ЛЕКЦИЯ
РАНГ МАТРИЦЫ ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА-КАПКЛЛИ
Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов
А= . (1)
Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов. Элементы, находящиеся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют определитель, который называется минором k-го порядка матрицы А. Матрица A имеет множество миноров различных порядков. При этом максимальный порядок миноров равен минимальному из чисел m и n, т. е.
max k = min(m,n).
Из всех возможных миноров матрицы А выделим те из них, которые отличны от нуля. Среди отличных от нуля миноров наиважнейшим является минор наибольшего порядка. Наибольший порядок миноров, отличных от нуля, называется рангом матрицы.
Вычисление ранга матрицы может быть осуществлено методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
Метод окаймляющих миноров состоит в последовательном нахождении отличных от нуля миноров второго, третьего и т.д. порядков. Найденный отличный от нуля минор k- того порядка используется как часть минора ( )-ого порядка. Если среди всех возможных миноров ( )-ого порядка найдется отличный от нуля, то он используется для построения миноров следующего порядка. Процесс прекращается, если невозможно указать ненулевой минор следующего порядка.
Метод элементарных преобразований основан на следующих преобразованиях:
1. перестановка строк (столбцов).,
2. умножение строк (столбцов) на любое число,
3. прибавление к элементам строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
Данные преобразования меняют матрицу, однако ранг матрицы остается прежним. С помощью элементарных преобразований матрица приводится к диагональному виду. По количеству единиц, расположенных на главной диагонали, судят о ранге исходной матрицы.
Пример. Найти ранг матрицы
А= .
Решение. Умножим каждый элемент 1-ой строки на (-2) и сложим со второй строкой; умножим каждый элемент первой строки на (-4) и сложим с третьей строкой .
 .
Умножим первый столбец на (-3) и сложим со вторым столбцом. Умножим первый столбец на (2) и сложим с третьим столбцом:
 .
Разделим вторую строку на (-13) и переставим местами вторую и третью строки:
 .
Умножим вторую строку на (5) и сложим с третьей строкой:
 .
Прибавим второй столбец к третьему:
 .
Разделим третий столбец на (-5) и получим матрицу окончательного вида:
 .
Таким образом, ранг матрицы  .
Теорема Кронекера-Капелли
Рассмотрим систему n уравнений с mнеизвестными
 (2)
Введем помимо матрицы системы Aрасширенную матрицу B
 .
Теорема Кронекера – Капелли. Система уравнений (2) имеет решение тогда, когда ранг матрицы системы Aравен рангу расширенной матрицы B. Если rangA< rangB, то система несовместна. Если rangA= rangB =n, то система имеет единственное решение. Если rangA= rangB<n, то система имеет бесчисленное множество решений (без доказательства).
Пусть  < , переменных  называют основными, или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные  её переменных называются неосновными, или свободными.
Пример. Решить систему
Решение. Вычислим ранг матрицы системы и расширенной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:
 
 .
Ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы Aр и равен двум, меньше числа неизвестных. В качестве базисного выбираем старший, отличный от нуля минор  . Таким образом, неизвестные  выбираются в качестве базисных, а неизвестные  выбираются свободными. Оставляем в левой части переменные  и  , остальные свободные неизвестные  и  переносим в правые части уравнений. В результате получаем систему:
Откуда  ,  .
Задавая неосновным переменным произвольные значения  ,  находим бесконечное множество решений системы, т.е. общее решение системы:
 .
ЛЕКЦИЯ
ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
БАЗИС ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Скаляром называется величина, характеризуемая одним числом при выбранной единице измерения. Два скаляра называются равными, если соответствующие им числа равны.
Вектором  называется величина, характеризуемая числом в выбранной системе единиц измерения, называемым модулем  или длиной вектора, и направлением в пространстве. Геометрически вектор представляется направленным отрезком. Вектор  - это направленный отрезок, начинающийся в точке  и заканчивающийся в точке  .
Два вектора и  называются колинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.
Два вектора и называются равными, если:
модули векторов равны ( = ),
векторы коллинеарные,
векторы направлены в одну сторону (сонаправлены).
Обычно рассматриваются свободные векторы, т.е. каждый вектор может быть перенесен в любую точку пространства параллельно самому себе.
Нулевым вектором  называется вектор, модуль которого равен нулю, а направление не определено.
Суммой векторов и называется вектор  , начало которого расположено в общем начале векторов и , а конец расположен в конце диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма).
П ри сложении большего числа векторов удобнее пользоваться правилом треугольника, согласно которому при сложении двух векторов начало второго вектора совмещают с концом первого. Сумма векторов представляется вектором, выходящим из начала первого вектора и заканчивающимся в конце второго вектора (Рис. 2).
Для вектора может быть указан противоположный вектор  , имеющий ту же длину, что и исходный вектор, коллинеарный исходному вектору, но направленный в другую сторону.
Вычитание векторов сводится к сложению первого вектора с противоположным второму вектором:
 .
Произведением вектора на число  называется вектор  , длина которого равна  , направление совпадает с направлением исходного вектора, если >0, или противоположно направлению исходного вектора, если <0.
Ортом вектора называется вектор  , сохраняющий направление исходного вектора, но имеющий единичную длину: = .
Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число:
1.  (коммутативность),
2.  (ассоциативность),
3.  (дистрибутивность),
4.  (дистрибутивность),
5.  ,
6.  ,
7.  .
Линейная зависимость векторов. Базис векторного пространства.
Рассмотрим совокупность векторов   …, . Линейной комбинацией векторов …, называется выражение вида
 ,
где   …,  - действительные числа. Линейная комбинация векторов называется нетривиальной, если не все коэффициенты в линейной комбинации равны нулю.
Векторы …, называются линейно зависимыми, если существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация этих векторов , т.е.
=0.
Если же линейная комбинация векторов равна нулю только в случае равенства нулю всех коэффициентов, то векторы называются линейно независимыми, т.е. для линейно независимых векторов равной нулю может быть только тривиальная комбинация.
Важнейшим свойством линейно зависимых векторов является возможность выразить вектор с ненулевым коэффициентом в линейной комбинации через остальные векторы:
 .
Базисом векторного пространства называется максимально возможная совокупность линейно независимых векторов, по которым можно разложить любой вектор пространства.
Рассмотрим множество векторов  на плоскости xOy . Два любых ненулевых и неколинеарных вектора и могут образовать базис пространства . Любой третий вектор  может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов
 .
Три вектора , и образуют совокупность линейно зависимых векторов пространства .
Рассмотрим пространство векторов  - множество векторов в трехмерном пространстве. Базис данного векторного пространства образуют три любых ненулевых вектора, не лежащих в одной плоскости ( три некомпланарных вектора). Любой четвертый вектор  может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса
 .
Совокупность четырех векторов , , и оказывается уже линейно зависимой, поскольку существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация
 .
Коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам , и называются координатами вектора в базисе векторов , , . Каждый вектор может быть однозначно описан координатами, записываемыми в фигурных скобках  .
Операции сложения векторов  и  и умножения вектора на число удобно записываются в координатном представлении
 ,  .
Декартова прямоугольная система координат
В реальном трехмерном пространстве положение каждой точки определяется тройкой действительных чисел.
Декартовой системой координат называется совокупность начала координат и базиса, образованного тремя ортами  ,  ,  . Каждый базисный вектор указывает направление соответствующей оси: вдоль -того вектора расположена ось Оx – ось абсцисс, вдоль -того вектора расположена ось Оy – ось ординат, вдоль -того вектора расположена ось Оz – ось аппликат. Таким образом, декартова система координат представляет собой три оси в пространстве с общим началом О и одинаковой масштабной единицей (Рис. 2).
Любой точке Aможет быть поставлен в соответствие вектор 
= .
Вектор , выходящий из начала координат, называется радиус-вектором. Координаты радиус-вектора  используются как координаты точки A  .
Для произвольно расположенного вектора =  имеем
= ,
т.е. для того, чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора.
Базис называется правосторонним, если поворот от первого базисного вектора ко второму вектору на наименьший угол будет производиться против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора .
Базис называется ортонормированным, если единичные векторы, образующие базис, будут взаимно ортогональны(перпендикулярны). Тогда базисные векторы обозначаются как    .
Декартовой прямоугольной системе координат отвечает тройка взаимно ортогональных единичных базисных векторов. Для произвольного вектора найдется единственная тройка чисел такая, что будет справедливо равенство:
 , (3)
где x, y, z-декартовы прямоугольные координаты вектора.
Проекцией вектора на ось Ox называется величина направленного отрезка, отсекаемого основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора (Рис. 3).
Проекцию вектора на ось Ox будем обозначать  . Проекция вектора на ось Ox равна длине вектора , умноженной на косинус угла 
= .
Знак проекции определяется знаком  . Свойства проекций формулируются с помощью двух теорем.
Теорема 1. Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций этих векторов:
 + .
Теорема 2. Проекция произведения числа и вектора равна произведению на проекцию вектора 
 
Проекция вектора удобно выражается с помощью проекций начала и конца вектора:
= .
Для прямоугольной декартовой системы координат справедлива следующая теорема.
Теорема. Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Оx , Оy , Оz соответственно.
Далее всегда будем пользоваться декартовой прямоугольной системой координат.
В декартовых прямоугольных координатах радиус-вектор представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого численно равны координатам вектора, поэтому модуль вектора равен
В декартовых прямоугольных координатах направление вектора определяется углами наклона   , вектора к осям Ox, Oy, Oz . Числа  ,  ,  принято называть направляющими косинусами вектор
 ,  ,  (4)
Легко проверить, что сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ
Р ассмотрим в пространстве две точки   и   и отрезок, соединяющий эти точки. Вектор  имеет координаты  . Точка M делит отрезок  в отношении  (Рис. 4).
Рассмотрим векторы  и  . Запишем векторное равенство
 .
Спроецируем векторное равенство на координатные оси:
  
Отсюда для координат точки M, делящей отрезок в заданном соотношении  , имеем
 ,  ,  . (5)
Если =1, то точка  делит отрезок пополам. Тогда
 ,  ,  .
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое выражением  и равное произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними
= .
Использование скалярного произведения часто связано с механической интерпретацией скалярного произведения как работы вектора силы вдоль вектора перемещения .
Скалярное произведение выражается через проекции векторов и друг на друга
 .
Основные свойства скалярного произведения.
1. = (коммутативность).
2.  = = (ассоциативность).
3.  = + (дистрибутивность).
4. Условия обращения в ноль скалярного произведения:
хотя бы один из векторов и является ноль - вектором,
векторы и взаимно перпендикулярны (ортогональны).
5. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату модуля этого вектора
 .
6. Координатное представление скалярного произведения векторов.
Используем координатное представление векторов   и  = . Поскольку свойства 1,2,3 позволяют производить скалярное перемножение векторных многочленов по правилам перемножения многочленов в алгебре, имеем
=(( )( ))=
=
 .
При выводе формулы использовалось, что  , а  .
Заметим, что модуль вектора вычисляется по формуле
Действительное векторное пространство с определенным нами скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Приложения скалярного произведения
1. Условие ортогональности двух векторов.
Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (без доказательства).
 .
2. Определение угла между векторами и :
Условие колинеарности векторов
Если векторы и колинеарные, то всегда можно указать такое число l, что будет справедливо векторное равенство  . Спроецировав векторное равенство на координатные оси, имеем
 или  .
Таким образом, условием колинеарности векторов является пропорциональность проекций этих векторов. |
Скачать 327.4 Kb.