Логико-математический анализ темы. логико-математический анализ содержания темы. Логикоматематический анализ содержания темы
 Скачать 59.5 Kb.
|
|
Логико-математический анализ содержания темы Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах служит систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовки необходимой базы для изучения геометрии и физики. Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения: уровень строгости изложения определяется с учётом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах. При изучении темы"Производная" проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер. Основное внимание должно быть уделено не формальному применению теорем о пределах, а сознательному проведению предельных переходов для приближённого вычисления значений конкретных функций и их приращений. Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ - касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной. При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума. Решение тестовых задач физического, геометрического и практического содержания с применением производной позволяет учащимся ознакомиться со всеми этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на язык функций), решение полученной задачи средствами математического анализа, и наконец, интерпретация полученного решения в терминах исходной задачи. Существуют различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы, которые определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке. Логический подход при введении производной в качестве базисного понятия использует определение предела функции в точке. Так в учебных программах по математике 1968 года, используя этот подход, определяли это понятие: 1) исходя из арифметического толкования предела функции (определение по Коши или на языке абсолютной погрешности); 2) исходя из операции предела функции в точке через окрестности (топологическое). В действующих школьных программах по математике при введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции. При таком подходе большое внимание уделяется практическим аспектам изучения производной. Методическая схема изучения производной: I. Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t , т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением, причём, чем меньше значение, тем менее "заметно" изменение средней скорости падения. Таким образом, мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути в момент времени t. II. Сформулировать определение понятия производной. Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции. После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение, что производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное отношение. Полезен небольшой анализ формулировки определения, позволяющий чётче выделить признаки данного понятия. Закреплению определения производной способствует вопрос: "Как найти производную функции в точке?", ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение; 2) находим приращение функции в точке; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число (если такое число существует), к которому стремится разностное отношение. III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной). При исследовании свойств функции с помощью производной опираются на такие известные теоремы математического анализа, как теоремы Лагранжа, Ферма и Вейерштрасса. Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом. Найти наименьшее (или наибольшее) значение целевой функции y=х, заданной на множестве σ, и определить значение проектного параметра х Є σ, при котором целевая функция принимает экстремальное значение. Существование решения поставленной задачи вытекает из следующей теоремы. Теорема Вейерштрасса. Всякая функция F(х), непрерывная на отрезке [а, b], принимает на этом отрезке наименьшее и наибольшее значения, т.е. на отрезке [а, b] существуют такие точки х1 в х2, что для любого х Є [а, b] имеют место неравенства. Эта теорема не доказывает единственности решения. Не исключена возможность достижения равных экстремальных значений сразу в нескольких точках данного отрезка. В частности, такая ситуация имеет место для периодической функции, рассматриваемой на отрезке, содержащем несколько периодов. Будем рассматривать методы оптимизации для разных классов целевых функций. Простейшим из них является случай дифференцируемой функции F(х) на отрезке [а, b], причем функция задана в виде аналитической зависимости у = F(х), и может быть найдено явное выражение для ее производной. Нахождение экстремумов таких функций можно проводить известными из курса высшей математики методами дифференциального исчисления. Функция ‚ может достигать своего наименьшего и наибольшего значений либо в граничных точках отрезка [а, b], либо в точках минимума и максимума. Последние точки обязательно должны быть критическими, т. е. производная в этих точках обращается в нуль, — это необходимое условие экстремума. Следовательно, для определения наименьшего или наибольшего значений функции ‚ на отрезке [а, b] нужно вычислить ее значения во всех критических точках данного отрезка и в его граничных точках и сравнить полученные значения; наименьшее или наибольшее из них и будет искомым значением. В школьном курсе алгебры и начал анализа данная теорема представлена в виде: Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (эта теорема даётся в средней школе без доказательства). Оказывается, если последовательность не только ограничена, но и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится; это доказал в ХIХ веке немецкий математик Карл Вейерштрасс. Приведём классический пример из геометрии, в котором используется данная теорема. Если в окружность вписывать правильные многоугольники. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, её предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга. При изучении применения производной для исследования функций на монотонность и экстремумы в школьном курсе математики приводится немало теорем. Обратим внимание на две теоремы: необходимое условие экстремума и достаточное условие экстремума. Теорема: Если функция у = f (х) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Что означает, что х = х0 – стационарная или критическая точка функции. Возникает вопрос: верна ли обратная теорема, т. е. верно ли, если х = хо – стационарная или критическая точка, то в этой точке функция имеет экстремум? Отвечаем: нет, неверно. Обратим внимание на график возрастающей функции, не имеющей точек экстремума. У данной функции есть стационарная точка х=х1, в которой производная обращается в нуль (в этой точке график функции имеет касательную, параллельную оси х), но эта точка не точка экстремума, а точка перегиба, и есть критическая точка х=х2, в которой производная не существует, но это также не точка экстремума, а точка излома графика. Поэтому предложенная теорема даёт только необходимое условие экстремума (справедлива прямая теорема), но оно не является достаточным условием (обратная теорема не выполняется). Как быть с достаточным условием? Как узнать, есть ли в стационарной или в критической точке экстремум? Строгое доказательство достаточных условий экстремума проводится в курсе математического анализа, в школьном курсе приводится только формулировка теоремы. В системе современных методов и форм обучения математике задачам отводится важнейшая роль. Эффективное использование учебных задач способствует активизации самостоятельной познавательной деятельности школьников. Задачи являются важнейшим средством формирования у учащихся системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики, средством их математического развития. От эффективности применения задач в обучении математике во многом зависит степень подготовленности школьников к последующей за обучением практической профессиональной деятельности. Процесс решения задач тесно связан с формированием таких приёмов мышления, как анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и т. д. Задачу рассматривают как проблемную ситуацию. В методике математики процесс решения задачи определяется деятельностью человека по отысканию решения задачи. Способ деятельности по решению задачи осуществляется учащимися в соответствии с известным им алгоритмом, т. е. алгоритмический способ деятельности, когда решающему известен алгоритм решения задачи. При построении процесса оптимизации стараются сократить объем вычислений и время поиска. Этого достигают обычно путем сокращения количества вычислений (или измерений — при проведении эксперимента) значений целевой функции. Одним из наиболее эффективных методов, в которых при ограниченном количестве вычислений достигается наилучшая точность, является метод золотого сечения. Он состоит в построении последовательности отрезков, стягивающихся к точке минимума функции. На каждом шаге, за исключением первого, вычисление значения функции проводится лишь в одной точке. Эта точка, называемая золотым сечением, выбирается специальным образом. Поясним сначала идею метода геометрически, а затем выведем необходимые соотношения. Па первом шаге процесса оптимизации внутри отрезка выбираем некоторые внутренние точки и вычисляем значения целевой функции. Второй шаг проводим на отрезке, где нужно снова выбрать две внутренние точки, но одна из них осталась из предыдущего шага, поэтому достаточно выбрать лишь одну точку, вычислить значение и провести сравнение. Поскольку здесь, ясно, что минимум находится на отрезке, обозначим этот отрезок, снова выберем одну внутреннюю точку и повторим процедуру сужения интервала неопределенности. Процесс оптимизации повторяется до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше заданной величины. Можно выделить два типа задач оптимизации — безусловные и условные. Безусловная задача оптимизации состоит в отыскании максимума или минимума действительной функции при действительных переменных и определении соответствующих значений аргументов на некотором множестве σ n-мерного пространства. Обычно рассматриваются задачи минимизации; к ним легко сводятся и задачи на поиск максимума путем замены знака целевой функции на противоположный. Условные задачи оптимизации, или задачи с ограничениями, это такие, при формулировке которых задаются некоторые условия (ограничения) на множестве. Эти ограничения задаются совокупностью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям или неравенствам. Ограничения-равенства выражают зависимость между, проектными параметрами, которая должна учитываться при нахождении решения. Эти ограничения отражают законы природы, наличие ресурсов т. п. При наличии ограничений оптимальное решение может соответствовать либо локальному экстремуму внутри области проектирования, либо значению целевой функции на границе области. Если ограничения отсутствуют, то ищется оптимальное решение на всей области проектирования, то есть глобальный экстремум. В настоящее время увеличилась доля интеллектуального фактора в любом труде: возрастает удельный вес решения сложных технических, технологических, экономических, организационных и других задач, часто не имеющих однозначных ответов и требующих всесторонней оценки ситуации и выбора оптимального решения. В этом плане решающее значение приобретает не столько овладение учащимися суммой конкретных знаний и навыков, сколько выработка способности к их получению и формированию в нужную систему, т.е. возрастают требования к развитию продуктивного, творческого мышления. Развитие самостоятельности мышления школьников позволит ставить новые проблемы и находить новые решения в условиях неопределенности, множества выбора, открывать новые закономерности, вытекающие непосредственно из имеющихся у субъекта знаний. Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных. С точки зрения инженерных расчетов методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучшее распределение ресурсов и т.д. В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых параметров, определяющих данную задачу. При решении инженерных задач их принято называть проектными параметрами, а в экономических задачах их обычно называют параметрами плана. В качестве проектных параметров могут быть, в частности, значения линейных размеров объекта, массы, температуры и т.п. число n проектных параметров x1,x2,…,xn характеризует размерность (степень сложности) задачи оптимизации. Умственные действия, выполняемые школьниками в процессе работы над задачей, позволяют не только производить вычисления, но и самостоятельно формулировать задачи; искать методы решения задач, т.е. работать с аналогичными задачами; изучать соотношения между необходимыми и достаточными условиями того или иного факта, т.е. работать со взаимно обратными утверждениями; получать обобщения математических фактов. Можно предположить, что в процессе решения задачи воспроизводятся некоторые важные характеристики математических исследований. Работа предусматривает выполнение целого комплекса дополняющих друг друга умственных действий. Прежде всего, решается стандартная вычислительная задача (№ 1). Она дополняется рассмотрением задачи, обратной к данной в том или ином смысле; так, № 2, 3 можно считать обратными по отношению к № 1. Предлагается самостоятельно сформулировать два утверждения (№ 3, 4). При этом одно из них является задачей, аналогичной ранее решенным; так, № 3 аналогичен № 2. Другое самостоятельно формулируемое утверждение - № 4 - обобщает ранее рассмотренное утверждение № 3. В дополнение к этому рассматривается утверждение, обобщающие другие одновременно по нескольким признакам; так, № 6 обобщает утверждения № 3-5. Весьма широко используется конструирование функций, приводящее к открытой, незавершенной задаче, которая естественным образом вытекает из первоначального задания (№ 2-4). Наконец, одно из заданий - № 5 - идейно связывает аналитические рассуждения с графическими образами. Все многообразие исследовательских действий базируется на использовании частного, но важного факта – применения производной. Схема решения задачи на оптимизацию (нахождения наибольшего и наименьшего значений величин): Проанализировав условие задачи, выделите оптимизируемую величину; Одну из участвующих в задаче неизвестных величин принять за независимую переменную и установить реальные границы ее изменения в соответствии с условиями задачи; Исходя из условия задачи, составить функцию подлежащую исследованию, выразив оптимизируемую величину через независимую переменную и известные величины; Для полученной функции найти наибольшее или наименьшее в зависимости от условия значение в промежутках реального изменения аргумента; Исходя из результатов исследований, записать ответ в терминах предложенной задачи. Использование производной для поиска оптимального значения величины является ярким примером применения аппарата математического анализа при решении прикладных задач. |