МАТЕМАТИКА В МУЗЫКЕ. Математика в музыке
 Скачать 78.21 Kb.
|
|
| Математика | Музыка ( длительность нот) |
| Целое число (торт) | Целая нота |
| Делим пополам (половина торта) | Половина целой ноты - половинная |
| Делим торт на четыре части (получаем одну четвертую) | Делим целую ноту на 4 части – (четвертная) |
| На восемь (одна восьмая) | На восемь (восьмая, восьмушка) |
| На шестнадцать (одна шестнадцатая) | На шестнадцать (шестнадцатая) |
Ноты записываются с помощью знаков, а их протяженность определяется длительностью и математическим счетом.
Математические истоки музыки очень хорошо ощущаются в танце.
В нем мы можем менять скорость – двигаться быстро и медленно, двигаться вперёд-назад, вправо-влево, по кругу, прыгать вверх-вниз. Если быть изобретательным, каждый танец можно использовать для изучения пространства – двигаться по прямоугольной, квадратной, овальной траектории, двигаться по прямой и по кривой линии.
Равномерный ритм музыкального произведения позволяет нам совершенствоваться в освоении счёта. Слово «ритм» изначально принадлежало музыке, хотя сегодня неудивительно, что оно может быть известно человеку совершенно из других источников. Математика также заимствовала данное слово. Исследуя математические закономерности и числовые последовательности, часто можно обнаружить ритмичность. Посмотрите вокруг: ритмично звучат шаги, ритмичен ход часов, ритмично биение пульса человека, ритмично наше дыхание и т.д. Но стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке. И это понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. На уроке сольфеджио ученики обычно при изучении произведения «прохлопывают» ритм. Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Возьмем натуральный ряд чисел: 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д. Увеличивая каждое число на «1», будем обращать внимание на все числа, кратные 3. Мы пришли к красивому, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4 (размер вальса).
Параллельности
В музыке, как и в математике, есть понятие параллельности. Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть никогда не пересекаются.
В древности музыканты записывали музыку по-разному: при помощи букв, графическими знаками. Они передавали общее направление интонации, но они не могли выразить длительность звучания, изменение по высоте вверх или вниз. Ведь музыканту надо знать, насколько одна выше или ниже другой. Измерить высоту нам как раз помогают параллельные линейки.
Параллели можно найти не только в нотной записи, но и в самом звучании музыки. Например, одну и ту же мелодию можно исполнить одновременно двумя голосами, т.е. в унисон (например, мужским и женским голосом). Женский будет звучать в верхнем регистре, а мужской голос - в нижнем, а звучать они будут параллельно. Параллельно могут звучать голос и фортепианное сопровождение со сдвигом на октаву.
Последовательность
Очень часто в математике мы встречаемся с понятием – последовательность. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности. На занятиях в музыкальной школе, ученики, в качестве распевок и для развития артикуляционного аппарата, разучивают скороговорки и считалки. Во многих из них перечисляется натуральный числовой ряд, а ритм, присутствующий в них, способствует их запоминанию. Происходит тренировка памяти и одновременно закрепление последовательности чисел.
Противоположность
В математике существуют противоположности:
Отрицательное число – положительное число,
Плюс – минус,
Деление – умножение,
Четное число – нечетное число,
Больше – меньше,
Простое число – составное число и т.д.
В музыке так же существуют пары противоположностей, основной из которых является «медленно – быстро». Эта пара играет очень важную роль в исполнении музыкальных произведений: ведь, например, существуют песни медленные и быстрые. Если изменить темп исполнения, то песня потеряет характер и смысл. Таким образом, искажая темп, можно исказить и все произведение.
Есть в музыке еще одна противоположность – высокое и низкое. Это в большей степени относится к музыкальным инструментам. Высоким звучанием отличаются, например, флейта – пикколо, скрипка; низким – контрафагот, туба, контрабас. Противоположностей в музыке очень много: громкий – тихий, быстрый – медленный, длинный – короткий, многоголосие - соло, вокальное исполнение – инструментальное и т.д.
Симметрия
Очень часто в музыке используется симметрия. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (рондо от фр. – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды. Но тот эпизод, который раньше прозвучал в высокой тональности, повторяется в низкой, и наоборот.
Страницы истории.
Еще в Древней Греции математика и музыка назывались родными сёстрами, а со времён Пифагора наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, наряду с арифметикой (наукой о числах), геометрией (наукой о фигурах и их измерений) и астрономией (наукой о строении Вселенной).
Изучая высоту звука с помощью монохорда – простейшего инструмента Древних греков, состоящего из одной струны, резонаторного ящика и передвижной подставки, с помощью которой можно было изменять длину натянутой струны, Пифагор обнаружил поразительные вещи. Выяснилось, что приятные слуху созвучия – консонансы получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, соотносятся как целые числа первой четвёрки, т.е 1:2, 2:3, 3:4. Это открытие потрясло Пифагора: оказалось, что звук и созвучие могут быть описаны простыми числами. Пифагор перенёс числовые соотношения на гармонию Вселенной. Согласно его учению Земля, Солнце, Луна и планеты располагаются на небесных сферах и совершают вместе с ними круговое вращение. Вследствие трения об эфир они издавали музыкальные звуки, которые объединялись в созвучия. Так возникла чудесная мировая музыка или «гармония сфер», без которой мир бы не мог существовать как единое целое. Земная человеческая музыка, по мнению Пифагора, - слабые отголоски музыкальных небесных сфер; она дана человечеству в утешение, и создаёт её тот, кто способен услышать в себе мировую музыку. Пифагор был уверен, что музыка звучит совершенными консонансами (благозвучными интервалами): тон издаваемый Землёй принимался за тонику, сфера Луны звучала квартой, Солнце – квинтой, а звёзды и планеты – октавой.
Пифагорейцы открыли «золотую пропорцию» – «точку золотого сечения», которая в музыке определяла точное место кульминации.
«Золотое сечение» – это деление некой величины на две части в таком отношении, когда большая часть так будет относиться к меньшей, как целое к большей. Данное отношение оказывается равным трансцендентному числу Ф=1,6180339… с удивительными свойствами. Метод золотого сечения — это поиск значений функции на заданном отрезке.
Оказалось, что в музыкальных произведениях очень часто встречается эта золотая пропорция. В начале 20 века на заседании Московского музыкального кружка было сделано сообщение, содержащее информацию о том, какое применение находит золотое сечение в музыке.
С огромным интересом слушали члены музыкального кружка композиторы С. Рахманинов, С. Танеев, Р. Глиэр и другие. Доклад музыковеда Розенова Э.К. «Закон золотого сечения в музыке и поэзии» положил начало исследованиям математических закономерностей, связанных с золотой пропорцией, в музыке. Он проанализировал музыкальные произведения Моцарта, Баха, Бетховена, Вагнера, Шопена, Глинки и других композиторов и показал, что в их произведениях присутствует эта «божественная пропорция». Кульминация многих музыкальных произведений располагается не в центре, а немного смещена к концу произведения в соотношении 62:38 – это и есть точка золотой пропорции.
Доктор искусствоведения, профессор Л. Мазель заметил, изучая восьмитактные мелодии Шопена, Бетховена, Скрябина, что во многих творениях этих композиторов кульминация, как правило, приходится на слабую долю пятого, то есть на точку золотого сечения – 5/8.
Л. Мазель считал, что практически у каждого композитора – приверженца гармонического стиля можно найти подобную музыкальную структуру: пять тактов подъёма и три такта спуска. Это говорит о том, что метод золотого сечения активно применялся композиторами сознательно либо бессознательно.
Вероятно, такое структурное расположение кульминационных моментов придает музыкальному произведению гармоническое звучание и эмоциональную окраску. Серьёзное исследование музыкальных произведений предпринял композитор и музыковед Л. Сабанеев. Он изучил около двух тысяч творений разных композиторов и пришёл к выводу, что примерно в 75% случаев золотое сечение присутствовало в музыкальном произведении хотя бы один раз. Самое большое количество произведений, в которых встречается золотая пропорция, он отмечал у таких композиторов, как Аренский (95%), Бетховен (97%), Гайдн (97%), Моцарт (91%), Скрябин (90%), Шопен (92%), Шуберт (91%).
Таким образом, изучая взаимосвязь двух предметов можно наблюдать огромное количество примеров применения математических понятий в музыке. Не зря говорят, что музыка глубоко математична.
Математическая стройность музыкального искусства потрясала не только древних мыслителей. Многие великие умы более поздних эпох и современности обращали на это внимание и использовали близость музыки и математики.
В эпоху Средневековья (с конца XII – начала XIII века) вся совокупность знаний делилась на 7 основных наук: тривиум – начальный курс образования, включавший в себя грамматику, риторику и диалектику; квадриум – повышенный курс светского образования, куда музыка входила так же, как и у пифагорейцев вместе с арифметикой, геометрией и астрономией. Математика не включена в число смежных дисциплин и находится в стороне от музыкального искусства, скорее музыкальное искусство в некоторых своих проявлениях прибегает к использованию математического аппарата.
На ранней стадии музыкознания было открыто, что законы, по которым существует музыкальное искусство, совпадают с описанными математикой законами физического мира. Антон Веберн сказал: «Музыка есть закономерность природы, воспринятая слухом» (XX в.) Г. В. Лейбниц (XVII – XVIII в.в.) сказал: «Когда мы слушаем музыку, наша душа считает, но она не знает, что она считает».
М. Падуанский – ученый и музыкант XIII –XIV в.в. сказал: «Законы Вселенной – законы музыки!». Современная наука разрушила эти красивые фантазии о музыкальном вращении планет. Но гармония целочисленных соотношений продолжает увлекать физиков. Альберт Эйнштейн открыл сходство между колебанием струны и ее частей и атомами испускающими излучение.
Великий немецкий композитор XVII века И. С. Бах писал церковную музыку. Сам, будучи превосходным органистом-импровизатором, исполнял её. При этом большинство его произведений написаны на сюжеты, взятые из священной книги «Библии». Позднее уже после его смерти музыканты-исследователи выяснили, что многие мелодии композитора имеют цифровые коды - символы, а произведения точно математически просчитаны. Сегодня мы не можем точно сказать, как сочинял композитор свои сочинения, и производил ли при этом математические расчеты. Но остается фактом, что И. С. Бах был выдающимся математиком и гениальным композитором, написавшим много прекрасной музыки.
Музыка и способности к математике.
Как же музыка помогает развивать математические способности?
В одном из самых больших проведенных исследовании 25000 американских школьников, занимающихся по арт-программам, было особо отмечено, что дети, учившиеся музыке, с большей вероятностью показывали в математических тестах более высокие баллы, чем дети, музыке не учившиеся. Исследователь Стэнли Стейнберг из Йельского университета опубликовал аналогичные результаты: ученики восьмого класса, которые занимались игрой на музыкальных инструментах, показали себя гораздо лучшими математиками, чем остальные ученики. Особенно отличились пианисты, которые выиграли по тестовым баллам конкурс по математике. Ведь, тренируя свои пальчики, они одновременно тренируют и свой мозг!
Совпадение музыкальной и математической одаренности сделало эту тему предметом внимания психологов. Им хотелось понять психологические механизмы, стоящие у истоков музыкально-математической близости. Сущность психологических связей между музыкальными и математическими способностями стала яснее, когда ученые обратили внимание на повышенно абстрактный характер восприятия музыкантов. Привыкнув замечать пропорционально-симметричные отношения внутри музыкальной формы, привыкнув охватывать в своем сознании разнообразные структуры, не имеющие явных предметных аналогов, музыканты переносят навыки пространственно-геометрического восприятия на реальную действительность.
Огромный эксперимент по выявлению зон ответственности отделов мозга за те или иные музыкальные функции предприняла международная группа из восьми психологов под руководством Эрве Плателя. Испытуемыми были шесть французов, молодых мужчин-немузыкантов, слушающих музыку и музыкальные элементы — небольшие мелодии, ритмические фигуры и звуковые последовательности. Музыкальное восприятие на нейропсихологическом уровне оказалось весьма аналитичным: обработкой музыкальной информации занимались отделы мозга, традиционно отвечающие за логические операции. Этот эксперимент произвел большое впечатление на психологическое сообщество; его результаты были опубликованы в журнале «Brain» в феврале 1997 года.
В исследовании 1992 года, в котором участвовали 117 взрослых музыкантов и 120 музыкантов-подростков, Марианна Хасслер отметила общее превосходство музыкантов по сравнению с немузыкантами в качестве пространственного мышления: пространственные тесты музыканты выполняли значительно лучше. Эти выводы были сделаны на основании восьмилетнего наблюдения над всеми испытуемыми.
Данные современной нейропсихологии подчеркивают повышенную аналитичность восприятия и высокое качество пространственных операций «музыкального мозга». Это объясняет частое совпадение музыкальной и математической одаренности у одних и тех же людей. Когда Мария Мантуржевская в одном из своих исследований сравнила математические успехи лучших и худших студентов-музыкантов, то результаты первых были многократно выше результатов вторых: самые одаренные музыканты оказались и самыми одаренными математиками.
Еще одним практическим доказательством близости музыкальных и математических склонностей является любопытный факт, который сообщает П. Вернон в диссертации на звание доктора философии Кембриджского университета: в 1927-1928 году 60% профессоров-физиков и математиков Оксфордского университета были одновременно членами университетского музыкального клуба, и только 15% всех остальных профессоров посещали тот же самый клуб. Одаренным математикам музыка была нужна гораздо больше, чем всем остальным вместе взятым.
Наблюдения, взятые из опыта, наука полностью подтверждает: музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически. Занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности, значение которых в наш прагматический век оспаривать невозможно.
Музыка облагораживает эмоционально, обогащает умственно; музыка способствует росту основных человеческих способностей — способности к логическому мышлению и способности к овладению языком и речью. Музыка со стороны психологических механизмов, ею управляющих, чрезвычайно близка базовым интеллектуальным навыкам человека, которые во многом сложились благодаря музыке и в недрах музицирования. Музыка способствует развитию социально ценных качеств человека, делая его более либеральным и способным воспринимать «чужое» как «свое». Огромно число выдающихся и просто успешных людей, которые не стали музыкантами, но тем не менее любят музыку и музицируют. Среди них короли и президенты, видные политики и бизнесмены, известные художники и артисты. Многие авторитетные фирмы и компании, среди которых Microsoft и крупные западные банки, которые предпочитают сотрудников с музыкальным образованием. Они правы: музыка расширяет и усиливает все духовные и интеллектуальные возможности человека. Музыка настолько многогранна и требовательна ко всем человеческим качествам, что не может быть музыканта, который бы не преуспел в любой сфере деятельности. Музыкант означает лучший: самый дисциплинированный, самый быстрый, самый четкий, самый мыслящий. Широкое внедрение музыкального образования — в детском саду, в школе, в вузе и на любом уровне — позволит каждому человеку максимально раскрыть и умножить все свои способности.
Практические навыки математики в музыке
Математическая модель произведения Ф. Шопена «Мазурка для минор»:
Каждой ноте присвоим номер ступени.
Цифра 1 – I ступень, 2 – II, 3 –III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – I, 9 – II, 0 – III.
Переложим ноты на цифры, получим при этом такой ряд чисел:
5 | 5654 | 5234 | 3432 | 3712 | 1237 | 14576 | 5423 | 1 ||
Черта между цифрами служит тактовой чертой, то есть делит их на такты так, как сделано в произведении. В музыке есть понятие об устойчивых ступенях – ступенях, на которых строится тоника: 1, 3, 5. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность:
В первом такте сумма равна 10 (5+5), во II – 8(5+3), в III – 6(3+3), в IV – 4(3+1), в V – 4(1+3), в VI – 6(1+5), в VII – 8(5+3) .
Получим ряд чисел: 10, 8, 6, 4, 4, 6, 8… и т.д. Следовательно, наблюдаем закономерность, что в произведении повторяется группа цифр 10 8 6 4 и наоборот.
Теперь, попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.
Получили числа в соответствии с номерами тактов: 600(5∙6∙5∙4), 120(5∙2∙3∙4), 72(3∙4∙3∙2), 42(3∙7∙1∙2), 42(1∙2∙3∙7), 840(1∙4∙5∙7∙6), 120(5∙4∙2∙3).
То есть имеем следующий ряд 600,120,72,42,42,840,120….
Значения в III(3432) и VI(14576) тактах получились разные за счёт того, что количество нот (4 и 5) в них различное.
Музыкальные задачи:
1) Счет такта 2/4. Одна нота составляет 1/8, другая-1/4.Чему равна третья нота?
Ответ: 1) 1/4 + 1/8=3/8 2) 2/4 - 3/8 = 1/8.
2) Счет такта C (что в переводе на язык музыкантов- 4/4). В него входят две восьмые и четверть. Какова длительность оставшиеся ноты?
Ответ:1/8 + 1/8 + 1/4= 2/4 - 1/2= ½ (половина)
3) Масса одной гитары - 11,2 кг. Это 1/100 от массы фортепьяно. Чему равна его масса? Найдите и округлите до десятков.
Ответ: 11,2 : 1/100=1120(кг) 112(кг)
4) В такте две восьмые, одна четверть. Чему равен такт? Ответ:1/8+1/8+1/4=2/4
5) В музыке есть такие ноты, как шестнадцатые. Они равны половине восьмой.
Что такое две шестнадцатые? Ответ:1/16+1/16=2/16=1/8
Литература:
1.Деплан И. Я. Мир чисел. - М.: «Просвещение», 2005
2.Дэвид Филипс. Нумерология и открытие внутреннего “Я”. Полное практическое руководство. СПб: София, 2007, 256с.
3. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.
4. Холопов Ю. Н. Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.
5. Шарапкина Е. П. Гармония математики и музыки/П.Е.Шарапкина.//Университетские чтения 2006г.
6. Энциклопедический словарь юного музыканта /сост. В.В. Медушевский, О.О. Очаковская. – М.: Педагогика, 2007. – 352с., ил.