Лекция 10. Плоская система произвольно расположенных сил. Момент силы относительно точки. Условие равновесия
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
Лекция № 10. Плоская система произвольно расположенных сил. Момент силы относительно точки. Условие равновесия. Во многих случаях практики все силы, действующие на какие-либо сооружения или механизмы, приводятся к системе сил, лежащих в одной плоскости. Однако это имеет место далеко не всегда. Поэтому в статике приходится изучать приведение и равновесие систем сил, не лежащих в одной плоскости, так называемых пространственных систем сил. Система нескольких сил, линии, действия которых не лежат в одной плоскости, но пересекаются в одной точке, называется, пространственной системой сходящихся сил. Пусть в точке О приложено несколько сил, не лежащих в одной плоскости, например четыре силы F 1 ;F 2 ;F 3 ;F 4 Для сложения двух каких-либо сил такой системы, например для сложения сил F 1 и F 2 . мы можем применить правило сложения сходящихся сил на плоскости и найти их равнодействующую F гл , приложенную в той же точке О. Проведя плоскость через эту равнодействующую и какую-либо третью силу F 3 , мы можем найти по тому же правилу треугольника равнодействующую F 1,2,3 трех сил F 1 ;F 2 ;F 3 и т. д. Равнодействующая пространственной системы сходящихся сил изображается по модулю и направлению замыкающей стороной многоугольника (ОАВСD), построенного на составляющих силах, т. е. является их геометрической суммой: F Σ = F 1 +F 2 + F 3 +F 4 или F Σ = ΣF n Необходимо иметь в виду, что силовой многоугольник, получающийся при сложении пространственной системы сил, не будет плоским. Неплоский многоугольник можно построить в действительности, например, из проволоки. В частном случае равнодействующая пространственной системы трех сходящихся сил изобразится по модулю и направлению диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах. (Правило параллелепипеда сил.). Исходя из правила параллелепипеда, легко решить и обратную задачу — разложение силы по трем заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости. Для этого, очевидно, достаточно построить параллелепипед, ребра которого имели бы заданные направления, а диагональю, которого являлась бы заданная сила. В случае, если три заданных направления совпадают с направлениями осей координат, то составляющие ОВ, ОС и ОD силы F= ОА соответственно равны по модулю абсолютным величинам проекций данной силы на оси пространственной системы координат. ОВ = |OX| OC = |Y| OD = |Z| Откуда 2 2 2 Z Y X F + + = Модуль силы равен квадратному корню из суммы квадратов её проекций на три любые взаимно перпендикулярные оси. Формулы определяющие направление равнодействующей Cos (F Σ ;X)=X Σ / F Σ Cos (F Σ ;Y)=Y Σ / F Σ Cos (F Σ ;Z)=Z Σ / F Σ Для равновесия пространственной системы сходящихся вил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из трех любых взаимно перпендикулярных осей. Момент силы относительно оси Моментом силы относительно какой-либо оси называется величина, характеризующая вращательный эффект данной силы относительно этой оси. Начнем с конкретного примера. Представим себе, что сила F, приложенная к телу, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, например к двери, вращающейся на петлях вокруг оси, не лежит в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Ясно, что составляющая данной силы, параллельная оси вращения тела, не может сообщить ему вращательного движения; эта сила стремится только сдвинуть тело вдоль оси и вращательный эффект вызывает лежащая в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела, составляющая F’ (являющаяся проекцией данной силы F на плоскость, перпендикулярную к оси вращения тела). Следовательно, мерой вращательного эффекта действия проекции к оси вращения, относительно точки данной плоскостью. Этот момент называется моментом силы F относительно оси. Итак, момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью. Момент силы относительно оси вполне определяется своим численным значением и знаком и является, следовательно, скалярной алгебраической величиной. Заметим, что: 1. момент силы относительно данной оси не изменяется при перенесении силы вдоль ее линии действия, так как при этом не изменяется ни проекция силы на данную плоскость, ни ее плечо; 2. момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы и ось лежат в одной плоскости. При этом возможны два случая. а) Сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси. б) Линия действия силы пересекает ось. Тогда проекция силы на плоскость проходит через точку пересечения оси с плоскостью, и ее плечо относительно этой точки равно нулю. Условия равновесия системы сил, как угодно расположенных в пространстве. Способ приведения сил к одному центру, вполне применим и для системы сил, как угодно в пространстве. Согласно теореме Пуансо всякую силу можно перенести параллельно самой себе в любую точку тела, прибавляя при этом некоторую пару. Перенеся каждую из сил пространственной системы в одну какую-либо произвольную точку О (центр приведения), получим пространственную систему сходящихся в этой точке сил и систему пар, расположенных в различных плоскостях. Силы, приложенные к одной точке О, можно сложить по правилу силового многоугольника и заменить одной эквивалентной им силой приложенной в той же точке О: Так же как и для плоской системы сил, вектор F гл , равный геометрической сумме всех данных сил пространственной системы, называется главным вектором этой системы. Модуль этой силы можно вычислить по формуле, установленной ранее для модуля равнодействующей пространственной системы сходящихся сил: + + = 2 2 2 n n n Z Y X F Существуют способы сложения пар, расположенных как угодно в пространстве. Пользуясь определенными правилами, можно найти не только модуль результирующей пары, но и плоскость, в которой будет расположена данная пара, и направление вращения пары в этой плоскости. Для равновесия системы сил, расположенных как угодно в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю как главный вектор системы, так и ее главный момент, относительно произвольно выбранного центра приведения. Этим условиям можно придать и более удобную для практических целей аналитическую форму. ΣX n = 0 ΣY n = 0 ΣZ n = 0 ΣM x (F n ) = 0 ΣM y (F n ) = 0 ΣM z (F n ) = 0 Для равновесия системы сил, расположенных как угодно в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из трех произвольно выбранных, но не лежащих в одной плоскости координатных осей, и суммы моментов всех сил относительно каждой аз трех таких осей. Уравнения равновесия пространственной системы параллельных сил Для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю алгебраическая сумма всех сил и суммы моментов всех сил относительно каждой аз двух осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной к данным параллельным силам. Задание для самостоятельной работы. Изучив материал оформить конспект и выполнить тесты. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов – М.: Высшая школа, 2000. § 1.31-1.35 Олофинская В.П. Техническая механика: Сборник тестовых заданий. – М., Форум- Инфра-М, 2002. |