Лекция.+Уравнение+плоскости. Лекция Уравнение плоскости в пространстве Общее уравнение плоскости
 Скачать 225 Kb.
|
|
Лекция: Уравнение плоскости в пространстве Общее уравнение плоскости Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют уравнению Ax + By + Cz + D = 0, где А, В, С – координаты вектора  -вектор нормали к плоскости.Возможны следующие частные случаи: А = 0 – плоскость параллельна оси Ох В = 0 – плоскость параллельна оси Оу С = 0 – плоскость параллельна оси Оz D = 0 – плоскость проходит через начало координат А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору  Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали  (A, B, C) имеет вид: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.Уравнение плоскости в отрезках Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)  , заменив  , получим уравнение плоскости в отрезках:  . Ч  исла a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z. Уравнение плоскости в векторной форме (нормальное уравнение) Пусть  - радиус-вектор текущей точки М(х, у, z),  - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат. , и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z. p – длина этого перпендикуляра.  В координатах это уравнение имеет вид: xcos + ycos + zcos - p = 0, где  .Из общего уравнения можно перейти к нормальному уравнению, если умножить обе части уравнения на множитель  , где знак берется противоположным знаку свободного члена общего уравнения.Уравнение плоскости, проходящей через три точки Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат. Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы  были компланарны. Таким образом,  Уравнение плоскости, проходящей через три точки:  Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки  ,  ,.  . Воспользуемся выше предложенной формулой:  Получаем уравнение плоскости  Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор |
. Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М
.
и вектор 
, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы 
должны быть компланарны. 
.
(A, B, C). Вектор 
(1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали 
(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то 
(A1, B1, C1), 
(A2, B2, C2). 
. Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле: 
, 
.
. 
.| 1.  | 5.  | 9.  |
| 2.  | 6. | 10. |
| 3.  | 7.  | 11.  |
| 4.  | 8.  | 12.  |
Определите, какая из них:
- параллельна осям Ох, Оу, Оz,
- проходит через начало координат,
- параллельна плоскостям хОу, хОz, yOz,
- проходит через оси Ох, Оу, Oz
- совпадает с плоскостями хОу, xOz, yOz.
2. Проходит ли плоскость
через одну из следующих точек А(2;1;3), В(0;2;10), С(-3;-3;-3)?3. Может ли плоскость проходить через четыре заданные точки?
4. Определите нормаль к плоскостям
, 
.5. Найдите объём пирамиды, ограниченной плоскостью
и координатными плоскостями.6. Установите соответствие между плоскостью и ее уравнением:
 | общее уравнение |
 | нормальное уравнение |
 | уравнение в отрезках |
| | |
7. Найдите уравнение плоскости, проходящей через основание перпендикуляров, опущенных из точки М(2;2;2) на координатные плоскости.
8. Постройте плоскости
,
.9. Установите, как расположены между собой плоскости:
 и  | параллельны |
 и  | перпендикулярны |
| и | пересекаются под углом |
10. Пересекаются ли плоскости
, 
, 
, если пересекаются, то найдите угол пересечения.11. Составьте уравнение плоскости проходящей через линию пересечения плоскостей
и 
и начало координат.