Главная страница

Лекция 19 Гармонические колебания_1. Лекция 19 физика колебаний и волн гармонические колебания и их характеристики


Скачать 0.72 Mb.
НазваниеЛекция 19 физика колебаний и волн гармонические колебания и их характеристики
Дата26.12.2022
Размер0.72 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаЛекция 19 Гармонические колебания_1.pdf
ТипЛекция
#864919


Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ЛЕКЦИЯ
19
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Гармонические колебания и их характеристики.
Гармонический осциллятор. Примеры осцилляторов
Метод векторной диаграммы. Представление колебаний в
комплексной форме.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Общие представления о колебательных и волновых процессах.
Колебаниями называются процессы, которые обладают той или
иной степенью повторяемости во времени.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Общие представления о колебательных и волновых процессах.
Свободными или собственными колебания развиваются в системе, представленной самой себе после того, как она была выведена из состояния равновесия.
Колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии. (колебания груза на пружине в поле сил тяготения).
Вынужденные колебания происходят в результате периодического воздействие внешнего источника энергии. электромагнитные колебания в контуре, куда включена периодическая ЭДС.
Колебания различной природы подчиняются одинаковым законам.
Пример: колебания груза, подвешенного на пружине, и изменение заряда конденсатора в колебательном контуре происходят по одному и тому же закону.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Гармонические колебания и их характеристики
Гармоническими называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса
(синуса). а) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; б) различные периодические процессы можно представить как наложение периодических колебаний.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Гармонические колебания и их характеристики
Гармонические колебания некоторой величины описываются уравнениями вида:
x


01
0
t
A
x




cos


02
0
t
A
x




sin
- круговая или циклическая частота;

- амплитуда колебания, т.е. наибольшее положительное отклонение величины от ее значения в состоянии равновесия;
A
x
02
0
t





01
0
t





и
- фазы колебаний, характеризующие текущее отклонение величины от равновесия.
x
При или , т.е. и - это начальные фазы колебаний.
0
t

01



02



01

02

или

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Гармонические колебания и их характеристики
Между параметрами гармонических колебаний существует связь :
T



2
2


где - частота колебаний (количество колебаний в единицу времени), - период колебаний, или время полного колебания.

T

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонические колебания






t
A
x
0
cos


2
cos
0 0









t
A
dt
dx











t
A
dt
x
d
dt
dv
0 0
2 2
cos
2
a
t
t
t
x
v
a
0
0
0
A

A

0
A


0
A


2
0
A


2
0
A


Колебания скорости опережают колебания координаты на угол
, колебания ускорения происходят в противофазе с колебаниями координаты
2

ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Гармонические колебания
Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки массой :
m








t
2
A
m
2
mv
K
0
2
2
2
0
2
sin
,
2
2
1


cos
sin



2
2
1
2


cos
sin












t
2
1
4
A
m
K
0
2
2
0
cos

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ









t
A
m
ma
F
0 2
0
cos
Потенциальной энергии П материальной точки, запишем выражение для силы , действующей на точку.
F
Поскольку .


x
t
A




0
cos
x
m
F
2 0



Такая зависимость характерна для упругой силы. Работа этой силы при элементарном равна приращению потенциальной энергии взятому со знаком минус:














t
2
A
m
2
x
m
xdx
m
Fdx
-
П
0
2
2
2
0
2
2
0
x
0
2
0
x
0
cos

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Гармонические колебания
,
2
2
1


cos
cos



2
2
1
2


cos
сos









t
2
A
m
П
0
2
2
2
0
cos










t
2
1
4
A
m
П
0
2
2
0
cos
Полная энергия:
const




2
A
m
П
K
E
2
2
0











t
2
1
4
A
m
K
0
2
2
0
cos

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонические колебания
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
t
t
К
П
0
0
E
2
E
E
2
E
t
x
0
A

A

Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются от 0 до по гармоническому закону с частотой
E
0
2

Колебания кинетической энергии происходят в противофазе с колебаниями потенциальной энергии, а их сумма в любой момент времени одинакова (упругая сила
консервативна, следовательно, выполняется закон сохранения энергии).

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонический осциллятор
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Любую колебательную систему принято называть осциллятором, а если поведение осциллятора подчиняется гармоническому закону, то гармоническим осциллятором.








t
A
dt
x
d
0
2
0
2
2
cos
Поскольку , то получим выражение вида


x
t
A
0




cos
0
x
dt
x
d
2
0
2
2



уравнение гармонических колебаний.
Решением этого уравнения является выражение






t
A
x
0
cos

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН
Пружинный маятник.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонический осциллятор
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Пружинный маятник.
Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой , подвешенного на абсолютно упругой пружине и совершающего прямолинейные гармонические колебания в поле сил тяжести под действием упругой силы. В точке
х=0 F
y
= mg
m
x
g
m

v
a

у
F

0
На груз действует сила тяжести и сила упругости деформированной пружины, пропорциональная смещению от положения равновесия:
g
m

у
F

x
kx
F
mg
F
у




k
- жесткость пружины.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонический осциллятор
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Пружинный маятник.
x
g
m

v
a

у
F

0
kx
dt
x
d
m
2
2


0 2
0 2


x
dt
dx







t
A
x
0
cos
m
k

0


Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонический осциллятор
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Математический маятник.
Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и совершающая колебания под действием силы тяжести.
m
Изобразим маятник в момент, когда нить подвеса отклонена влево от вертикали на угол , маятник движется влево.

g
m

T

O
l



- неподвижная точка подвеса,
O
- сила тяжести,
g
m

- сила натяжения нити,
T

- радиус-вектор.
l

z
- ось, направленная от нас перпендикулярно плоскости рисунка
z

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонический осциллятор
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Математический маятник.
В этом уравнении имеет смысл собственной круговой частоты малых колебаний математического маятника.
0

0
dt
d
2
0
2
2





l
g
0


Период этих колебаний определяется по формуле
g
l

2
T









t
0
0
cos
Решением полученного уравнения является известная формула гармонических колебаний

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонический осциллятор
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Физический маятник.
Физический маятник – это твердое тело, совершающее в поле сил тяжести колебания относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку, не совпадающую с центром инерции.
mg

l
C
O
- масса тела,
m
- положение центра инерции тела,
C
- точка подвеса,
O
- расстояние от точки подвеса до центра инерции.
l
,
0
dt
d
2
0
2
2





z
J
mgl

0


Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Гармонический осциллятор
ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ
Физический маятник.
mg

l
C
O
Для физического маятника вводят понятие приведенной длины
Действительно,
,
0
z
физ
J
mgl


,
0
пр
м ат
l
g


z
пр
J
mgl
l
g

ml
J
l
z
пр

Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, для которого
пр
l
мат
0
физ
0



В итоге получим

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Метод векторной диаграммы
Колебания можно изображать графически в виде векторов на плоскости. Изображенная таким способом схема колебаний называется векторной диаграммой.
Рассмотрим произвольный вектор , образующий с осью угол
a

x

x
Если привести этот вектор во вращение относительно точки с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси в пределах от до .
O
0

a

a

Координата этой проекции будет изменяться со временем по закону






t
A
x
0
cos
O

a

x
0

Таким образом, гармоническое колебание
может быть задано с помощью вектора,
длина которого равна амплитуде
колебания, а направление вектора
образует с осью угол, равный
начальной фазе колебания.
x

Кафедра физики
Представление гармонических колебаний в комплексной форме.
Возможен еще один вариант представления колебаний, отличающийся от метода векторной диаграммы лишь по форме.
Колеблющуюся величину записывают не в виде синуса или косинуса, а представляют комплексным числом.
Переход к комплексной форме записи - с помощью теоремы Эйлера: где - мнимая единица.
1
i


Уравнение гармонического колебания в комплексной форме будет иметь вид






t
i
0


Ae
x
В этой формуле реальное физическое смещение получается из вещественной части комплексного числа
 






t
i
0
Ae
x

Re


sin
i
cos
e
ix


Представление гармонических колебаний в комплексной форме позволяет заменить громоздкие тригонометрические преобразования более простыми действиями над комплексными величинами.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Сложение гармонических колебаний.
x
O
x
2
x
1
x
1
a

1

0

2

a

2
a

По правилам сложения векторов построим результирующий вектор .
a

Проекция этого вектора на ось равна сумме проекций слагаемых векторов:
x
2
1
x
x
x


Результирующий вектор вращается с той же угловой скоростью , что и векторы и .
0

1
a

2
a

Следовательно, результирующее колебание будет гармоническим колебанием с частотой , амплитудой и начальной фазой :
0

A
0



0
0
t
A
x




cos

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Сложение гармонических колебаний.
x
O
x
2
x
1
x
1
a

1

0

2

a

2
a



0
0
t
A
x




cos
В этом уравнении


1
2
2
1
2
2
2
1
A
A
2
A
A






cos
A
2
 
 
 
 
2
2
1
1
2
2
1
1
0
A
s
A
A
A
tg





cos
co
sin
sin



Таким образом, метод векторной диаграммы позволяет свести сложение нескольких гармонических колебаний одной частоты к операции сложения векторов.
Выводы из анализа выражения для амплитуды: а) Если разность фаз колебаний равна или кратна нечетному числу , т.е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания будет равна по модулю разности амплитуд . Колебания будут ослаблять друг друга.


1
2




1
2
A
A

(вывести самостоятельно, используя теорему косинусов)

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Сложение гармонических колебаний.
x
O
x
2
x
1
x
1
a

1

0

2

a

2
a



0
0
t
A
x




cos


1
2
2
1
2
2
2
1
A
A
2
A
A






cos
A
2
б) Если частоты колебаний различны, то векторы и будут вращаться с разными угловыми скоростями на векторной диаграмме.
1
a

2
a

Результирующий вектор в этом случае уже не будет определять гармоническое колебание. Его величина и скорость вращения будут меняться со временем.
Квадрат результирующей амплитуды такого колебания будет выражаться уравнением вида


t
A
A
2
A
A
1
2
2
1
2
2
2
1






cos
A
2
Следовательно, сумма гармонических колебаний одного направления
с разными частотами не является гармоническим колебанием.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Сложение гармонических колебаний.
x
O
x
2
x
1
x
1
a

1

0

2

a

2
a



0
0
t
A
x




cos


1
2
2
1
2
2
2
1
A
A
2
A
A






cos
A
2
Интересен случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало различаются по частоте.
Результирующее движение при этих условиях - гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой.
Такое колебание называется биениями.
Биения
Пусть имеются два колебания, различающиеся только частотами:
 
,
t
cos
A
x
1






,
t
cos
A
x
2

 






Сложим эти колебания:
 






t
cos
t
cos
A
x
x
x
2
1










Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Сложение гармонических колебаний.
Биения
 






t
cos
t
cos
A
x
x
x
2
1









Применим для преобразования формулы теорему сложения косинусов:
2
y
x
cos
2
y
x
cos
2
y
cos
x
cos




получим уравнение результирующего колебания в виде:
 
t
t
2
A
2
t
2
2
t
2
A
2
x





cos
cos
cos
cos





 














 

В итоге получили выражение для почти гармонического колебания с частотой , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону (амплитуда положительна, поэтому модуль):






 

t
2
A
2

cos
A
биений


- циклическая частота биений




2
T
биений
- период биений.

Кафедра физики
Общая физика.
«Физика колебаний и волн»
Сложение гармонических колебаний.
Биения
x
t
t
Амп
ли
ту
да




2
T
биений


2
T





2
T
биений





 

t
2
A
2

cos
A
биений
 
t
t
2
A
2
x


cos
cos





 



написать администратору сайта