решение ДУ в матлабе. Лекция 4 Этапы построения математической модели План лекции Математическая постановка задачи моделирования
 Скачать 1.36 Mb.
|
|
ЛЕКЦИЯ № 4 Этапы построения математической модели План лекции 1. Математическая постановка задачи моделирования 2. Взаимодействие объекта моделирования со средой Процесс создания математических моделей трудоемок, длителен и связан с использованием труда различных специалистов достаточно высокого уровня, обладающих хорошей подготовкой как в предметной области, связанной с объектом моделирования, так и в области прикладной математики, современных численных методов, программирования, знающих возможности и особенности современной вычислительной техники. Отличительной особенностью математических моделей, создаваемых в настоящее время, является их комплексность, связанная со сложностью моделируемых объектов. Все отмеченные выше особенности приводят к усложнению модели и необходимости совместного использования нескольких теорий (нередко — из разных областей знания), применения современных вычислительных методов и вычислительной техники для получения и анализа результатов моделирования. Необходимость в новой модели может появиться в связи с проведением научных исследований (особенно — на стыке различных областей знания), выполнением проектных и конструкторских работ на производстве, созданием систем автоматического управления, планирования и контроля. Человека или организацию, заинтересованных в разработке новой математической модели, для краткости будем называть заказчиком. После принятия решения о необходимости построения новой математической модели заказчик ищет исполнителя своего заказа. В качестве исполнителя, как правило, может выступать рабочая группа, включающая специалистов разного профиля: прикладных математиков, специалистов, хорошо знающих особенности объекта моделирования, программистов. Основной целью этапа обследования объекта моделирования является подготовка содержательной постановки задачи моделирования. Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика, составляет содержательную постановку задачи моделирования. На основе собранной информации об объекте моделирования формулируют содержательную постановку задачи моделирования, которая, как правило, не бывает окончательной и может уточняться и конкретизироваться в процессе разработки модели.  Рис. Этапы построения математической модели Весь собранный в результате обследования материал о накопленных к данному моменту знаниях об объекте, содержательная постановка задачи моделирования, дополнительные требования к реализации модели и представлению результатов оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели. Особенно строго необходимо формулировать требования к будущей модели. Неконкретные и нечеткие требования могут серьезно затруднить процесс сдачи модели заказчику, вызвать бесконечные доработки и улучшения. В целом этап проработки технического задания может составлять до 30% времени, отпущенного на создание всей модели, и даже более — с учетом возможного уточнения и переформулировки. Требования к математической модели 1) Модель должна соответствовать цели моделирования. 2) Адекватность. Модель считается адекватной, если она отображает заданные свойства объекта (процесса) с требуемой точностью. Математическая модель не может быть адекватной на всем множестве значений ее параметров. Всегда существует область адекватности модели (ОА) (рис.), которая задается диапазонами значений параметров модели (∆В1 и ∆В2), в пределах которых она должна быть адекватной реальному объекту.  Рис. 1.7. Область адекватности модели 3). Робастностьмодели означает ее устойчивость к погрешностям (неточностям) в исходных данных. Взаимодействие объекта моделирования со средой Средой считается все, что не относится к объекту моделирования: внешние воздействия, погодные условия, солнечная активность, поставщики материалов, потребители, экспериментаторы и пр. Взаимодействие объекта моделирования со средой может быть описано рядом параметров, которые можно подразделить на пять классов. Выходные параметры отражают результат функционирования объекта, напрямую связанный с его целью. Например, если моделируется процесс изготовления резисторов, то выходными параметрами могут являться сопротивление, температурный коэффициент сопротивления, рабочая мощность. Стрелка над величиной Y означает, что это вектор, т.е. таких параметров может быть несколько. Схема взаимодействия объекта моделирования со средой изображена на рисунке. Входные параметры это параметры, влияющие на функционирование объекта. Входными являются параметры материалов, окружающей среды, технологические режимы. Важнейшие свойства входных параметров – их наблюдаемость (измеряемость) и существенное влияние на функционирование объекта. Как правило, входных параметров при моделировании объектов бывает очень много (десятки и даже сотни). Для удобства управления объектом из них выделяются несколько наиболее влияющих, а остальные - фиксируются на заданном уровне.  Входные параметры это параметры, влияющие на функционирование объекта. Входными являются параметры материалов, окружающей среды, технологические режимы. Важнейшие свойства входных параметров – их наблюдаемость (измеряемость) и существенное влияние на функционирование объекта. Как правило, входных параметров при моделировании объектов бывает очень много (десятки и даже сотни). Для удобства управления объектом из них выделяются несколько наиболее влияющих, а остальные - фиксируются на заданном уровне. Управляющими (управляемыми факторами), называются параметры, выбранные для управления объектом. Основными свойствами управляющих параметров являются возможность изменения (управляемость), наблюдаемость (измеряемость) и существенное влияние на функционирование объекта. Возмущающие параметры, оказывающие неконтролируемое воздействие на объект и приводящие к шумам, помехам, погрешностям, являются ненаблюдаемыми и неуправляемыми. Каждый из них влияет на объект очень слабо, а их суммарное влияние приводит к возникновению погрешностей, шумов, возмущений и пр. Благодаря влиянию возмущающих параметров, эксперимент становится невоспроизводимым, а его модель – стохастической. Основными свойствами возмущающих параметров являются не наблюдаемость и неуправляемость. Параметры состояния отражают память объекта о предыстории его функционирования. Примером является триггер со счетным входом, на который приходит импульс. Сигнал на выходе триггера зависит не только от сигнала на входе, но и от его предыдущего состояния, которое в данном случае и является параметром состояния. Зависимость выходных параметров объекта от других (входных, управляющих, параметров состояния) образуют его математическую модель. При этом возмущающие параметры в модель, как правило, не включаются в силу их ненаблюдаемости, но могут учитываться их статистические характеристики. В качестве примера рассмотрим математическую модель процесса протекания электрического тока через RL – цепочку  где i- ток через RL-цепочку; Е- напряжение источника; V- случайная погрешность напряжения источника питания; R и L - сопротивление и индуктивность элементов. В данном примере: R и L - входные параметры; Е - управляющий параметр; V - возмущающий параметр; I - выходной параметр, одновременно являющийся параметром состояния. Пример. Математические модели теплообменных аппаратов При построении математических моделей теплообменных аппаратов предварительно проводится анализ структуры движения потоков в аппарате. Для каждого потока записывается математическое описание в виде выражения, характеризующего изменения температуры в потоке теплоносителя во времени, обусловленное движением потока и теплопередачей. Предварительно формулируются допущения. Обычно принимают коэффициент теплоотдачи, плотность и теплоемкость теплоносителя постоянными в исследуемом интервале изменения температуры. Предполагается, что объемные скорости потоков остаются постоянными. Тепловые процессы в химической технологии имеют как самостоятельное значение при сушке, выпаривании, нагревании, охлаждении и т. д., так и сопровождают химические и массообменные процессы. На рисунке приведены примеры теплообменных аппаратов: пластинчатый и кожухотрубный.  В теплообменнике типа «труба в трубе» охлаждается жидкость. Хладоагент и охлаждающаяся жидкость движутся прямотоком. Необходимо рассчитать температуру теплоносителей на выходе из аппарата и получить температурные профили по длине аппарата В таблице приведены исходные данные для расчета.  В теплообменнике реализуется режим «вытеснение-вытеснение», поэтому математическое описание будет иметь вид:  В стационарном режиме работы теплообменника, когда ∂T1 /∂t = 0; ∂T2 /∂t = 0, уравнения теплового баланса примут следующий вид:  где d – диаметр трубы теплообменника, м. С применением данной математической модели можно выполнить исследования влияния: температуры, расхода теплоносителя и хладоагента, размеров аппарата на процесс теплообмена. На рисунке приведены результаты расчета процесса теплообмена  ЗАДАНИЕ НА САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ Освоить тему «Математические модели в пространстве состояний. Примеры формирования модели для исследования процессов в электрической цепи» [2], глава 8, с.116-129. Посмотреть и разобрать видеолекции № 2-3 «Математическое моделирование в MatLab».
[Электронный ресурс] : Учебное пособие для вузов /Н.В. Голубева .– 2-е изд., стер. СПб: Лань, 2016, – Режим доступа : http://e.lanbook.com/book/76825 2. Введение в математическое моделирование [Электронный ресурс]: учебное пособие/ В.Н. Ашихмин [и др.].— Электрон. текстовые данные.— М.: Логос, 2017.— 440 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/66414 Вопросы для самопроверки
|