ить. практикум 3н. Функции распределения. Лекционный материал по данной теме см в лекции 3
 Скачать 265.14 Kb.
|
|
Лекционный материал по данной теме см. в лекции 3. Понятие случайной величины (с.в.)является основным понятием теории вероятностей. Если множество значений случайной величины содержит целый отрезок числовой оси, то такие случайные величины называют непрерывными. Интегральной функцией распределения непрерывной с.в.  называется функция  переменной , выражающая вероятность того, что в результате испытания примет значение, меньшее, чем   (1)Пусть задана интегральная функция распределения вероятности .  Дано  Требуется : Найти плотность вероятности  ;Построить графики  ;Найти  Найти   Решение. По определению  в точках, где  существует   Для определения  воспользуемся правилом  . Отсюда . И поэтому    ;  Строим графики функций     1   4 Г  рафик    0,5   4График Определяем числовые характеристики непрерывных с.в. Математическое ожидание  Дисперсию  Среднее квадратическое отклонение  Найдем вероятность попадания с.в. в интервал (1;3)  Пусть задана дифференциальная функция (плотность) распределения вероятности. Д  ано Требуется : Найти плотность вероятности ;Найти , построить графики ;Найти Найти   Решение. Чтобы найти нужно определить постоянную из условия   Определяем интегральную функцию : При  имеем При  имеем  При  имеем Отсюда   Строим график  1  График Строим график  1 График     Далее рассматриваем нормальное распределение случайной величины. Нормальное распределение играет исключительно важную роль в приложениях теории вероятностей к практическим задачам Нахождение вероятности по интервалу. Пример 1.Пусть параметры, закладываемые на временное формирование поездов, подчиняются нормальному закону распределения с параметрами МХ=120мин,  мин. Что более вероятно: время формирования поезда от80 до 100 или от120 до 150 мин?Решение. Обозначим случайную величину через Х- (время формирования поезда). Эта случайная величина распределена по нормальному закону.  Обозначения:  математическое ожидание случайной величины распределённой по нормальному закону.  дисперсия случайной величины распределённой по нормальному закону.  среднеквадратичное отклонение  . Пример 2. Пусть случайная величина распределена по нормальному закону (см. лекцию3 формулу(8)). Параметры распределения заданы . Найти вероятность того, что примет значение в интервале . Решение. Согласно формуле (11) см. лекцию 3 имеет место  По таблице значений функции  находим  Отсюда  Пример 3. Пусть случайная величина распределена по нормальному закону (см. лекцию3 формулу(8)). Параметры распределения заданы . Найти вероятность того, что примет значение в интервале . Решение. Согласно формуле (11) см. лекцию 3 имеет место  По таблице значений функции находим  Отсюда  Пример 4. Пусть случайная величина распределена по нормальному закону (см. лекцию3 формулу(8)). Параметры распределения заданы . Найти вероятность того, что примет значение в интервале . Решение. Согласно формуле (11) см. лекцию 3 имеет место  По таблице значений функции находим  Отсюда   Пример 5. Пусть случайная величина распределена по нормальному закону (см. лекцию 3 формулу(8)). Параметры распределения заданы . Найти вероятность того, что примет значение в интервале Решение. Согласно формуле (11) см. лекцию3 имеет место  По таблице значений функции находим  Отсюда  . Пример 6. Пусть случайная величина распределена по нормальному закону (см. лекцию 3 формулу(8)). Параметры распределения заданы . Найти вероятность того, что примет значение в интервале Решение. Согласно формуле (11) см. лекцию3 имеет место  По таблице значений функции находим  Отсюда  Нахождение интервала по вероятности нормально распределённой случайной величины. Пример 7. 1) Применяем формулу  из лекции 3. Длина изготавливаемой автоматом детали нормальная случайная величина Х С параметрами см и  см. Найти вероятность брака, если допускаемые размеры детали должны быть  см. Какой диапазон длины деталей можно гарантировать с вероятностью 0,8?Решение. Найдем вероятность того, что деталь не является бракованной, то есть  Тогда противоположное событие это вероятность брака. Она равна   .2). Для вычисления диапазона длины деталей, который можно гарантировать с вероятностью  , применяем формулу из лекции 3. Из условия задачи имеем:  По формуле (12) о вероятности отклонения случайной величины от математического ожидания получим  .Тогда, по таблице значений функции получаем  . По условию Ответ. Вероятность получения бракованной детали равна  С вероятностью 0,8 можно гарантировать диапазон длины деталей см. Это означает, что 20% деталей будут иметь отклонения от стандартной длины  больше чем . Пример 8. Случайная величина распределена по нормальному закону. Математическое ожидание случайной величины :  см. Дисперсия случайной величины : см. Какой интервал распределения случайной величины можно гарантировать с вероятностью  . Решение. Определяем среднее квадратическое отклонение  случайной величины : . Применяем формулу (12) из лекции 3  . Следовательно . Откуда ,по таблице значений функции получаем  .С вероятностью можно гарантировать интервал . Пример 9. Диаметр вала – случайная величина , распределённая по нормальному закону . В каких границах следует ожидать диаметры валов при их массовой закупке, чтобы вероятность их нахождения в этих границах была равна 0,98.Решение. Применяем (12) из лекции 3  . Следовательно . Откуда ,по таблице значений функции получаем  и  .Ожидаемые границы валов  . Пример 10. Автомат изготовляет шарики. Шарик стандартный, если отклонение диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше  мм. Считается, что случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами  мм. Найти сколько в среднем будет стандартных шариков из ста заготовленных.Решение. Из условия задачи следует:  . Применяем формулу (12) из третьей лекции :  . Следовательно, вероятность отклонения от проектного размера шарика на величину меньшую чем равна  Вывод. Примерно  шарика из каждой сотни будут стандартными. Домашнее задание. Задачи из ИДЗ. № 6,7,8 |