Лекция 19 Гармонические колебания_1. Лекция 19 физика колебаний и волн гармонические колебания и их характеристики
 Скачать 0.72 Mb.
|
Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ЛЕКЦИЯ 19 ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Гармонические колебания и их характеристики. Гармонический осциллятор. Примеры осцилляторов Метод векторной диаграммы. Представление колебаний в комплексной форме. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Общие представления о колебательных и волновых процессах. Колебаниями называются процессы, которые обладают той или иной степенью повторяемости во времени. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Общие представления о колебательных и волновых процессах. Свободными или собственными колебания развиваются в системе, представленной самой себе после того, как она была выведена из состояния равновесия. Колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии. (колебания груза на пружине в поле сил тяготения). Вынужденные колебания происходят в результате периодического воздействие внешнего источника энергии. электромагнитные колебания в контуре, куда включена периодическая ЭДС. Колебания различной природы подчиняются одинаковым законам. Пример: колебания груза, подвешенного на пружине, и изменение заряда конденсатора в колебательном контуре происходят по одному и тому же закону. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Гармонические колебания и их характеристики Гармоническими называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса (синуса). а) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; б) различные периодические процессы можно представить как наложение периодических колебаний. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Гармонические колебания и их характеристики Гармонические колебания некоторой величины описываются уравнениями вида: x 01 0 t A x cos 02 0 t A x sin - круговая или циклическая частота; - амплитуда колебания, т.е. наибольшее положительное отклонение величины от ее значения в состоянии равновесия; A x 02 0 t 01 0 t и - фазы колебаний, характеризующие текущее отклонение величины от равновесия. x При или , т.е. и - это начальные фазы колебаний. 0 t 01 02 01 02 или Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Гармонические колебания и их характеристики Между параметрами гармонических колебаний существует связь : T 2 2 где - частота колебаний (количество колебаний в единицу времени), - период колебаний, или время полного колебания. T Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонические колебания t A x 0 cos 2 cos 0 0 t A dt dx t A dt x d dt dv 0 0 2 2 cos 2 a t t t x v a 0 0 0 A A 0 A 0 A 2 0 A 2 0 A Колебания скорости опережают колебания координаты на угол , колебания ускорения происходят в противофазе с колебаниями координаты 2 ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонические колебания Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки массой : m t 2 A m 2 mv K 0 2 2 2 0 2 sin , 2 2 1 cos sin 2 2 1 2 cos sin t 2 1 4 A m K 0 2 2 0 cos Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ t A m ma F 0 2 0 cos Потенциальной энергии П материальной точки, запишем выражение для силы , действующей на точку. F Поскольку . x t A 0 cos x m F 2 0 Такая зависимость характерна для упругой силы. Работа этой силы при элементарном равна приращению потенциальной энергии взятому со знаком минус: t 2 A m 2 x m xdx m Fdx - П 0 2 2 2 0 2 2 0 x 0 2 0 x 0 cos Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонические колебания , 2 2 1 cos cos 2 2 1 2 cos сos t 2 A m П 0 2 2 2 0 cos t 2 1 4 A m П 0 2 2 0 cos Полная энергия: const 2 A m П K E 2 2 0 t 2 1 4 A m K 0 2 2 0 cos Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонические колебания ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ t t К П 0 0 E 2 E E 2 E t x 0 A A Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются от 0 до по гармоническому закону с частотой E 0 2 Колебания кинетической энергии происходят в противофазе с колебаниями потенциальной энергии, а их сумма в любой момент времени одинакова (упругая сила консервативна, следовательно, выполняется закон сохранения энергии). Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонический осциллятор ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Любую колебательную систему принято называть осциллятором, а если поведение осциллятора подчиняется гармоническому закону, то гармоническим осциллятором. t A dt x d 0 2 0 2 2 cos Поскольку , то получим выражение вида x t A 0 cos 0 x dt x d 2 0 2 2 уравнение гармонических колебаний. Решением этого уравнения является выражение t A x 0 cos Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Пружинный маятник. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонический осциллятор ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Пружинный маятник. Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой , подвешенного на абсолютно упругой пружине и совершающего прямолинейные гармонические колебания в поле сил тяжести под действием упругой силы. В точке х=0 F y = mg m x g m v a у F 0 На груз действует сила тяжести и сила упругости деформированной пружины, пропорциональная смещению от положения равновесия: g m у F x kx F mg F у k - жесткость пружины. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонический осциллятор ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Пружинный маятник. x g m v a у F 0 kx dt x d m 2 2 0 2 0 2 x dt dx t A x 0 cos m k 0 Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонический осциллятор ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Математический маятник. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и совершающая колебания под действием силы тяжести. m Изобразим маятник в момент, когда нить подвеса отклонена влево от вертикали на угол , маятник движется влево. g m T O l - неподвижная точка подвеса, O - сила тяжести, g m - сила натяжения нити, T - радиус-вектор. l z - ось, направленная от нас перпендикулярно плоскости рисунка z Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонический осциллятор ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Математический маятник. В этом уравнении имеет смысл собственной круговой частоты малых колебаний математического маятника. 0 0 dt d 2 0 2 2 l g 0 Период этих колебаний определяется по формуле g l 2 T t 0 0 cos Решением полученного уравнения является известная формула гармонических колебаний Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонический осциллятор ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Физический маятник. Физический маятник – это твердое тело, совершающее в поле сил тяжести колебания относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку, не совпадающую с центром инерции. mg l C O - масса тела, m - положение центра инерции тела, C - точка подвеса, O - расстояние от точки подвеса до центра инерции. l , 0 dt d 2 0 2 2 z J mgl 0 Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Гармонический осциллятор ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Физический маятник. mg l C O Для физического маятника вводят понятие приведенной длины Действительно, , 0 z физ J mgl , 0 пр м ат l g z пр J mgl l g ml J l z пр Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, для которого пр l мат 0 физ 0 В итоге получим Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Метод векторной диаграммы Колебания можно изображать графически в виде векторов на плоскости. Изображенная таким способом схема колебаний называется векторной диаграммой. Рассмотрим произвольный вектор , образующий с осью угол a x x Если привести этот вектор во вращение относительно точки с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси в пределах от до . O 0 a a Координата этой проекции будет изменяться со временем по закону t A x 0 cos O a x 0 Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью угол, равный начальной фазе колебания. x Кафедра физики Представление гармонических колебаний в комплексной форме. Возможен еще один вариант представления колебаний, отличающийся от метода векторной диаграммы лишь по форме. Колеблющуюся величину записывают не в виде синуса или косинуса, а представляют комплексным числом. Переход к комплексной форме записи - с помощью теоремы Эйлера: где - мнимая единица. 1 i Уравнение гармонического колебания в комплексной форме будет иметь вид t i 0 Ae x В этой формуле реальное физическое смещение получается из вещественной части комплексного числа t i 0 Ae x Re sin i cos e ix Представление гармонических колебаний в комплексной форме позволяет заменить громоздкие тригонометрические преобразования более простыми действиями над комплексными величинами. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Сложение гармонических колебаний. x O x 2 x 1 x 1 a 1 0 2 a 2 a По правилам сложения векторов построим результирующий вектор . a Проекция этого вектора на ось равна сумме проекций слагаемых векторов: x 2 1 x x x Результирующий вектор вращается с той же угловой скоростью , что и векторы и . 0 1 a 2 a Следовательно, результирующее колебание будет гармоническим колебанием с частотой , амплитудой и начальной фазой : 0 A 0 0 0 t A x cos Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Сложение гармонических колебаний. x O x 2 x 1 x 1 a 1 0 2 a 2 a 0 0 t A x cos В этом уравнении 1 2 2 1 2 2 2 1 A A 2 A A cos A 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 A s A A A tg cos co sin sin Таким образом, метод векторной диаграммы позволяет свести сложение нескольких гармонических колебаний одной частоты к операции сложения векторов. Выводы из анализа выражения для амплитуды: а) Если разность фаз колебаний равна или кратна нечетному числу , т.е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания будет равна по модулю разности амплитуд . Колебания будут ослаблять друг друга. 1 2 1 2 A A (вывести самостоятельно, используя теорему косинусов) Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Сложение гармонических колебаний. x O x 2 x 1 x 1 a 1 0 2 a 2 a 0 0 t A x cos 1 2 2 1 2 2 2 1 A A 2 A A cos A 2 б) Если частоты колебаний различны, то векторы и будут вращаться с разными угловыми скоростями на векторной диаграмме. 1 a 2 a Результирующий вектор в этом случае уже не будет определять гармоническое колебание. Его величина и скорость вращения будут меняться со временем. Квадрат результирующей амплитуды такого колебания будет выражаться уравнением вида t A A 2 A A 1 2 2 1 2 2 2 1 cos A 2 Следовательно, сумма гармонических колебаний одного направления с разными частотами не является гармоническим колебанием. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Сложение гармонических колебаний. x O x 2 x 1 x 1 a 1 0 2 a 2 a 0 0 t A x cos 1 2 2 1 2 2 2 1 A A 2 A A cos A 2 Интересен случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало различаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях - гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями. Биения Пусть имеются два колебания, различающиеся только частотами: , t cos A x 1 , t cos A x 2 Сложим эти колебания: t cos t cos A x x x 2 1 Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Сложение гармонических колебаний. Биения t cos t cos A x x x 2 1 Применим для преобразования формулы теорему сложения косинусов: 2 y x cos 2 y x cos 2 y cos x cos получим уравнение результирующего колебания в виде: t t 2 A 2 t 2 2 t 2 A 2 x cos cos cos cos В итоге получили выражение для почти гармонического колебания с частотой , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону (амплитуда положительна, поэтому модуль): t 2 A 2 cos A биений - циклическая частота биений 2 T биений - период биений. Кафедра физики Общая физика. «Физика колебаний и волн» Сложение гармонических колебаний. Биения x t t Амп ли ту да 2 T биений 2 T 2 T биений t 2 A 2 cos A биений t t 2 A 2 x cos cos |