицательна) и стремится к нулю, если .

Представим дифференциальное уравнение в виде

, проинтегрировав его, получим



Постоянную интегрирования определим из условия , т.е. .

В результате

Или



3 Логистические кривые, соответствующие различным значениям начальной численности N(0)

Поведение функции N(t) описывается логистической кривой. При любом N(0) численность стремится к равновесному значению Np, причем тем медленнее, чем величина N(t) ближе к N(0). Т.о. в данной модели равновесие устойчиво (в отличие от модели, рассмотренной в первом примере).

7. Реализация задач в MATLAB

Создадим функцию yp.m

function dN=yp(t,N)

alfa=0.1;

Np=2000;

dN=N*(Np-N)*alfa/Np;

С помощью процедуры ode45 для численного решения задачи Коши найдем решение уравнения Ферхюльста.

Зададим значения начальной и равновесной численности популяции, общее время роста и построим график, иллюстрирующий зависимость численности популяции от времени:

N0=input('Введите первоначальную численность населения N0, меньшую 2000 ');

Np=2000;

plot(t,Np,'b')

grid on

hold on

for N00=N0:200:Np+N0

[t,N]=ode45('yp',0:0.01:50,[N00]);

if N00
plot(t,N,'r')

elseif N00==Np

plot (t,N)

elseif N00>Np

plot(t,N, 'g')

end

end

title('изменение численности популяции')

xlabel('t')

ylabel('N(t)')



4 График изменения численности популции по модели Мальтуса – Ферхюльста

8. Выводы

Логистическая модель более реалистично отражает динамику популяции по сравнению с моделью Мальтуса.