Задачи по математике для медиков. Математическая статистика и её роль в медицине и здравоохранении

• Название: Математическая статистика и её роль в медицине и здравоохранении
• Анкор: Задачи по математике для медиков
• Дата: 26.04.2023
• Размер: 118.6 Kb.
• Имя файла: praktika_no1.docx
• Тип: Документы; #1092341

Практика №1

Тема: «Математическая статистика и её роль в медицине и здравоохранении»

Задание

1. 
   Освоить материал.
   
2. 
   Задачи для самостоятельного решения выполнить в рабочей тетради.
   
3. 
   Выполнить проверочную работу по вариантам в отдельной тетради для контрольных работ (студенты1 подгруппы выполняют задания Варианта №1, студенты 2 подгруппы – задания Варианта №2).
   
4. 
   Выполнить письменно задачи домашней работы в рабочей тетради.
   

ПЛАН

1. Кодирование статистических данных

2. Построение статистического распределения выборки

3. Построение полигонов и гистограмм

4. Проведение интервальной оценки

Математическая статистика-это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений, с целью выявления существующих закономерностей.

Т.О.

• 
  В центре внимания математической статистики - массовые явления.
  
• 
  Единственный способ получения информации - проведение эксперимента.
  
• 
  Все характеристики случайных процессов и явлений получаются по экспериментальным данным.
  

Наблюдаемые значения рассматриваемого признака X называют вариантами ( обозначение : , ,… ).

Последовательность вариант в порядке возрастания(убывания) называется вариационным рядом.

Объем выборки - это сумма частот вариант, то есть

N= , -частота варианты , где значение признака Х наблюдалось раз,

значение x₂ признака Х наблюдалось n₂ раз и т.д.

Числа называются частотами вариант .

Относительная частота варианты это отношение частоты варианты к объёму выборки.

где …,

Статистическими распределениями выборки называется таблица, вида

			…		-вариационный ряд
			…		N=
			…		= 1

Замечание. Зашифровать статистические данные – это значит построить статистическое распределение выборки, т.е. таблицу указанного вида.

• 
  Геометрическая интерпретация статистического распределения выборки.
  

Полигоны – ломанные в первой четверти системы координат, соединяющие точки с координатами:

• 
  для полигона частот
  
• 
  Для полигона относительных частот _{( xi ,w i)}
  

Гистограммы-столбчатые фигуры в системе координат (в первой четверти), состоящие из тесно примыкающих друг к другу прямоугольников, разных высот.

• 
  для гистограмма частот (высоты соответствуют частотам
  
• 
  для гистограмма относительных частот (высоты соответствуют относительным частотам
  

Зам: Варианты задаются интервалами: конец предыдущего является началом последующего.

Интервальная оценка – это оценка таких показателей, как:

• 
  выборочное и генеральное среднее
  
• 
  выборочная и генеральная дисперсии
  
• 
  среднеквадратическое отклонение.
  

Выборочным средним выборки объёма N со статистическим распределением вида

			…
			…

называется среднее арифметическое значений признака выборки, т.е.

= =

Генеральное среднее генеральной совокупности объёма N со статистическим распределением вида

			…
			…

называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности, т.е.

= =
Выборочной дисперсией некоторой выборки называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака от выборочной средней . Если варианты x₁, n_{1 ,} n_{2, …}n_k , то =

Аналогично для генеральной совокупности определяют генеральную дисперсию =

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений вокруг своего среднего значения.

Среднеквадратическое отклонение = измеряется в тех же единицах, что и изучаемый признак.

1. Кодирование статистических данных.

ПРИМЕР 1.1.

Закодировать статистические данные: 2,6,5,2,2,5,3,3,1,3,3,5

Решение.

Имеем:

	1	2	3	4	5	6	вариационный ряд
ni	1	2	4	0	3	1	N=1+2+4+0+3+1=11
wi	1/11	2/11	4/11	0	3/11	1/11	= 1

2. Построение статистического распределения выборки

ПРИМЕР 2.1. Ежедневное количество студентов, посе­щающих методический кабинет на протяжении ряда дней, следующее:

15,17, 16,18,20,21, 18, 17,20, 15,

18,17,16,19,17,16,18,19,18,19.

Составить статистическое распределение выборки.

Решение. В первой строке таблицы укажем встречаю­щиеся значения посещений, во второй — количество таких значений и, наконец, в третьей — относительную частоту этих значений.

Значения признака хi	15	16	17	18	19	20	21
Частота встречаемости ni	2	3	4	5	3	2	1
Относительная частота wi	0,1	0,15	0,2	0,25	0,15	0,1	0,05

3. Построение полигонов и гистограмм.
ПРИМЕР 3.1. Дано: статистическое распределение выборки

Интервал	14,5-15,5	15,5-16,5	16,5-17,5	17,5-18,5	18,5-19,5	19,5-20,5	20,5-21,5
mi	2	3	4	5	3	2	1
fi	0,1	0.15	0,2	0,25	0,15	0,1	0,05
Построить полигон и гистограмму относительных частот

Решение


Полигон частот можно получить из гистограммы путем соединения срединных значений классов. График полигона частот (или относительных частот) легко постро­ить и по статистическому распределению. На оси вариант (О ), из точек х_iпроводятся перпендикуляры высотой и со­единяются ломаной линией.

При неограниченном увеличении числа наблюдений и увеличении количества классов ширина прямоугольников гистограммы будет уменьшаться и середины верхних кон­цов прямоугольников сольются в одну сплошную плав­ную линию, которая в пределе станет графиком плотности.
4. Интервальная оценка
ПРИМЕР 4.1. Имеется выборка: 2, 4, 5, 3, 6, 4. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и ошибку выборочной средней.

Решение


ПРИМЕР 4.2. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

хi	4	5	6	7
mi	10	12	6	2

Найти оценки математического ожидания и дисперсии.

Решение



ПРИМЕР 4.3. Для данных примера 4.2. найти довери­тельный интервал математического ожидания с вероятно­стью 0,95.

Решение

Из решения примера 4.2. имеем:



В таблице Стьюдента найдем .

Тогда:



Задачи для самостоятельного решения

1. Значение случайной величины X представлены в виде статистического распределения:

Значения X	Частота	Значения X	Частота
120-140 140-160 160-180 180-200	1 6 19 58	200-220 220-240 240-260 260-280	53 24 16 3

Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом п = 50.

Xi	2	5	7	10
	16	12	8	14

Найти оценки математического ожидания и генеральной дисперсии.

3. Пять измерений некоторой величины дали следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106. Найти выборочную сред­нюю и выборочную дисперсию.

4. Из общего числа студентов выборочно измерен рост у 81 мужчины. Средний рост оказался равным 171 см с дис­персией S² = 64 см². Определить ошибку выборочной сред­ней и коэффициент вариации.

5. Признак X генеральной совокупности распределен нормально. Данные выборки имеют следующее статисти­ческое распределение:

Xi	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	2	4	7	6	1

Найти выборочную среднюю х и выборочное среднее квадратическое отклонение S.

6. Количественный признак X распределен нормаль­но. По выборке объемом 18 найдено выборочное среднее значение 21,5 и среднее квадратическое отклонение S = 0,9. Найти коэффициент вариации, ошибку выборочной сред­ней и доверительный интервал для математического ожи­дания при уровне значимости а < 0,05.

7. В ходе проведенных исследований изучен рост муж- - чин 25 лет из сельской местности. Объем выборки п = 21. По данным статистической обработки, имеем:

Границы интервалов (см)	161-165	165-169	169-173	173-177	177-181
Относительная частота	0,06	0,19	0,47	0,19	0,09

1. 
   Изучено воздействие определенной физиопроцеду­ры на частоту сердечных сокращений в группе испытуемых. Объем выборки 18. По данным статистической обработки имеем:
   

Границы интервалов (уд./мин)	67-68,2	68,2-69,4	69,4-70,6	70,6-71,8	71,8-73
Относитель­ная частота	0,05	0,2	0,44	0,26	0,05

Выборочная средняя = 70,16; выборочное среднеквад­ратическое отклонение S = 1,2. Построить гистограмму и определить доверительный интервал для математического ожидания с уровнем значимости α≤ 0,05.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
Вариант №1

1.Закодировать статистические данные: 3,5, 1,1,2,1, 2, 3, 3, 5, 3 и построить полигоны а) частот; б) относительных частот.

2. Дано: статистическое распределение выборки типа:

	5-8	8-10	10-12	12-15
	2	8	1	6

Построить гистограмму частот.

1. 
   Имеется выборка: 2,1, 4, 5, 3,5, 4. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и ошибку выборочной средней.
   

Вариант №2

1.Закодировать статистические данные: 3,5, 1,3,2,1, 3, 4, 5 и построить полигоны а) частот; б) относительных частот.

2. Дано: статистическое распределение выборки типа:

	4-6	6-11	11-12	12-15
	3	6	7	1

Построить гистограмму частот.

3.Имеется выборка: 2,2, 4, 5, 3,5, 1. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и ошибку выборочной средней.

Домашнее задание

1. В результате испытания случайная величина X при­няла следующие значения: 2, 6, 8, 4, 2, 5, 7, 6, 4, 4, 1, 5, 7, 6, 3, 1, 3, 5, 5, 3. Построить дискретный вариационный ряд и начертить полигон распределения.

2. В результате испытания случайная величина X при­няла следующие значения: 11, 13, 18,22,24, 12,23, 15,18, 17 12, 18, 19, 20, 12, 22, 16, 17, 14, 20, 21, 25, 27, 19.Построить дискретный вариационный ряд с равными интервалами и начертить гистограмму.

3. Дан вариационный ряд: 3, 6,6, 8, 8,12,12,12,25,25, 70, 75. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.
4. Выборочная средняя = 171,42; выборочное среднеквадратическое отклонение

= 3,6. Построить гистограм­му распределения частот и определить доверительный ин­тервал для математического ожидания с доверительной ве­роятностью р ≥ 0,95.