Лекція_1. Лекція Математичне моделювання
 Скачать 108.03 Kb.
|
|
Чисельні методи Лекція 1. Математичне моделювання. Вступ. Чисельні методи для розв’язування прикладних задач. Задачі обчислювальної математики. Чисельне розв’язування коректних задач. Структура похибки розв’язку. При розв’язуванні науково-дослідних та прикладних задач часто використовують метод математичного моделювання – комплексне дослідження властивостей фізичного об’єкту за допомогою створеної його математичної моделі. Під фізичним об’єктом розумітимемо все, на що направлена людська діяльність. Будь-який об'єкт дослідження є нескінченно складним і характеризується нескінченним числом станів і параметрів. Математична модель – це сукупність математичних співвідношень, що відображають деякі істотні характеристики досліджуваного об’єкту. Основними етапами математичного моделювання є
На першому етапі визначається об’єкт дослідження. Однак цього недостатньо, бо всякий об’єкт дослідження, всякий процес є невичерпні у своїх властивостях і відношеннях (зв’язках). Тому слід у відповідності із задачами дослідження та конкретними умовами виділити із них найсуттєвіші, розв’язання яких повинно привести до досягнення поставленої мети. Процес побудови математичної моделі (математична постановка) залежить від цілого ряду чинників: від ступеня повноти інформації про досліджуваний об’єкт, його внутрішні механізми, мети та завдань моделювання, обчислювальних ресурсів, ступеню достовірності очікуваних результатів, інтелектуального рівня, математичної підготовки і досвіду дослідника та інших. При математичному дослідженні переважної більшості практично важливих задач знайти аналітичний розв’язок буває дуже складно або взагалі не можливо, тому актуальності набуває використання чисельних методів. Останні – це методи наближеного або точного розв’язування математичних, інженерних та економічних задач, що ґрунтуються на побудові скінченної послідовності дій над скінченною множиною чисел. Як правило, чисельні методи оперують системою алгебричних рівнянь, як аналогом рівнянь математичної фізики, дають можливість побудувати деяку послідовність арифметичних операцій, збільшення кількості яких до нескінченності дає точний розв’язок. Оскільки на практиці здійснюють скінченне число операцій, то знайдений розв’язок є наближеним. Далі здійснюється перевірка математичної моделі на адекватність фізичному об’єкту – це важливий і трудомісткий етап наукового дослідження, від якого залежить якість результатів моделювання та їх практичного використання. Тому необхідно проводити комплексну оцінку відповідності результатів чисельного моделювання на ЕОМ і даних фізичних експериментів в широкому діапазоні зміни вхідних параметрів моделі, використовуючи методи математичної теорії експерименту. Всі обчислювальні експерименти по попередньо наміченому плану проводяться на розробленій і перевіреній на адекватність математичній моделі. В основі моделювання лежить теорія подібності, згідно якої абсолютна подібність можлива тільки при заміні одного об'єкту іншим таким самим. Цю ідею добре виразили А. Розенблют і Н. Вінер, коли сказали, що кращою моделлю кота є інший кіт, а ще краще – той же самий кіт. При моделюванні абсолютна подібність не має місця. Будь-яка модель не тотожна об'єкту-оригіналу і не є повною, оскільки при її побудові дослідник враховував тільки ті особливості об'єкту, які вважав найбільш важливими для вирішення конкретного завдання. Достатньо того, щоб модель добре відображала властивості, що цікавлять дослідника, і прояви аналізованого об'єкту. Проте ніхто і ніщо не може бути моделлю самого себе. Результати моделювання використовуються для автоматизації проектування створюваних технічних систем і об’єктів, пошуку оптимальних режимів протікання технологічних процесів промисловості, екології тощо. Найбільшого розвитку чисельні методи набули останнім часом завдяки використанню комп’ютерів, що мають високу швидкість обчислень та великий об’єм оперативної пам’яті. При оцінюванні результатів розрахунків поєднання чисельних методів та комп’ютера дає можливість отримати оперативно ефективний результат – це чисельний експеримент. Останній, дозволяє оцінити достовірність отриманих результатів. Для розв'язання математичних задач в основному існує три групи методів:
Обчилювальна математика – це розділ математики, що вивчає чисельні методи розв’язування різноманітних математичних задач та алгоритмізацію цих методів. Сучасна обчислювальна математика включає в коло своїх задач вивчення особливостей обчислень із використанням комп’ютерів. Обчислювальна математика має широке коло прикладних використань для проведення наукових та інженерних розрахунків. На її основі в останні десятиліття розвинулися нові області обчислювальних наук, наприклад, обчислювальна хімія, обчислювальна біологія тощо. До основних задач обчислювальної математики належать:
Чисельні методи бувають двох типів: прямі та ітераційні. В прямих методах розв'язок задачі досягається за скінченну кількість кроків методу після виконання останнього кроку, в ітераційних методах виконується ряд ітерацій методу до отримання наближеного розв'язку із заданою точністю. Згідно основних вимог чисельні методи мають бути збіжними, стійкими та ефективними. Складною задачею оптимізації чисельних методів є отримання таких методів, які задовольняють вимоги високої точності, стійкості та економічності. Збіжність методу – це можливість знайти наближений розв'язок задачі з необхідною точністю за скінченну кількість кроків. Особливої уваги вимагають ітераційні методи. Збіжність ітераційних методів часто залежить від тих значень, з яких починається ітераційний процес. Чисельний метод називатимемо таким, що збігається, якщо наближення  прямує до розв'язку  зі збільшенням  .Основні швидкості зіжності методів:
Чутливість задачі до неточностей у вхідних даних характеризується поняттям стійкості. Задача називається стійкою за вхідними даними, якщо її розв’язок неперервно залежить від вхідних даних, тобто малі похибки вхідних даних спричиняють малі похибки розв’язку задачі. Якщо ця умова не виконується, то задача вважається нестійкою за вхідними даними. Стійкість до похибок обчислень означає отримання розв’язку задачі шляхом застосування чисельного методу, незважаючи на неточності округлень і обчислень. Стійкість до похибок вихідних даних — при невеликих похибках вихідних даних забезпечується отримання наближеного розв'язку задачі з незначною похибкою. Стійкість до похибок вихідних даних досягається, як правило, шляхом модифікації чисельного методу, тобто внесенням змін до суті методу. Чисельні методи називаються стійкими, якщо результати неперервно залежать від вихідних даних задачі або якщо похибка округлення, пов'язана з реалізацією чисельних методів на ЕОМ, залишається обмеженою при заданих межах зміни параметрів чисельних методів. Приклад нестійкої за вхідними даними задачі (Уілкінсона). Коренями многочлена  є числа  Нехай один з коренів багаточлена обчислено з незначною похибкою. Наприклад, коефіцієнт -210 при  змінимо на коефіцієнт -210+2-23 Тоді дещо змінений багаточлен  має такі корені: Незначна похибка в коефіцієнті -210 даного багаточлена викликала суттєво інші значення коренів(десять з них стали комплексними). Причиною цього є нестійкість задачі, оскільки корені обчислювали з точністю до 11 значущих цифр і похибка округлень незначна. Приклад нестійкої за методом розв’язування задачі. Нехай треба обчислити інтеграли  ,  Інтегруємо за частинами, маємо  Звідси дістанемо   …,  Використовуючи рекурентне співвідношення, обчислимо перші дев’ять інтегралів    …  Значення інтегралу  помилкове, оскільки підінтегральна функція  в усіх точках відрізка  невід’ємна.До основних характеристик чисельних методів також відносять трудомісткість та порядок. Під трудомісткістю методу розуміють кількість і якість обчислень, необхідних для досягнення достатньо близького наближення розв'язку задачі. Під порядком методу розуміють вимоги до знань про функції, що входять у математичне формулювання задачі (наприклад, використання в методі похідних цих функцій): метод нульового порядку, якщо він використовує тільки значення цих функцій; метод першого порядку, якщо він використовує значення функцій і їх перших похідних; метод другого порядку, якщо він використовує значення і функцій та їх перших і других похідних і т. д. Введемо тепер поняття коректності задачі. Задача називається коректно поставленою, якщо розв’язок існує, єдиний та неперервно залежить від вхідних даних. Тобто, задача повинна мати розв’язок, не повинно існувати декількох розв’язків задачі, розв’язок задачі повинен мало змінюватись при малій зміні вхідних даних. Так, задача обчислення коренів багаточлена є некоректно поставленою, а обчислення інтегралів – коректно поставленою задачею. Для розв’язування некоректно поставлених задач застосовувати класичні чисельні методи не варто, оскільки похибки округлень при розрахунках можуть катастрофічно зростати і призвести до результату, далекого від шуканого розв’язку. Для розв’язування некоректно поставлених задач використовують так звані методи регуляризації, які замінюють дану задачу коректно поставленою. Застосування чисельних методів для розв’язування прикладних задач на базі ЕОМ треба обережно, оскільки точність знайденого розв’язку залежить від багатьох факторів. При цьому слід уміти оцінити похибку обчислювального розв’язку. Похибка розв’язку задачі складається з похибки математичної моделі, неусувної похибки, похибки методу і обчислювальної похибки. Похибка математичної моделі пов’язана з тим, що модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями. Тому треба мати уявлення про точність кінцевого результату, щоб спростити побудову математичної моделі. Неусувна похибка зумовлена похибками у вхідних даних задачі. Вона залежить від методу розв’язування задачі. Але, щоб правильно обрати метод і визначити точність обчислень, важливо знати межі неусувної похибки. Похибка методу пов’язана з необхідністю заміни неперервної моделі дискретною або з обривом нескінченного ітераційного процесу після скінченної кількості ітерацій. Похибку, яку дістають від заміни неперервної моделі дискретною, називається похибкою дискретизації (або похибкою апроксимації). Окрім похибки дискретизації, існує інший тип похибки чисельних методів. В основі багатьох методів лежить ідея ітераційного процесу, у ході якого будується за певним правилом послідовність наближень до розв’язку задачі. Похибку, спричинену обривом ітераційного процесу, називають похибкою збіжності. Обчислювальні похибки пов’язані з похибками округлення чисел. Обчислення, як ручні, так і на ЕОМ, виконуються з певною кількістю значущих цифр. Похибки округлень можуть по-різному впливати на кінцевий результат. Обчислювальний алгоритм треба будувати так, щоб похибка округлень була значно меншою від усіх інших похибок. Потужний арсенал чисельних методів і алгоритмів об’єднано в сучасних системах програмування високого рівня – MATHEMATICA, MATHCAD, MATLAB, OCTAVE, MAPLE. Ці системи значно спрощують практичне використання досягнень обчислювальної математики. Контрольні запитання та завдання
|
збігається до розв’язку 
і 
, такі, що 
для всіх 
. Тут нормою 
означає відстань між 
та 
.
для всіх 
і 
при 
.
і 
для всіх