Лекция 10. Применение комплексных чисел к расчету электрических цепей (метод комплексных амплитуд) План
 Скачать 190.93 Kb.
|
|
97 Лекция 10. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ К РАСЧЕТУ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ (МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД) План 1. Метод комплексных амплитуд. 2. Комплексные сопротивление и проводимость. 3. Расчет установившегося синусоидального режима в простейших цепях. 4. Мощности в цепях синусоидального тока. 5. Выводы. 1. Метод комплексных амплитуд Тригонометрическая форма расчета цепей синусоидального тока приме- нима только для простейших цепей. Для анализа разветвленных цепей необ- ходим аналитический метод, позволяющий упростить расчет и использовать методы, разработанные для цепей постоянного тока. Таким методом является метод комплексных амплитуд или символический метод. Он основан на том, что синусоидальная функция известной частоты полностью характеризуется двумя вещественными числами: амплитудой m U и начальной фазой ψ Предположим, что напряжение источника в линейной цепи изменяется по закону ( ) ( ) y + w = t U t u m cos Будем использовать косинусную форму гармонической функции. Это упростит дальнейшие выкладки. Представим ( ) t u в виде полусуммы двух со- пряженных комплексных чисел ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y + w - y + w + 2 1 = ¢¢ + ¢ = y + w = t j m t j m m e U e U t u t u t U t u cos Представление гармонической функции в виде суммы комплексных экспонент удобно потому, что определить реакцию цепи на воздействие в форме экспоненты значительно проще, чем при гармоническом воздействии. Действительно, дифференцирование комплексной экспоненты равносильно умножению ее на ω j , а интегрированию t j е w соответствует деление на ω j : ( ) t j t j е j е dt d w w w = , ( ) t j t j e j dt e w w w 1 = ò 98 Поэтому поведение цепи при экспоненциальном воздействии описыва- ется не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями. В соответствии с принципом наложения реакцию цепи представим в виде суммы реакций на действие двух комплексных функций: ( ) t j j m e e U t u w y 2 1 = ¢ и ( ) t j j m e e U t u w - y - 2 1 = ¢¢ Очевидно, что составляющие реакции будут отличаться только знаком аргумента. Поэтому достаточно определить реакцию цепи на действие только одной составляющей, ( ) t j j m e e U t u w y 2 1 = ¢ Рассмотрим подробнее комплексную функцию t j m t j j m e U e e U w w y = & . (10.1) Величину y = j m m e U U& называют комплексной амплитудой. Модуль m U& равен амплитуде синусоидальной функции, а аргумент – ее начальной фазе. Второй множитель в формуле (10.1) – экспонента t w j e имеет модуль, равный единице. Комплексную амплитуду удобно представлять графически, в виде век- тора на комплексной плоскости (рис. 10.1). Длина вектора пропорциональна амплитуде m U , а угол, образованный вектором и положительной веществен- ной полуосью, равен начальной фазе ψ . Совокупность векторов, изобра- жающих несколько синусоидальных функций одинаковой частоты, называют векторной диаграммой. Векторная диаграмма позволяет наглядно судить с соотношениях между амплитудами и начальными фазами гармонических на- пряжений и токов цепи или ее участка. Между синусоидальной функцией и ее символиче- ским изображением в виде комплексной амплитуды су- ществует однозначное соответствие. Если задана гармо- ническая функция, то с помощью формулы (10.1) нахо- дится ее комплексная амплитуда. Комплексная амплитуда не зависит от времени и является функцией частоты, так как ее модуль и аргумент (амплитуда и начальная фаза синусоидальной функции) зависят от частоты приложенного сигнала. Поэтому ком- плексную амплитуду гармонической функции можно рассматривать как пре- образование временной функции в частотную область. Рис. 10.1 99 Наряду с комплексной амплитудой при расчете цепей синусоидального тока широко используют другую комплексную величину – комплексное дей- ствующее значение: y = 2 = j m Ue U U & & Комплексное действующее значение представляет комплексное число, модуль которого равен действующему значению гармонической функции, а аргумент – ее начальной фазе. Величины 2 = m U U & & и 2 = m I I & & называют комплексными напряжением и током цепи. Использование комплексных амплитуд значительно упрощает расчет це- пей синусоидального тока. Это объясняется тем, что дифференцированию гар- монической функции соответствует умножение комплексной амплитуды на ω j , а интегрированию – деление на ω j . Поэтому при переходе к комплексным ам- плитудам мы получаем систему алгебраических уравнений. Уравнения имеют такую же форму, как и для резистивных цепей, только все токи и напряжения оказываются комплексными. Это позволяет применять для анализа цепей сину- соидального тока все методы расчета цепей постоянного тока. Расчет цепи синусоидального тока символическим методом проводится в следующем порядке. На первом этапе гармонические токи и напряжения за- меняют комплексными амплитудами и определяют комплексные сопротивле- ния ветвей цепи. Затем составляют систему уравнений для комплексных ам- плитуд в соответствии с любым методом анализа резистивных цепей. Решая полученные уравнения, находят комплексы искомых токов и напряжений. Итак, при анализе цепей синусоидального тока операции над гармони- ческими функциями можно заменить операциями над комплексными ампли- тудами, которые являются символическими изображениями этих функций. Соответствующий метод получил название метода комплексных амплитуд или символического метода. Метод комплексных амплитуд был разработан американскими электротехниками А. Кеннели и Ч. Штейнметцем. 2. Комплексные сопротивление и проводимость. Закон Ома в комплексной форме Рассмотрим участок цепи, напряжение и ток которого изменяются по гармоническому закону: ( ) ( ) U m t U t u y + w = sin , ( ) ( ) I m t I t i y + w = sin 100 Соответствующие комплексные амплитуды: U j m m e U U y = & , I j m m e I I y = & Отношение m m I U Z & & = (10.2) называют комплексным сопротивлением участка цепи. Формула (10.2) выра- жает закон Ома в комплексной форме. Представим комплексное сопротивление в показательной форме: j = = j m m e Z I U Z & & Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд (действующих значений) напряжения и тока: m m I U Z = Его называют полным сопротивлением. Аргумент комплексного сопротивления I U y y j - = равен углу сдвига фаз между напряжением и током. Он положителен при отстающем токе (индук- тивная нагрузка) и отрицателен при опережающем токе (емкостная нагрузка). Запишем комплексное сопротивление в алгебраической форме: jX R Z + = Вещественную часть комплексного сопротивления cos j = Z R назы- вают активным сопротивлением. Мнимую часть комплексного сопротивле- ния φ sin Z X = называют реактивным сопротивлением. Полное сопротивление 2 2 + = X R Z Величину, обратную комплексному сопротивлению называют ком- плексной проводимостью: j - = = 1 = j m m Ye U I Z Y & & 101 Модуль комплексной проводимости m m U I Y = – полная проводимость. В алгебраической форме комплексная проводимость jB G Y - = Вещественную часть комплексной проводимости φ cos Y G = называ- ют активной проводимостью. Мнимую часть комплексной проводимости φ sin Y B = называют реактивной проводимостью. Нетрудно установить связь между активными и реактивными состав- ляющими комплексных сопротивления и проводимости: 2 2 2 2 + - + = + 1 = 1 = X R X j X R R jX R Z Y Таким образом, активная и реактивная проводимости равны соответственно: 2 2 + = X R R G , 2 2 + = X R X B Аналогично 2 2 + = B G G R , 2 2 + - = B G B X В заключение определим комплексные сопротивления двухполюсных элементов. Соотношения между комплексами напряжения и тока на зажимах резистивного, индуктивного и емкостного элементов следующие: I R U R & & = , I L j U L & & ω = , I C j U С & & ω 1 = Соответственно комплексные сопротивления R I U Z R R R = = & & , L L L L jX L j I U Z = w = = & & , C C C С jX C j C j I U Z - = w 1 - = w 1 = = & Комплексные сопротивления при последовательном или параллельном соединениях элементов находят так же, как и в случае резистивных цепей по- стоянного тока. Если известно комплексное сопротивление участка цепи, то по заданной амплитуде тока можно найти комплексную амплитуду напряжения. 102 3. Расчет установившегося синусоидального режима в простейших цепях Используем символический метод для расчета установившегося сину- соидального режима в простейших цепях. Расчет будем вести в комплексной форме, без составления уравнений для мгновенных значений напряжений и токов. В соответствии с общепринятой практикой расчет будем вести для действующих значений напряжений и токов. В самом начале расчета определяются комплексные действующие значения напряжений и токов источников, а также комплексные сопротивления ветвей. Последовательная RL-цепь. Рассмотрим RL-цепь, показанную на рис. 10.2. Поскольку элементы соединены последовательно, комплексное сопро- тивление L j R Z RL w + = Полное сопротивление RL-двухполюсника равно модулю RL Z , т. е. равно 2 2 2 L R Z RL w + = Аргумент RL Z ( ) R L arctg w j = Поэтому в показательной форме записи ( ) R L jarctg RL e L R Z w w 2 2 2 + = Комплекс тока в цепи ( ) ( ) R L arctg j U e L R E L j R E I w y w w - + = + = 2 2 2 & & Отсюда действующее значение и начальная фаза тока 2 2 2 L R E I w + = , ( ) R L arctg U I w y y - = Мгновенное значение тока в цепи ( ) ( ) I t I t i y w + = sin 2 103 Полученное решение показывает, что амплитуда тока и его начальная фаза зависят от амплитуды приложенного напряжения, величины R и L, а также от частоты w . Ток отстает от напряжения, приложенного к цепи, на угол ( ) R L arctg w j = . Этого и следовало ожидать, поскольку сопротивление цепи имеет индуктивный характер. Рис. 10.2 Рис. 10.3 Последовательная RC-цепь. Рассмотрим RC-цепь, показанную на рис. 10.3. Комплексное сопротивление C j R Z RC w 1 - = Полное сопротивление последовательной RC-цепи равно 2 2 2 1 C R Z RC w + = Аргумент RС Z ( ) ( ) CR arctg CR arctg w w j 1 1 - = - = В показательной форме записи комплексное сопротивление RC-цепи ( ) CR jarctg RC e C R Z w w 1 2 2 2 1 - + = Комплекс тока в цепи ( ) ( ) CR arctg j U e C R E С j R E I w y w w 1 2 2 2 1 1 + + = - = & & 104 Отсюда действующее значение и начальная фаза тока 2 2 2 1 C R E I w + = , ( ) CR arctg U I w y y 1 + = Поскольку комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер, ток опережает приложенное напряжение. Как и в случае RL-цепи, амплитуда тока и его начальная фаза зависят от частоты w 4. Мощности в цепях синусоидального тока Рассмотрим двухполюсную цепь, ток и напряжение которой изменяют- ся синусоидально: ( ) t U t u m w = sin ; ( ) ( ) j - w = t I t i m sin Мгновенная мощность равна произведению мгновенных значений на- пряжения и тока ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] φ ω 2 cos φ cos 2 - - = = t I U t i t u t p m m . (10.3) Согласно (10.3) мгновенная мощность, потребляемая двухполюсником, колеблется с удвоенной угловой частотой 2 w. Формула (10.3) содержит две составляющих: постоянную и переменную, изменяющуюся по гармониче- скому закону с частотой 2 w. Графики напряжения, тока и мгновенной мощ- ности для случая 6 0 = j cos показаны на рис. 10.4, а, б. Если фазовый сдвиг между напряжением и током 0 φ ¹ , то мгновен- ная мощность может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Когда мгновенная мощность положительна, энергия поглощается двухполюсником. В промежутки времени, когда мгновенная мощность отри- цательна, энергия частично возвращается во внешнюю цепь. Как уже отмечалось, среднее значение мгновенной мощности за период называют активной или средней мощностью. Поскольку второе слагаемое в (10.3) является гармонической функцией, его среднее значение равно нулю. Поэтому активная мощность рассматриваемой цепи ( ) ( ) ò 0 j = 1 = T UI dt t i t u T P cos . (10.4) 105 а б Рис. 10.4 Множитель φ cos называют коэффициентом мощности. Повышение коэффициента мощности представляет важную технико-экономическую за- дачу. Чем ближе φ cos к единице, тем большая активная мощность переда- ется приемнику при заданных значениях напряжения и тока. Промышленные электротехнические установки обладают не только активной, но и реактив- ной мощностью, которая обусловлена наличием большого числа электродви- гателей. Одним из способов компенсации реактивной мощности и повыше- ния за счет этого φ cos является включение конденсаторных батарей в узлах электрической системы. Величину, равную произведению действующих значений напряжения и тока, называют полной мощностью: UI S = . (10.5) Полная мощность равна амплитуде пульсаций мгновенной мощности. Единицей измерения полной мощности является вольт-ампер (ВА). В соот- ветствии с (10.4) и (10.5) коэффициент мощности равен отношению активной мощности к полной: S P = φ cos 106 Активная мощность равна полной только при 1 = j cos , т. е. при совпа- дении фаз напряжения и тока. Полную мощность можно рассматривать как модуль комплексной ве- личины, называемой комплексной мощностью: cos sin j S UI Se UI jUI P jQ · j = = = j + j = + % & . (10.6) В соответствии с (10.6) вещественной частью комплексной мощности является активная мощность. Мнимую часть комплексной мощности назы- вают реактивной мощностью: φ sin UI Q = Единицей измерения реактивной мощности является вольт-ампер реак- тивный (вар). Реактивная мощность характеризует процессы запасания энер- гии в цепи. Она численно равна максимальной скорости обмена энергией между двухполюсником и внешней цепью. Реактивная мощность положи- тельна при отстающем токе (т. е. при индуктивной нагрузке, когда 0 φ > ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка, когда 0 φ < ). Из формулы (10.6) и определения полной мощности следует, что 2 2 + = Q P S С помощью теоремы Телледжена можно показать, что для любой элек- трической цепи выполняется баланс комплексных мощностей: сумма ком- плексных мощностей, отдаваемых источниками, равна сумме комплексных мощностей, потребляемых приемниками. Отсюда следует, что равны нулю алгебраические суммы активных и реактивных мощностей цепи. 5. Выводы 1. Величину y = j m m e U U& называют комплексной амплитудой. Модуль m U& равен амплитуде синусоидальной функции, а аргумент – ее начальной фазе. 2. Комплексная амплитуда не зависит от времени и является функцией частоты, так как ее модуль и аргумент (амплитуда и начальная фаза синусои- дальной функции) зависят от частоты приложенного сигнала. Поэтому ком- плексную амплитуду гармонической функции можно рассматривать как пре- образование временной функции в частотную область. 107 3. Использование комплексных амплитуд значительно упрощает расчет цепей синусоидального тока. Это объясняется тем, что при переходе к ком- плексным амплитудам мы получаем систему алгебраических уравнений. Уравнения имеют такую же форму, как и для резистивных цепей, только все токи и напряжения оказываются комплексными. Это позволяет применять для анализа цепей синусоидального тока все методы расчета цепей постоян- ного тока. 4. Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока m m I U Z & & = называют комплексным сопротивлением участка цепи. 5. Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд напряжения и тока. Его называют полным сопротивлением. |