Численные методы (2). Лабораторная работа Численное интегрирование
 Скачать 175.27 Kb.
|
|
Лабораторная работа 4. Численное интегрирование В лабораторной работе необходимо вычислить значение определенного ин- теграла: F (t) = b \int a f (t, x)dx в точках t j = c + j\tau , \tau = d - c m , j = 0, ..., m, x i = a + ih, h = b - a n , i = 0, ..., n двумя способами: 1. методом удвоения числа шагов для достижения заданной точности, ис- пользуя стандартные квадратурные формулы; 2. используя квадратурные формулы Гаусса с 3 и 4 узлами. Для вычисления значения определенного интеграла будем использовать квадратурные формулы. Рассмотрим основные типы для ограниченной на отрезке [a, b] функции f (x) : F (x) = b \int a f (x)dx. Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) и прямыми x = a, x = b равняется значению определенного интеграла: S = F (x) = b \int a f (x)dx Использование квадратурных формул позволяет рассчитать интеграл по значениям: y i = f (x i ), i = 0, ..., n 24 в отдельно взятых точках (узлах) отрезка [a, b] : S n (g) = b=x n \int a=x 0 f (x)dx \approx n \sum i=0 p i \cdot f (x i ), где p i — веса (числовые коэффициенты), которые не зависят от f(x); веса опре- деляются по a, b и n. Рассмотрим основные типы квадратурных формул, когда [a, b] — конечный отрезок, а f(x) — ограниченная на нем функция. Квадратурная формула прямоугольников 1. Разделим отрезок [a, b] на n частей одинаковой длины: h = b - a n , \biggl( h = x n - x 0 n \biggr) 2. Пусть интегрируемая функция равна значению f(x) в средней точке c k = a + kh + h 2 рассматриваемого отрезка (функция f(x) заменяется интерполяцион- ным многочленом нулевого порядка) на каждом из полученных отрезков [x k , x k+1 ], k = 0, 1, ..., n - 1, x 0 = a, x n = b. Площадь под кривой при- ближаем суммой площадей прямоугольников высотой f(c k ) и шириной h 3. Значения определенного интеграла вычисляется по формуле: I R = h \cdot n - 1 \sum k=0 f \biggl( a + kh + h 2 \biggr) , k = 0, ..., n - 1. 25 |