Лекция 3 Линейное программирование. Лекции Основные понятия и определения. Математическая модель задачи
 Скачать 81.2 Kb.
|
|
Лекция 3. Линейное программирование План лекции: 1. Основные понятия и определения. 2. Математическая модель задачи. 3. Графический метод решения.
Математические исследования отдельных экономических проблем, математическая формализация числового материала проводилась ещё в XIX веке. При математическом анализе процесса расширенного производства использовались алгебраические соотношения, анализ их проводился с помощью дифференциального исчисления. Это давало возможность получить общее представление о проблеме. Развитие экономики потребовало количественных показателей, и в 1920 годы был создан межотраслевой баланс (МОБ). Он-то и послужил толчком в деле создания и исследования математических моделей. Разработка МОБ в 1924-1925 годах в СССР повлияла на работы экономиста и статистика Василия Васильевича Леонтьева. Он разработал межотраслевую модель производства и распределения продукции. В 1938 году Леонид Витальевич Канторович в порядке научной консультации приступил к изучению чисто практической задачи по составлению наилучшего плана загрузки лущильных станков (фанерный трест). Эта задача не поддавалась обычным методам. Стало ясно, что задача не случайная. В 1939 году Леонид Витальевич Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой сформулировал новый класс экстремальных задач с ограничениями и разработал эффективный метод их решения, таким образом были заложены основы линейного программирования. Изучение подобных задач привело к созданию новой научной дисциплины линейного программирования и открыло новый этап в развитии экономико-математических методов. В 1949 году американский математик Джордж Бернард Данциг разработал эффективный метод решения задач линейного программирования (ЗЛП) - симплекс-метод. Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования» (один из переводов англ. programming). Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации. Линейное про граммирование – раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на уни версальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного про граммирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. 2. Математическая модель задачи Формы записи задачи линейного программирования: Общей задачей линейного программирования называют задачу  (1) при ограничениях  (2)  (3)  (4)  (5)  - произвольные  (6) где  - заданные действительные числа; (1) – целевая функция; (1) – (6) –ограничения; - план задачи.Наиболее часто используются оптимизационные модели принятия решений. Их общий вид таков: F(X) → max; X ϵA, где Х — параметр, который менеджер может выбирать (управляющий параметр). Он может иметь различную природу — число, вектор, множество и т.п. Цель менеджера — максимизировать целевую функцию F(X), вы брав соответствующий Х. При этом он должен учитывать ограничения X ϵA на возможные значения управляющего параметра Х — он должен лежать в множестве А. Рассмотрим примеры оптимизационных задач менеджмента. Среди оптимизационных задач менеджмента наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(X) линейная, а ограничения А задаются линейными не равенствами. 3. Графический метод решения. Производственная задача. Цех может производить стулья и сто лы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола — 20 единиц (футов красного дерева). Стул требует 10 человеко- часов, стол — 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко-часов. Прибыль при производстве стула — 45 дол. США, при производстве стола — 80 дол. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль? Обозначим Х1 число изготовленных стульев, Х2 — число столов. Задача оптимизации имеет вид: 45Х1 + 80Х2 → max; 5Х1 + 20Х2 < 400; 10Х1 + 15Х2 < 450; Х1 > 0; Х2 > 0. В первой строке выписана целевая функция — прибыль при выпуске Х1 стульев и Х2 столов. Ее требуется максимизировать, выбирая оптимальные значения переменных Х1 и Х2 . При этом должны быть выполнены ограничения по материалу (вторая строчка) — истрачено не более 400 футов красного дерева. А также и ограничения по труду (третья строчка) — затрачено не более 450 ч. Кроме того, нельзя забывать, что число столов и число стульев неотрицательны. Если Х1 = 0, то это значит, что стулья не выпускаются. Если же хоть один стул сделан, то Х1 положительно. Но невозможно представить себе отрицательный выпуск — Х1 не может быть отрицательным с экономической точки зрения, хотя с математической точки зрения такого ограничения усмотреть нельзя. В четвертой и пятой строчках задачи и констатируется, что переменные неотрицательны. Условия производственной задачи можно изобразить на координатной плоскости. Будем по оси абсцисс откладывать значения Х1, а по оси ординат — значения Х2. Тогда ограничения по материалу и последние две строчки оптимизационной задачи выделяют возможные значения (Х1, Х2) объемов выпуска в виде треугольника (рис. 1).  Рис. 1. Ограничения по материалу Таким образом, ограничения по материалу изображаются в виде выпуклого многоугольника, в данном случае — треугольника. Этот треугольник получается путем отсечения от первого квадранта примы кающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соот ветствующей второй строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х1, соответствующую стульям, в точке (80,0). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление стульев, то будет изготовлено 80 стульев. Та же прямая пересекает ось Х2, соответствующую столам, в точке (0,20). Это означает, что если весь материал пустить на изготовление столов, то будет изготовлено 20 сто лов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, что означает — материал останется. Аналогичным образом можно изобразить и ограничения по труду (рис. 2).  Рис. 2. Ограничения по труду Ограничения по труду, как и ограничения по материалу, изображаются в виде треугольника, который получается аналогично — путем отсечения от первого квадранта примыкающей к началу координат зоны. Отсечение проводится прямой, соответствующей третьей строке исходной задачи, с заменой неравенства на равенство. Прямая пересекает ось Х1, соответствующую стульям, в точке (45,0). Это означает, что если все трудовые ресурсы пустить на изготовление стульев, то будет сделано 45 стульев. Та же прямая пересекает ось Х2, соответствующую столам, в точке (0,30). Это означает, что если всех рабочих поставить на изготовление столов, то будет сделано 30 столов. Для всех точек внутри треугольника выполнено неравенство, что означает — часть рабочих будет простаивать. Мы видим, что очевидного решения нет — для изготовления 80 стульев есть материал, но не хватает рабочих рук, а для производства 30 столов есть рабочая сила, но нет материала, Значит, надо изготавливать и то и другое. Но в каком соотношении? Чтобы ответить на этот вопрос, надо «совместить» рис. 1 и рис. 2, получив область возможных решений, а затем проследить, какие значения принимает целевая функция на этом множестве (рис. 3).  Рис. 3. Основная идея линейного программирования Таким образом, множество возможных значений объемов вы пуска стульев и столов (Х1, Х2), или, в других терминах, множество А, задающее ограничения на параметр управления в общей оптимизаци онной задаче, представляет собой пересечение двух треугольников, т.е. выпуклый четырехугольник, показанный на рис. 3. Три его вершины очевидны — это (0,0), (45,0) и (0,20). Четвертая — это пересечение двух прямых — границ треугольников на рис. 1 и рис. 2, т.е. решение сис темы уравнений 5Х1 + 20Х2 = 400; 10Х1 + 15Х2 = 450. Из первого уравнения: 5Х1 = 400 - 20 Х2, Х1 = 80 - 4Х2. Подставляем значение X1, выраженное через X2, во второе уравнение: 10(80 - 4Х2) + 15Х2 = 800 - 40Х2 + 15Х2 = 800 - 25Х2 = 450, следовательно, 25Х2 = 350, Х2 = 14, откуда Х1 = 80 - 4 х 14 = 80 - 56 = 24. Итак, четвертая вершина четырехугольника — это (24, 14). Надо найти максимум линейной функции на выпуклом многоу гольнике. (В общем случае линейного программирования — максимум линейной функции на выпуклом многограннике, лежащем в конечно мерном линейном пространстве.) Основная идея линейного програм мирования состоит в том, что максимум достигается в вершинах мно гоугольника. В общем случае — в одной вершине, и это — единственная точка максимума. В частном — в двух, и тогда отрезок, их соединяющий, тоже состоит из точек максимума. Целевая функция 45Х1 + 80Х2 принимает минимальное значение, равное 0, в вершине (0,0). При увеличении аргументов эта функция увеличивается. В вершине (24, 14) она принимает значение 2200. При этом прямая 45Х1 + 80Х2 = 2200 проходит между прямыми ограничений 5Х1 + 20Х2 = 400 и 10Х1 + 15Х2 = 450, пересекающимися в той же точке. Отсюда, как и из непосредственной проверки двух оставшихся вершин, вытекает, что максимум целевой функции, равный 2200, достигается в вершине (24, 14). Таким образом, оптимальный выпуск таков: 24 стула и 14 столов. При этом используется весь материал и все трудовые ресурсы, а при быль равна 2200 дол. |